黄冈中学2016年高一数学下学期期中试题理带答案

2016—2017学年度第二学期期中考试高一重点班数学试题（时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题,每小题5分，共60分）1。

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( ）A．相交B．平行C．异面D．相交或平行2．已知m，n是两条直线，α,β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外,m∥α,m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β;②若m∥α,m∥β，则α∥β;③若m∥α，n∥β，m∥n,则α∥β。

其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．33．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（)A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合4．已知圆C1：（x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线l：x －y－1＝0对称,则圆C2的方程为( ）A．（x－2)2＋（y＋2)2＝1B．（x＋2）2＋(y－2）2＝1C．（x－2)2＋(y－2)2＝1D．(x－2）2＋（y－1)2＝15．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ6．关于直线m，n与平面α，β,有下列四个命题:①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β,则m∥n.其中真命题的序号是( )A．①②B．③④C．①④D．②③7．平面直角坐标系中，直线x＋错误!y＋2＝0的斜率为( ) A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!8．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( ）A。

错误!ab B.错误!|ab｜C.错误!D。

错误!9．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图,则( )A．若c＞0，则a＞0,b＞0B．若c＞0，则a<0，b＞0C．若c＜0，则a〉0，b〈0D．若c<0，则a>0,b＞010．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D 为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD;②BD⊥AC；③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形．其中正确的结论的个数为( )A．1 B．2C．3 D．411．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( ) A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点12．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（)A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行二、填空题（共4小题，每小题5分,共20分)13．A，B是直线l外两点,过A，B且与l平行的平面有________个．14．若直线l1：ax＋（1－a）y＝3与l2：（a－1)x＋（2a＋3）y＝2互相垂直，则实数a＝________.15．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．16．过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线方程为____________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求与点P(4，3）的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．18．(本小题满分12分）求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．19．（本小题满分12分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0（a∈R）．(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20.圆O1的方程为x2＋(y＋1）2＝4,圆O2的圆心O2（2，1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点,且｜AB｜＝2错误!，求圆O2的方程．21.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C。

黄冈中学2016届高三（下）理科数学周末测试题(9)命题： 审题： 校对：一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6S D ．6S 【答案】B【解析】由已知43484d a a =-=-=-，3(3)8(3)(4)204n a a n d n d =+-=+-⨯-=-，由2040n a n =-≥得5n ≤，所以40a >，50a =，60a <，所以45S S =是n S 中的最大值．故选B ．考点：等差数列的前n 项和．2．等比数列}{n a 中，4,281==a a ，函数)())(()(821a x a x a x x x f -⋅⋅⋅--=，则=)0('f （ ）A ．26B ．29C ．212D ．215 【答案】C【解析】因为)())(()(821a x a x a x x x f -⋅⋅⋅--=，所以'821')]}())([({)(a x a x a x x x f -⋅⋅⋅--='821821)]())([()())((a x a x a x x a x a x a x -⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--=，又因为在等比数列4,281==a a ，所以1244818218'28)()1()0(===⋅⋅⋅-=a a a a a f ；故选C ．3．数列{}n a 中，()11n a n n =+，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线()10n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．10-B ．9-C ．10D ．9【答案】B【解析】由题意得，()11111n a n n n n ==-++，所以前n 项和为1111112231n S n n =-+-++-+ 111n =-+，令191110n -=+，解得9n =，所以直线()10n x y n +++=为1090x y ++=，令0x =，解得9y =-，故选B ．考点：数列求和与直线在坐标轴上的截距． 4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+A ．1+ B．3+ C．1 D ．