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二次函数及根的分布

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第1页共9页 二次函数 教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设2()(0)fxaxbxca，求在上的最大值与最小值．

分析：将配方，得对称轴方程, 当时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；

若 当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时





))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmf

xf





)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf

当时 第2页共9页





)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf fxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910

典型例题 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定

例1．已知函数2()2tan1,[1,3],fxxxx，当6时，求函数f(x)的最大值与最小值．

解析：6时， 234()()33fxx 所以33x时，min4();13fxx时，max23()3fx． 2．轴定区间动 例2．求函数243yxx在区间,1tt上的最小值． 解析：对称轴2x （1）当2t即2t时，2min43yfttt；

（2）当21tt即12t时，min21yf； （3）当21t即1t时，2min12yfttt 3．轴动区间定 例3．求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值．

解析：函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2a；由图可知max()(1)fxf 第3页共9页

（2）a22；由图可知max()()2afxf （3）2a时；由图可知max()(1)fxf





2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,)1(2aaaaaay最大

4．轴动区间动 例4．已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值．

解析：将24()yaxa代入u中，得

①，即时， ②，即时， 所以

（二）逆向型 已知二次函数在某区间上的最值，求函数在区间中的参数值． 例5．已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值．

解析：2()(1)1,[3,2]fxaxax

（1）若0,()1,afx，不合题意． （2）若0,a则max()(2)81fxfa 由814a，得38a； （3）若0a时，则max()(1)1fxfa 由14a，得3a． 第4页共9页

综上知38a或3a． 例6．已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的值域是[3,3]mn，求m，n的值． 解析：方法一：讨论对称轴中1与,,2mnmn的位置关系． ①若，则maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm 解得 ②若12mnn，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfmm，无解

③若12mnm，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfnm，无解 ④若，则maxmin()()3()()3fxfmnfxfnm，无解 综上，4,0mn 方法二：由211()(1)22fxx，知113,,26nn，则[,](,1]mn，f(x)在[,]mn上递增．

所以maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm 解得4,0mn 评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了．

例7．已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值 ． 解析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题． 令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，

①当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）． ②当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递增， 由max111242yaa，得103a． ③当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）． 第5页共9页

综上可得：a的值为2a或103a． 二、恒成立问题 此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法．

例14．已知函数2()3fxxax， （1）当xR时，()fxa恒成立，求实数a的取值范围； （2）当[2,2]x时，()fxa恒成立，求实数a的取值范围． 解析：（1）当xR时，()fxa恒成立，即230xaxa在R上恒成立， 因此0得：62a． （2）[2,2]x，()fxa恒成立，即[2,2]x，min()fxa．

函数2()3fxxax的对称轴为：2ax， ①22a即4a时，min()(2)72fxfaa得：73a故此时无解； ②22a即4a时，min()(2)72fxfaa得：7a故74a； ③222a即44a时，2min()()324aafxfa得：62a故42a；

综上可知：72a． 例15．不等式2(2)2(2)40axax对一切xR恒成立，求实数a的取值范围． 解析：①a=2时，40，恒成立；

②2a时，满足200a得：22a； 综上可知：22a． 例16．当(1,2)x，不等式240xmx，求实数m的范围． 第6页共9页

解析：方法一：令2()4fxxmx ()fx开口向上故f（x）在[1,2]上的最大值为(1)f或(2)f，故(1)0(2)0ff得：5m．

方法二：参数分离法 (1,2)x时，240xmx等价于4()mxx（(1,2)x），

45()4xx，（(1,2)x）,

故5m． 例16．对满足2p的所有实数p，求使不等式212xpxxp恒成立的x取值范围． 解析：由题意知，不等2(1)210xpxx对[2,2]p恒成立， 令2()(1)21fpxpxx，（看作是p的函数）

由(2)0(2)0ff得：1x或3x． 三、根的分布 例8．(1)方程2240xax的两根均大于1，求实数a的范围．

(2)方程2240xax的两根一者大于1，一者小于1求实数a的范围． (3)方程2240xax的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a的范围． 解析：令2()24fxxax