3-【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的共公比为q ，则由1321,,22a a a 成等差数列可得，3122a a a =+，即21112a q a a q =+，所以212q q =+，所以1q =±，又因为等比数列{}n a 中，各项都是正数，所以0q >，所以1q =+所以91078a a a a +=+2227878()(13a a q q a a +===++故应选B ． 考点：1、等比数列；2、等差数列．5．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82 【答案】B【解析】由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)．取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78. 6．已知函数y =f （x ）对任意自变量x 都有f （x +1）=f （1-x ），且函数f （x ）在),1[+∞上单调．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}n a 的前25项之和为 （ ） A ．0 B ．225C ．25D ．50 【答案】C【解析】根据(1)(1)f x f x +=-，可知函数的图像关于直线1x =对称，因为)()(206a f a f =，所以6202a a +=，所以1256202525()25()2522a a a a S ++===，故选C ．考点：函数图像的对称性，等差数列的性质． 7．数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥成立的n的最小值为A ．236B ．238C ．240D ．242【答案】B【解析】因为112a =，111n n n a a a ++=-，所以21123112a +==-，313213a +==--，413a =-，512a =，所以数列{}n a 的周期为4，所以123411732236a a a a +++=+--=，所以1234742060()607066a a a a +++=⨯==，即此时n 的值为240，而1234240123460()70a a a a a a a a a +++++=+++=，240423931,23a a a a ==-==-， 所以使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值为2402238-=，故应选B ．考点：1、数列的递推公式；2、数列的周期性；3、数列的前n 项和． 8．已知数列{}n a 为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．24π 【答案】C【解析】本题考查等比数列，定积分等基础知识．由定积分的几何意义可得⎰表示圆224x y +=在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，所以2201320150124a a π+==⨯⨯⎰π=，所以2014201220142016201420122014201420142016()2a a a a a a a a a a ++=++2220132013201520152a a a a =++ 2220132015()a a π=+=．故选C ．考点：等比数列，定积分的几何意义． 9．已知等差数列{}n a 的通项公式6445n n a -=，设112||n n n n A a a a ++=+++(*)n N ∈，则当nA 取最小值时，n 的取值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】D 【解析】 试题分析：64405n na -=≥，16n ≤，且160a =，所以16160i i a a -++=（*i N ∈），n A 中共13项的和，因此取10n =，则1120n n n a a a +++++=，即0n A =最小，故选D ．考点：等差数列的性质．10．已知(1)log (2)n n a n +=+*()n N ∈．我们把使乘积123n a a a a •••为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( ) A ．1024 B ．2003 C ．2026 D ．2048 【答案】C【解析】∵23log 3log 42⨯=为整数，此时2n =，234567log 3log 4log 5log 6log 7log 83⨯⨯⨯⨯⨯=为整数，此时6n =，以此类推：在区间(1,2004)内的所有优数为2,6,14,30,…1022，∴通项公式为122n b b +=-，∴231026141022(22)(22)+(22)2026++++=-+-+-=.考点：1.对数的运算；2.等比数列的前n 项和公式.11．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则（ ） A ．5748a a a a +>+ B ．5748a a a a +<+ C ．5748a a a a +=+ D ．5748||||a a a a +>+ 【答案】A 【解析】6578400a q a a a a <>∴，，，，都是负数()()()()57484747111a a a a a q a q q a a ∴+--=-+-=--若01q <<，47100q a a ∴-<-<，，57480a a a a ∴+-->；若1q >，47574857481000q a a a a a a a a a a >>∴->>-∴+--∴++，，，故选A ． 考点：等比数列性质．12. 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A【解析】由12nn n a a +-≤令n=1,2,3, ,2013得：1212a a -≤，2322a a -≤， 2013201420132a a -≤将上2014个同向不等式相加得：2201320142014122221a ≤++++=- ①；再由232nn n a a +-≥⨯令n=1,2,3, ,2012得：13132a a -≥⨯，24232a a -≥⨯，15332a a -≥⨯， 20122014201232a a -≥⨯，将上2013个同向不等式相加得：22012201320142013213(222)325a a a +-≥+⨯+++=⨯-，再注意到：2201220132013122221a ≤++++=-且23a ≤，所以有：201320132014201432521321a ≥⨯--++=- ②由①②可知2014201421a =-，故选A ． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)13．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________． 【答案】21【解析】在点(a k ，a k 2)处的切线方程为：y －a k 2＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝2k a ，所以a k ＋1＝2k a，故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.14. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428,a a a ++= 且23+a 是42,a a 的等差中项．若n n n n a a b 2log )1(-+=，其前n 项和为n T ，则9T =_______． 【答案】1017．【解析】由⎩⎨⎧=+++=+2842432423a a a a a a 得 83=a ，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=+6420422342342a a a a a a 且{}n a 为递增数列，解得⎩⎨⎧==16442a a ， 故12,2a q ==，则112n n n a a q -==，2(1)log 2(1)(1)n n nn n n b a a n =+-=+--2221212n-121(122)[01234(23)(22)]21[(12)(34)(2322)]2121(1)22n n n n T n n n n n n ---+=+++++-+-++----=+-+-++--+-=---=-+,91017T =15．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为________． 【答案】1-【解析】因为数列{cos }n a 是等比数列，2111cos ()cos cos(2)a d a a d +=⋅+ 222221111cos ()cos()cos()cos ()cos sin ()sin ,a d a d d a d d a d d a d d +=+-⋅++=+-+2sin 0,sin 0,d d == 因为02d π<<，所以d π=公比1111cos()cos()1.cos cos a d a q a a π++===-考点：等比数列16．已知数列{}n a 的前n 项和122+=-n n n S a ，若不等式223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为 ．【答案】4【解析】当1n =时，21122S a =-得14a =，122n n n S a +=-；当2n ≥时，122n n n S a -=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122n n n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12n n a n =+，即(1)2n n a n =+•． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352n n λ-->．记232-=n nn b ，2n ≥时，112121223462n n n nn b n n b n ++--==--．所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==．所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. （本小题满分10分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2+32n ，（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{|a n |}的前20项和20T【解析】（1）由数列的前n 项和求通项公式主要利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，分情况求解后要注意验证两种情况看能否合并；（Ⅱ）由数列的通项公式得到n a 中的负数项和正数项，从而将{|a n |}转化为两个等差数列分别求其和 试题解析：（Ⅰ）当n=1时，1131a S ==当2n ≥时，22132(1)32(1)233n n n a S S n n n n n -⎡⎤⎡⎤=-=-+---+-=-+⎣⎦⎣⎦ n=1代入上式也成立，因此233,.n a n n N +=-+∈（2）由（1）可知233,.n a n n N +=-+∈则116n ≤≤时，0,n a >17n ≥时0,n a <因此123201231617181920162016162022........()()22(163216)(203220)272n T a a a a a a a a a a a a S S S S S =+++=++++-+++=--=-=-+⨯--+⨯=考点：1．数列求通项公式；2．等差数列求和18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为3nn S =，数列{}n b 满足：11,b =-*1(21)()n n b b n n N +=+-∈；（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）11,123,1n n n a n -=⎧=⎨⨯>⎩；(2) 22n b n n =-；(3) *(25)33()2n n n T n N -+=∈. 【解析】（1）3nn S =，113(2)n n S n --=≥，113323(2)n n n n a n --∴=-=⨯≥ 2分 当1n =时，1111323a S -==≠⨯11,123,2n n n a n -=⎧∴=⎨⨯≥⎩ 4分（2）由题意得，13,12(2)3,2n n n n n a b c n n n --=⎧⋅==⎨-⨯≥⎩当2n ≥时，123132032132232(2)3n n T n -=-+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯234392032132232(2)3n n T n ∴=-+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯两式相减得，231262323232(2)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯-⨯-⨯23133(25)33(3333)(2)3(2)322n n n nnn n T n n ---+∴=-+++++-⨯=-⨯-=又11(215)3332T ⨯-⨯+=-=，符合上式，*(25)33()2n n n T n N -+∴=∈ 考点：等差数列与等比数列.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(023,211*+∈=++-=N n S a a n n（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）是否存在整数对（m ，n ），使得等式842+=-m ma a n n 成立？若存在，请求出所有满足条件的（m ，n ）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）n n a )2(-=；（2）满足条件的整数对有（-2，1），（1，2），（-14，3）． 【解析】（1）当2≥n 时，0231=++-n n S a ， ∴0)(3)(11=-+--+n n n n S S a a ，即03)(1=+-+n n n a a a ，)2(21≥-=+n a a n n ， 令由122a a -=得n n a a 21-=+，所以数列{}n a 是首项为-2，公比为-2的等比数列，∴nn a )2(-=．把n n a )2(-=代入842+=-m ma a n n 中得84)2()2(2+=-⋅--m m n n，4)2(8)2(2+---=n n m ，∴4)2(84)2(4)2(816)2(2+-+--=+-+--=n nn n m ，要使m 是整数，则须有4)2(8+-n是整数，∴4)2(+-n能被8整除，当n=1时，24)2(=+-n，44)2(8=+-n，此时m=-2， 当n=2时，84)2(=+-n，14)2(8=+-n ，此时m=1，当n=3时，44)2(-=+-n，24)2(8-=+-n ，此时m=-14，当4≥n 时，204)2(≥+-n ，4)2(8+-n不可能是整数， 综上所述，所求满足条件的整数对有（-2，1），（1，2），（-14，3）． 考点：数列的通项公式，是否存在类问题．20．