（1）由012(1)0af或 12120(1)(1)0(1)(1)0xxxx得：522a； （2）由(1)0f或120(1)(1)0xx得：52a；

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(2021年整理)高中二次函数根的分布教案及练习

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一元二次方程根的分布问题设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的两根为x1，x2,且x1≤x2，k、p、m、n为常数，则一元二次方程有以下若干定理：两根在两个不同的区间内m＜x1＜n p＜x2＜q注：零分布是k分布的特殊情形（如下表）．〖结论〗一般地，用函数思想结合图象来分析方程ax2+bx+c=0(a≠0）的实根分布情况要考虑四个必要条件.①二次项系数a,决定图象开口（延伸)方向；②判别式Δ=b 2-4ac ，决定与x 轴的位置; ③对称轴x=—b/2a ，决定图象左右平移；④特殊点(区间端点）所对函数值f(x 0)的正负,决定图象开口大小。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？4。

已知关于x 的方程02)1(2=+++a x a x 分别在下列条件下，求实数a 的取值范围。

（1）有一个根小于—1，有一个根大于1；（2）两根均在)1,1(-内。

例、5（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； （3）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4,一个小于4，求m 的取值范围.6.分别求使方程032=+--m mx x 的两根满足下列条件的m 值的集合。

二次函数根的分布和最值

二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳之袁州冬雪创作1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ） ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在()n m ,内两根有且唯一一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另外一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需知足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且唯一一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出别的一根，然后可以根据另外一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值.如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另外一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围.分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-知足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不知足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =- 根的分布操练题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.解：由()()2100m f +<即()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围.例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围. 解：由03m <<-3m >+.例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.解：由()()210m f +<即()()2210m m ++<⇒122m -<<即为所求的范围.例4、已知二次方程()22340mx m x+-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围.解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f<⇒()4310m+<⇒13m<-即为所求范围.（注：本题对于能够出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，辨别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴唯一一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．图像为观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道．a＞0时,相对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,相对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在停止转化时，应包管这种转化的等价性．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：②α，β同居一区间时，不单要思索端点函数值的符号，还要思索三、好题解给你(1)(1) 预习题1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y＝2(x-2)2-7∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此y max=f(4)＝1．y min＝f(3)＝-5．2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．解：经配方有y＝2(x-a)2+3．对称轴为x=a．当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．根据上述分析，可知．当a≤3时，y max=f(4)=2a2-16a+35．y min=f(3)＝2a2-12a+21．当3＜a＜4时，y min＝f(a)＝3．其中，a≤3.5时，y max＝f(4)＝2a2-16a+35．a≥3.5时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．y min＝f(4)＝2a2-16a+35．(2)(2) 基础题例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另外一根小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，唯一一根在[1，4]内？解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．∴ m＜-2．反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能包管△＞0．(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1＜0．(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应知足条件依韦达定理有(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内唯一一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2.当m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，∴，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．由以上分析，有即∴当时，原方程有两个负数根．(3)(3) 应用题例1.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且知足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：＜1，β＞2．例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另外一个实根小于2.解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另外一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另外一个实根小于2．(4)(4) 提高题例1．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k 的取值范围．解：（1）当，则所给函数为二次函数，图象知足：，即解得：（2）当时，若，则的图象不成能都在x轴上方，∴若，则y=3的图象都在x轴上方由（1）（2）得：反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且知足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．如图，0＜α＜1＜β的条件是解得例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，知足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，而且α∈（-2，0），β∈（1，3）的解得-12＜a＜0．四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）A．B．C．D．x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另外一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0D．-1＜m＜1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）A．B．C．D．4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另外一个根小于4，求实数m的取值范围．可知方程f（x）=0的一根大于4，另外一根小于4的充要条件是：f （4）＜0）5．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况： a b n m 2-<< n a b m <-<2即[]n m a b ,2∈- n m a b <<-2 图象 最大、最小值 ()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,max min max ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于启齿向下的情况，讨论近似.其实无论启齿向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a b ,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 别的，当二次函数启齿向上时，自变量的取值分开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数启齿向下时，自变量的取值分开对称轴轴越远，则对应的函数值越小.二次函数在闭区间上的最值操练二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：启齿方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况. 例1、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值.解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调.（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒32522a b b ++=⎧⎨+=⎩⇒10a b =⎧⎨=⎩； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min23f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒13a b =-⎧⎨=⎩ 例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值.解：对称轴0x a =（1）当1a <时，()min 122y f a ==-；（2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-；（3）当3a >时，()min 3106y f a ==-改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-；（2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-.2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样停止？解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-.例3、求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值.解：对称轴02x =（1）当2t <即2t >时，()2min 43y f t t t ==-+；（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-；（3）当21t >+即1t <时，()2min 12y f t t t =+=-例4、讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值.解：()2221,11,x a x x a f x x x a x a x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，12a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当12a <-时，()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； （2）当1122a -≤<时，()()2min 1f x f a a ==+； （3）当12a ≥时，()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不敷系统和完整，且处理的方法偏重于二次方程根的辨别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用.下面我们将主要连系二次函数图象的性质，分两种情况系统地先容二次函数根的分布的充要条件及其运用.一．一元二次方程根的基天职布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比方二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤.【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围. 【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 【定理3】0021<<<ac x x ，则 例3k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 1)01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ；2)01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b . 例4若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另外一根是正根还是负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 【定理4】有且唯一11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f 【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请自证.【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另外一根在1和2之间，求实数k 的取值范围2+2(m+1)x+m+3=0唯一一个负根，求m 的取值范围kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围5.已知集合A={x|x 2+(2-a)x+1=0}，若A ⊆R +，求a 的取值范围6.已知A={x|x 2+2x+2-p=0}，且A ∩R +=φ，求p 的取值范围7. 已知x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m 范围 2-x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a 的范围2-2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a 使它的两根都大于110.若二次函数y=-x 2+mx-1的图像与两头点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个分歧的交点，求m 的范围11.已知f(x)=mx 2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m 的取值范围。