（本小题满分12分）已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n （n ∈N *），且S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设*1()n n nT S n N S =-∈，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 【解析】（1）设等比数列的公比为q ，∵S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列． ∴S 5+a 5﹣（S 3+a 3）=S 4+a 4﹣（S 5+a 5）即4a 5=a 3，故q 2=5314a a =又∵数列{a n }不是递减数列，且等比数列的首项为32∴q =12- ∴数列{a n }的通项公式a n =×（﹣）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1•（2）由（1）得S n =1﹣（﹣）n =当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1= 故0＜≤=﹣=当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以1＞S n ≥S 2= 故0＞≥=﹣=综上，对于n ∈N *，总有≤≤故数列{T n }的最大项的值为，最小项的值为21．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6． （1）求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；（2）将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝292n n -.（Ⅱ）由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．22．（本小题满分12分）设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记数列c n ＝()224121nn b b -，数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意n ∈N *，都有T n <2. 【解析】 (1)设{a n }的公差为dn ，且1a －2d ＝0.又dd ＝12，a 1＝2d ＝14，a n ＝214n -. (2)证明：易知b n ＝14×3n －1，∴c n ＝()22331nn ⨯-. 当n ≥2时，()22331nn⨯- <()()233133n n n ⨯--＝()()11233133n n n --⨯--＝1131n --－131n -， ∴当n ≥2时，T n ＝32＋()2222331⨯-＋…＋()22331n n ⨯-<32＋211231⎛⎫- ⎪-⎝⎭＋23113131⎛⎫- ⎪--⎝⎭＋…＋1131n --－131n -＝2－131n-<2，且T 1＝32<2， 故对任意n ∈N *，都有T n <2.。

2016-2017学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，则2. 设数列是等差数列，若，则等于（）A. B. C. D.3. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的值为（）A.B.C.D.5. 已知等比数列中，，，则A. B. C. D.6. 从点射出的光线沿斜率的方向射到轴上，则反射光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.7. 若，为锐角，且满足，，则的值为（）A.B.C.D.8. 若动点、分别在直线和上移动，则中点所在直线方程为（）A.B.C. D.9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A.B.C.D.10. 将正偶数集合从小到大按第组有个偶数进行分组：，，，…，则位于（）组．A. B. C. D.11. 已知实数，满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.12. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，本题共20分）1. 若关于的不等式的解集是，则________．2. 若，则________．3. 若的面积为，，，则边的长度等于________．4. 已知不等式组表示的平面区域为，则（1）的最小值为________．（2）若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 在平面直角坐标系内，已知，，；（1）当时，求直线的倾斜角的取值范围；（2）当时，求的边上的高所在直线方程．2. 在中，，，分别是角，，的对边，，且．求角；求边长的最小值．3. 已知，和直线．（1）求在直角坐标平面内满足的点的方程；（2）求在直角坐标平面内一点满足且点到直线的距离为的坐标．4. 如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．5. 某投资公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．该公司已有万元资金，并全部投入，两种产品中，其中万元资金投入产品，试把，两种产品利润总和表示为的函数，并写出定义域；在的条件下，试问：怎样分配这万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？6. 已知曲线上有一点列，过点在轴上的射影是，且．（1）求数列的通项公式；（2）设四边形的面积是，求；（3）在（2）条件下，求证：．参考答案与试题解析2016-2017学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】D【考点】不等式的概念【解析】对于，举反例即可，对于，根据不等式的性质可判断【解答】解：对于：当时，不成立，对于：当，时，则不成立，对于：根据不等式的基本性质可得若，，则，故不成立，对于：若，则，成立，故选：2.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．【解答】解：∵数列是等差数列，，∴，解得．则．故选：．3.【答案】B【考点】直线与平面平行的判定【解析】根据题意，依次分析选项：，根据线面垂直的判定定理判断．：根据线面平行的判定定理判断．：由线线的位置关系判断．：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；，，则或两线异面，故不正确．：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选4.【答案】D【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴，根据正弦定理可得，故选：．5.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】设等比数列的公比为，由于，，可得，，解得．可得．【解答】解：设等比数列的公比为，∵，，∴，，解得．则．故选：．6.【答案】A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】用点斜式求出入射光线方程，求出入射光线与反射轴轴交点的坐标，再利用关于轴对称点，在反射光线上，点斜式求出反射光线所在直线方程，并化为一般式．【解答】解：由题意得，射出的光线方程为，即，与轴交点为，又关于轴对称点为，∴反射光线所在直线过，，故方程为，即．故选：．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得、的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．【解答】解：∵，为锐角，且满足，，∴，，∴，故选：8.【答案】D【考点】轨迹方程【解析】根据题意可推断出点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线进而根据两直线方程求得的轨迹方程．【解答】解：由题意知，点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线，故其方程为，故选：．9.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：，故选．10.【答案】C【考点】归纳推理【解析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律即可使问题得到解决．【解答】解：第一组有个数，最后一个数为；第二组有个数，最后一个数为即；第三组有个数，最后一个数为，即；…∴第组有个数，其中最后一个数为．∴当时，第组的最后一个数为，∴当时，第组的最后一个数为，∴位于第组．故选：11.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到定点的斜率，由图象知当直线和平行时，直线斜率最大，此时直线斜率为，但取不到，当直线过时，直线斜率最小，此时的斜率，则的范围是，故选：12.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】设平面与直线交于点，连接、，则为的中点．分别取、的中点、，连接、、，可证出平面平面，从而得到是平面内的直线．由此将点在线段上运动并加以观察，即可得到与平面所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到与平面所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面与直线交于点，连接、，则为的中点分别取、的中点、，连接、、，则∵，平面，平面，∴平面．同理可得平面，∵、是平面内的相交直线∴平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上上的动点．设直线与平面所成角为运动点并加以观察，可得当与（或）重合时，与平面所成角等于，此时所成角达到最小值，满足；当与中点重合时，与平面所成角达到最大值，满足∴与平面所成角的正切取值范围为故选：二、填空题（每小题5分，本题共20分）1.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】由二次不等式的解集形式，判断出，是相应方程的两个根，利用韦达定理求出的值．【解答】解：∵的解集是，∴，，是相应方程的两根，解得；故答案为：．2.【答案】【考点】二倍角的正切公式【解析】由条件可得的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．【解答】解：∵，∴∴∴∴故答案为：3.【答案】【考点】正弦定理【解析】利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，，的值代入求出的值，再利用余弦定理求出的值即可．【解答】解：∵的面积为，，，∴，即，由余弦定理得：，则，故答案为：4.【答案】【考点】简单线性规划【解析】由题意作平面区域，（1）利用目标函数的几何意义，求解的最小值；（2）利用图形，求出图形中，，坐标；化简，从而确定最值．【解答】解：由题意作不等式组平面区域如图：（1）的最小值为图形中的距离的平方；可得：．（2）结合图象可知，，可得，解得．当时，，解得时，，的范围在，，之间取得，，经过时，可得，即，有最小值为；经过可得，可得，即最大值为：；经过可得，．函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.【答案】解：（1），，则，，又∵，∴；（2），∵为高，∴，∴，∴；又∵过点，∴，即．【考点】直线的一般式方程【解析】（1）求出的斜率，根据的范围，求出的斜率的范围，从而求出倾斜角的范围即可；（2）求出的斜率，根据垂直关系求出的斜率，代入点斜式方程即可求出．【解答】解：（1），，则，，又∵，∴；（2），∵为高，∴，∴，∴；又∵过点，∴，即．2.【答案】解：在中，由已知，即，，，…分中，，故．…分．（2），由（1），因此分由已知分分故的最小值为．…分【考点】余弦定理的应用正弦定理【解析】利用正弦定理化简表达式，求角；个两角和与差的三角函数化简求解即可．利用余弦定理求边长的最小值．推出的表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：在中，由已知，即，，，…分中，，故．…分．（2），由（1），因此分由已知分分故的最小值为．…分3.【答案】解：（1）∵，，∴线段的中点的坐标为，又，∴线段的垂直平分线方程为，即点的方程．…（2）设点的坐标为，∵点在上述直线上，∴．①又点到直线的距离为，∴，即，②…联立①②可得或∴所求点的坐标为或．…【考点】点到直线的距离公式【解析】（1），，可得线段的中点的坐标为，又，即可得出线段的垂直平分线方程．（2）设点的坐标为，由于点在上述直线上，可得．又点到直线的距离为，可得，联立解出即可得出．【解答】解：（1）∵，，∴线段的中点的坐标为，又，∴线段的垂直平分线方程为，即点的方程．…（2）设点的坐标为，∵点在上述直线上，∴．①又点到直线的距离为，∴，即，②…联立①②可得或∴所求点的坐标为或．…4.【答案】（1）证明：由正视图可知：平面平面连接交于点，连接，由已知得，∴又平面，平面∴平面；（2）设的中点为，则平面，建立如图所示的坐标系，则设平面的法向量为∵∴由，可得，∴可取∴二面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，而连接交于点，连接，由已知易得，平面，平面，满足定理条件；（2）设的中点为，则平面，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：由正视图可知：平面平面连接交于点，连接，由已知得，∴又平面，平面∴平面；（2）设的中点为，则平面，建立如图所示的坐标系，则设平面的法向量为∵∴由，可得，∴可取∴二面角的余弦值5.【答案】解：其中万元资金投入产品，则剩余的（万元）资金投入产品，利润总和．，，∴由基本不等式得：，当且仅当时，取等号，即．答：分别用万元和万元资金投资，两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为万元．【考点】函数模型的选择与应用函数最值的应用【解析】其中万元资金投入产品，则剩余的（万元）资金投入产品，根据产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为，可得利润总和；（2），，由基本不等式，可得结论．【解答】解：其中万元资金投入产品，则剩余的（万元）资金投入产品，利润总和．，，∴由基本不等式得：，当且仅当时，取等号，即．答：分别用万元和万元资金投资，两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为万元．6.【答案】解：（1）时，，时，，①又，②②-①得：（仍成立）故；（2）∵，∴，又，，故四边形的面积为：；（3）证明：，∴．【考点】数列与函数的综合数列与不等式的综合【解析】（1）求出时，；时，将换为，两式相减，即可得到所求通项公式；（2）运用点满足函数式，代入化简，求出梯形的底和高，由梯形的面积公式，化简可得；（3）求得：，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得证．【解答】解：（1）时，，时，，①又，②②-①得：（仍成立）故；（2）∵，∴，又，，故四边形的面积为：；（3）证明：，∴．。