二次方程根的分布情况归纳(教师版)

二次方程根的分布情况归纳(教师版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为X|,X2且X i x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间夕卜，即在区间两侧为2,（图形分别如下）需满足的条件是f n 0 f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： (1)两根有且仅有一根在 m, n 有以下特殊情况：1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。

如方程mx 2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为 ，由13m m2得 m 2即为所求；3 2方程有且只有一根，且这个根在区间m, n ，即 0,此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给疋的区间， 如右不在，舍去相应的参数。

如方程x 4mx 2m 6 0有且 一根在区间 3,0 ,求m 的取值围。

分析：①由f 3gf 0 0 即 14m 15 m3 0得出 3 15 m；②由0即 16m 2 4 2m146 0得出m 31 或 m —,2 当m1时，根x23,0 ,即m31满足题意；当m 时，根x 323,0，故 m-不满足题意； 2综上分析，得出3 m至或14m1根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数 m 的取值围。

1解：由 2m 1 gf 0 0即 2m 1 m 1 0，从而得m 1即为所求的围。

二次函数根的分布问题

二次函数根的分布问题

二次函数零点的分布问题
复习：
1.函数的零点
2.一元二次方程根的情况
新知引入：
一元二次方程 在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。

例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
研究一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要考虑四个方面：
(1)开口方向
(2)一元二次方程根的个数； (3)相应二次函数区间端点正负；
（4）相应二次函数图象的对称轴位置．
设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，则x 1，x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示.
20(0)
ax bx c a ++=≠2-2-k 0x x =
例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
例2：m 为何实数值时，关于x 的方程
有两个大于1的根
.
2(3)0x mx m -++=2-2-k 0x x =
练习:
1：已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a2－2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点，求a 的取值范围
2：已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．
3若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围.
4.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)。