黄冈中学2016届高三（下）数学周末测试题（理4）命题： 审稿：一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设12log 5a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】12log 5a =0<，0.210()13b <=<，1321c =>，所以a b c <<．2. Direchlet 函数定义为： R1Q()0Q t D t t ∈⎧=⎨∈⎩，关于函数()D t 的性质叙述不正确．．．的是（ ） A ．()D t 的值域为{}0,1 B ．()D t 为偶函数 C ．()D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数 【答案】C 【解析】因为 1 ()0Rt Q D t t Q ∈⎧=⎨∈⎩，那么根据函数定义可知，()D t 的值域为{}0,1，且有()D t 为偶函数，同时()D t 不是单调函数，并且()D t 是周期函数，故选C.3. 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集（ ） A ．),1()2,(+∞--∞ B ．)2,1()2,( --∞C ．),2()0,1()1,(+∞---∞D ．),3()1,1()1,(+∞---∞ 【答案】D4．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ）A ．0B ．C ．5D ．6 【答案】D 【解析】()()'26661f x x x x x =-=-，极大值()06f a ==5. 已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是( )【答案】A 【解析】()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以()1'sin 2f x x x =-.因为()()111'sin()sin (sin )'222f x x x x x x x f x -=---=-+=--=-，所以()'f x 为奇 函数，图像应关于原点对称，则排除,B D .又因为1111'sin (1)0626626226f πππππ⎛⎫=⨯-=⨯-=-<⎪⎝⎭，排除C .故A 正确. 6. 函数x ax x x f ++=23)(在),0(+∞内有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．),0(+∞B ．)3,3(-C ．)0,(-∞D ．)3,(--∞【答案】D 【解析】解：因为函数32f (x)x ax x =++在),0(+∞内有两个极值点，说明导函数中判别式大于零，即2f '(x)3x 2ax 1=++中224a 120a 3->∴>，选D 7. 定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()())12,3,12a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】A 【解析】构造函数()()1f xg x x =-，当()1,x ∈+∞时， ()()()()()2101f x x f x g x x '--'=>-，即()g x 单调递增，则()()()22221f a fg ===-， ()()())3133,1231ff b fg c fg======-，则()()23gg g <<，即c a b <<，故选：A ．8. 定义域为R 的函数1(2)|2|()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++等于（ ） A ．12 B ．14 C ．18D ．161【答案】C9．定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在),(,2121b x x a x x <<<满足1()()()f b f a f x b a，2()()()f b f a f x b a，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”. 已知函数a x x x f +-=2331)(是],0[a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)3,1( B ．)3,23( C ．)23,1( D ．33(1,)(,3)22【答案】B 【解析】()()20103f a f a a a -=--，根据题意：()22123f x x x a a '=-=-在],0[a 上有两个不同的实根，令()22123g x x x a a =--+在],0[a 上有两个不同的实根，需满足：()()()00100g g g a >⎧⎪<⎨⎪>⎩即：2222103112031203a a a a a a a a ⎧-+>⎪⎪⎪--+<⎨⎪⎪--+>⎪⎩解得：332a <<，所以答案为B.10．设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（ ） A ．15 B ．25 C ．12D ． 【答案】A 【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,ln )M x x 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点2(,ln )M x x 在函数2ln y x =的图象上，(,2)N a a 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2ln y x =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M到直线2y x =的距离最小，最小距离d == 则4()5f x ≥根据题意，要使045f x ，此时(,2)N a a 恰好为垂足， 由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =.11. 已知函数()212-+=xe x xf ()0<x 与()()a x x xg ++=ln 2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e ,1C ．()e ,∞- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e 1,【答案】C 【解析】存在()0,0∞-∈x ，满足()()a x x e x x+-+-=-+02020ln 210， 即()0ln 2100=+---a x ex 有负根， 如图所示，当0<a 时，()a x y +-=ln()[]a x --=ln 的图象可由()x y -=ln的图象向左平移a 个单位得到，可知 此时()0ln 2100=+---a x ex 有负根 一定成立；当0>a 时，()a x y +-=ln()[]a x --=ln 的图象可由()x y -=ln 的图象向右平移a 个单位得到，观察图象可发现此时()0ln 2100=+---a x e x 有负根的临界条件是函数)ln(a x y +-=经过点⎪⎭⎫⎝⎛21,0，此时有a ln 21=，解得e a =，因此要保证()0ln 21=+---a x e x 有负根，则满足e a <. 12. 若曲线21:C y x =与曲线2:xC y ae =(0)a >存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．28[,)e +∞ B ．28(0,]e C ．24[,)e +∞ D ．24(0,]e【答案】D 【解析】设公共切线与曲线1C 切于点211(,)x x ，与曲线2C 切于点22(,)xx ae ，则22211212x x ae x x ae x x -==-，将212x ae x =代入2211212x ae x x x x -=-，可得2122x x =+，又由212x ae x =得10x >，∴21x >，且224(1)x x a e -=，记4(1)()xx f x e -=，1x >，求导得'4(2)()x x f x e -=，可得()f x 在(1,2)上递增，在(2,)+∞上递减，∴max24()(2)f x f e ==，∴24(0,]a e ∈.二、填空题：本大题共4个小题，每题5分.13. 由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的封闭图形的面积为____ ____. 【答案】323【解析】由定积分的几何意义，几何图形，曲线232y x y x =-=和直线所围成的封闭图形的面积=S xd x x ]2)3[(213--⎰-1323|)331(-+--=x x x 332359=+=.14. 已知函数()f x 满足121()'(1)(0)2x f x f e f x x -=-+，则()f x 的单调递增区间是_____. 【答案】 (0,)+∞ 【解析】因为函数()f x 满足121()'(1)(0)2x f x f e f x x -=-+，故有1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，'(1)(0)f f e =，'(1)'(0)(0)0f f f e=-=，'(1)'(1)(0)1f f f =-+，(0)1f =，(1)f e '=，'()1x f x e x =+-，为增函数当0x >时，'()0f x >，可知结论为(0,)+∞. 15．已知函数()ln f x x x =-，()()3103g x ax ax a =->. 若对任意()11,2x ∈，总存在 ()21,2x ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为____ ____.【答案】33ln 22a ≥-【解析】设()f x 在()1,2x ∈的值域为A ,()g x 在()1,2x ∈的值 域为B ，则依题意知A B ⊆.因为()f x 在()1,2x ∈上是减函数，所以()ln 22,1A =--，又()()22'1g x ax a a x =-=-，因为()1,2x ∈，所以()210,3x -∈.当0a >时，()'0g x >，()g x 是增函数，22,33B a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为A B ⊆， 所以2ln 223a -≤-，解得33ln 22a ≥-. 16. 若函数()ln a f x x x =-在[]1,e 上的最小值为32，则实数a 的值为________．【答案】a = 【解析】()21'af x x x+＝，若0a ≥，()'0f x >，函数在[1，e ]上单调增，()33122f a a ∴-=∴=-=，，矛盾；若1e a -<<-，则函数在[1,a ]上单调减，函数在[a ,e ]上单调增，()32f a a ∴∴==， 若10a -≤<，函数在[1，e]上单调增，∴()33122f a a -=∴=-=，，矛盾；若a e ≤-，函数在[1，e]上单调减，∴()3 =22ef e a ∴=-，，故a =三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知21()log 1xf x x+=-． （Ⅰ）判断()f x 奇偶性并证明；（Ⅱ）判断()f x 单调性并用单调性定义证明．【解析】（Ⅰ）101xx +>-，∴11x -<<，∴定义域为(1,1)-，关于原点对称，… 又1222111()log log ()log ()111x x xf x f x x x x--++-===-=-+--，∴()f x 为奇函数．（Ⅱ）设1211x x -<<<， 则121212222121211(1)(1)()()log log log 11(1)(1)x x x x f x f x x x x x +++--=-=---+， 又1211x x -<<<，∴121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x +---+=-<， 即12120(1)(1)(1)(1)x x x x <+-<-+，∴1212(1)(1)01(1)(1)x x x x +-<<-+，∴12212(1)(1)log 0(1)(1)x x x x +-<-+，∴12()()f x f x <，∴()f x 在(1,1)-上单调递增．18．（12分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =过点(1,(1))f --的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值．【解析】（Ⅰ）2()24f x x x '=-．设切点为00(,)x y ，则切线方程为20000(24)()y y x x x x -=--，即322000005221(24)(1)33x x x x x ⎛⎫---+=--- ⎪⎝⎭解得012x ，=-，所以切线方程为1363y x =+或53y =-． （Ⅱ）方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(2,3)上单调递增，所以max ()(3)f x f =． （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得11x =，或21x =．故()f x 的增区间为(,1-∞，(1)++∞；减区间为(1+．① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在(2,3)上单调递增，所以max ()(3)f x f =． ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在2(2,)x 上单调递减，在2(,3)x 上单调递增，因为14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，max ()(3)f x f =；当1483a <<时，max ()(2)f x f =． ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在(2,3)上单调递减，所以max ()(2)f x f =． 综上，当143a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是73a -； 当143a >时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是723a -．19.（12分）已知函数()ax xx x f ++=1ln ． （Ⅰ）若函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）已知函数()xx x g 1+=，对于任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g x f ≤ 成立，求正实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()a xx x f +-='211221x x ax -+=，[)+∞∈,1x ， 由于函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，()0≥'∴x f 或()0≤'x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立，即012≥-+x ax 或012≤-+x ax 对任意[)+∞∈,1x 恒成立，x x a 112-≥∴或xx a 112-≤对任意[)+∞∈,1x 恒成立令x t 1=，由于[)+∞∈,1x ，(]1,0∈∴t ，设()t t t h -=241212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t因此()041≤≤-t h ，所以实数a 的取值范围为0a 或41-≤a（Ⅱ）由（1）知，当0a时，函数()x f 在[]e ,1上为增函数，故()()()e f x f f ≤≤1，即()eae x f a 111++≤≤+ ()222111xx x x g -=-=' ，∴当[]e x ,1∈，()0≥'x g ，DB所以函数()x g 在[]e ,1上是单调递增函数，()()()e g x g g ≤≤∴1，即()ee x g 12+≤≤ 对任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g xf ≤成立， 可知()()max 2max 1xg x f ≤，所以e ae 11++e e 1+≤，即ea 11-≤，故所求正实数a 的取值范围ea 110-≤<． 20．（12分）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，,DE DF 是两根支杆，其中2AB =米，2(0)4EOA FOB x x π∠=∠=<<. 现在弧EF 、线段DE 与线段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为(0)k k >，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. （Ⅰ）试将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”【答案】y 2cos )2)k x x x π=+-，12x π= 【解析】（Ⅰ）因为2EOA FOB x ∠=∠=, 所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为4,2,2x x x π-连接OD ，则由OD =OE =OF =1，22FOD EOD xπ∠=∠=+cos )DE DF x x ====+ 所以2cos )4)4)y k x x x kx π=++-+2cos )2)k x xx π=+-（Ⅱ）因为由4sin )1)0y k x x '=--=，解得1cos()42x π+=，即12x π= 又当(0,)12x π∈时，0y '>，所以此时y 在(0,)12π上单调递增；当(,)124x ππ∈时，0y '<，所以此时y 在(,)124ππ上单调递减.故当12x π=时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳21．（12分）已知函数()(1)ln(1)f x x x =++．（Ⅰ）若函数2(1)y f x =-与3y x mx =-(1)m >的图象在区间1[,]e e上有两个不同的交点，求m 的取值范围；（Ⅱ）证明：当0m n >>时，(1)(1)nmm e n e e e +<+．【解析】（Ⅰ）函数(1)y f x =-与3y mx x =-的图象在区间1[,]e e上有两个不同的交点⇔方程32ln x x x mx =-在区间1[,]e e 上有两个不同的实数解⇔方程22ln m x x =-在区间1[,]e e上有两个不同的实数解.⇔函数y m =与2()2ln g x x x =-图象在区间1[,]e e上有两个不同的交点.22(1)(1)'()20(0)x x g x x x x x+-=-==>，1x =；当(0,1)x ∈时，'()0,g x <当(1,)x ∈+∞时，'()0,g x >故()g x 在1[,1]e上是减函数，在[1,]e 是增函数；在区间1[,]e e 上min ()(1)1g x g ==，2211()23()2g g e e e e=+<<=-，2max ()()2g x g e e ==-，其大致图象如图：由图象可知，m 的取值范围是21(1,2]e+（Ⅱ）令,m nu e v e ==，0,0m n u v >>∴>>，要证(1)(1)nmm e n e e e +>+，只需证ln(1)ln(1)v u u v +<+，等价于ln(1)ln(1)u v u v ++<，令ln(1)()(0)x h x x x+=>，22ln(1)(1)ln(1)1'()(1)xx x x x x h x x x x -+-+++==+，令()(1)ln(1)(0)k x x x x x =-++>， '()1ln(1)1ln(1)0(0,11)k x x x x x =-+-=-+<>+>’，故()k x 在(0,)+∞单调递减， 所以()(0)0k x k <=，故'()h x 0<，故ln(1)()(0)x h x x x+=>是减函数， 0,()()u v h u h v >>∴<，即ln(1)ln(1)u v u v++<，即(1)(1)n mm e n e e e +<+成立．22.（12分）已知函数2()2ln f x x x ax =--，21()ln 3,g x a x x ax a R x=-+++∈． （Ⅰ）令()()()h x f x g x =+，求函数()h x 的单调减区间；（Ⅱ）如果12,x x 是函数()f x 的两个零点，且1214x x x <<，()f x '是()f x 的导函数，证明：122()03x x f +'>． 【解析】（Ⅰ）2(21)(1)()x ax h x x -+'=，令()0h x '=得1211,2x x a =-=， 若0a ≥，由()0h x '<得102x <<，∴()h x 的单调减区间为1(0,)2；若0a <，①当2a <-时，112a -<，由()0h x '<得10x a <<-，或12x >，所以()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a -+∞；②当2a =-时，总有22(21)()0x h x x -'=-≤，故()h x 的单调减区间为(0,)+∞； ③当20a -<<时，112a ->，由()0h x '<得102x <<，或1x a>-， 所以()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a-+∞；综上所述，当2a <-，()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a -+∞；当2a =-时，()h x 的单调减区间为(0,)+∞；当20a -<<时，()h x 的单调减区间为11(0,),(,)2a-+∞；当0a ≥时，()h x 的单调减区间为1(0,)2（Ⅱ）由题意知，2211112222()2ln 0,()2ln 0f x x x ax f x x x ax =--==--=两式相减，整理得所以2121212ln()x x a x x x x =-+-，又因为2()2f x x a x '=--，故2122121221221113326221()(2)ln ()32332x x x x x f x x a x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+'⎢⎥=-+-=----+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦， 令2133(1,4),()ln ,2x t t t t x t ϕ-=∈=-+则2(1)(4)()0(2)t t t t t ϕ--'=<+， 所以()t ϕ在(1,4)上单调递减，故()(1)0t ϕϕ<=， 又1221210,()03x x x x -<-->-，所以122()03x xf +'>．。