上海市罗泾中学八年级数学上册 17.2 一元二次方程的解法—求根公式法教案 沪教版五四制【教案】

2019-2020年八年级数学上册 17.2 一元二次方程的解法（1）特殊的一元二次方程的解法教案沪教版五四制
1、观察：下列方程有什么共同特点？
你会解这些方程吗？不妨试一试。

2、尝试：（2） (3)2x2+5=0;
3、谈体会由上述探索谈体会。

（1）一元二次方程，在什么情况下采用开平方法解方程。

（2）当b=0时，方程的根会出现哪几种不同的情况？
4、一般来说，解形如的一元二次方程，其步骤是：
（1）通过移项，两边同除以，把原方程变形为
（2）根据平方根的意义，可知当、c异号时，>0，方程的根是，；
当、c同号时，<0，方程没有实数根；当c=0时，=0，方程的根是.
5、例题1 解方程：
思考如何解方程
6、例题2 解方程：
三、巩固练习：
1、请说出下列方程的根：
2、解方程：
课堂小结：
四、本课小结：
特殊二元一次方程的解法
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17.2 一元二次方程的解法1．配方法学习目标1．学会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程；(重点)2．理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程．(难点) 教学过程一、情境导入一块石头从20m 高的塔上落下，石头离地面的高度h (m)和下落时间x (s)大致有如下关系：h ＝5x 2，问石头经过多长时间落到地面？二、合作探究探究点一：用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－16＝0; (2)3x 2－27＝0；(3)(x －2)2＝9; (4)(2y －3)2＝16.解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．解：(1)移项，得x 2＝16.根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4；(2)移项，得3x 2＝27.两边同时除以3，得x 2＝9.根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3；(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，即x 1＝5，x 2＝－1；(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即2y －3＝4或2y －3＝－4，即y 1＝72，y 2＝－12. 方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x 2＝a (a ≥0)；②(x ＋a )2＝b (b ≥0)；③(ax ＋b )2＝c (c ≥0)；④(ax ＋b )2＝(cx ＋d )2(|a |≠|c |)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】 用配方法解一元二次方程用配方法解下列方程：(1)x 2－2x －35＝0；(2)3x 2＋8x －3＝0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．解：(1)移项，得x 2－2x ＝35.配方，得x 2－2x ＋12＝35＋12，即(x －1)2＝36.直接开平方，得x －1＝±6.所以原方程的根是x 1＝7，x 2＝－5；(2)方程两边同时除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得x 2＋83x ＝1.配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2，即(x ＋43)2＝(53)2.直接开平方，得x ＋43＝±53.所以原方程的根是x 1＝13，x 2＝－3. 方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型二】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题2．公式法学习目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)2．会用公式法解一元二次方程；(重点)教学过程一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)且b 2－4ac ≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 二、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，x ＝7±1456. 方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0；(2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)3x 2－12x ＋3＝0.解：(1)将－3x 2－5x ＋2＝0两边同乘以－1得3x 2＋5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x ＝－5±492×3＝－5±76，∴x 1＝13，x 2＝－2； (2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a ＝3，b ＝－12，c ＝3，∴b 2－4ac ＝(－12)2－4×3×3＝108，∴x ＝12±1082×3＝12±636＝2±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题3．因式分解法学习目标1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．(重点) 教学过程一、情境导入我们知道ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，类似的解方程(x ＋1)(x －1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x ＋1＝0或x －1＝0来解，你能求(x ＋3)(x －5)＝0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋5x ＝0；(2)(x －5)(x －6)＝x －5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x (x ＋5)＝0，所以x ＝0或x ＋5＝0，所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5；(2)原方程转化为(x －5)(x －6)－(x －5)＝0，所以(x －5)[(x －6)－1]＝0，所以(x －5)(x －7)＝0，所以x －5＝0或x －7＝0，所以原方程的解为x 1＝5，x 2＝7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0，观察是否有公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用公式法分解因式解下列方程：(1)x 2－6x ＝－9；(2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0.解：(1)原方程可变形为x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，∴x －3＝0，∴原方程的解为x 1＝x 2＝3；(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43. 方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题(3)(4)小题。

课 题一元二次方程的解法〔1〕 授课时间： 备课时间：教学目标 掌握一元二次方程的两种解法：2、因式分解法；重点、难点2、因式分解法；考点及考试要求2、因式分解法；教学内容 一、知识讲解形如2x d =的一元二次方程，解法如下； 假设2()x a d +=，其中0a ≠，解法：〔1〕0d >，20x >，1x d =，2x d =-； 〔1〕0d >，1x d a =-，2x d a =--；〔2〕0d =，20x =，120x x ==； 〔2〕0d =，12x x a ==-；〔3〕0d <，20x <，方程无解。

〔3〕0d <，方程无解。

形如20ax c +=〔0a ≠〕；〔1〕通过移项，两边同除以a ，那么2c x a =-； 〔2〕根据平方根的意义；当a 、c 0c a ->，方程有两个不同的实数根，1c x a =-，2c x a =--； 当a 、c 0c a-<，方程没有实数根； 当0c =时，0c a-=，方程有两个相同的实数根，120x x ==。

2、因式分解法一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，〔1〕常数项0c =时，20(0,0)ax bx a b +=≠≠，解法如下：〔3〕(32)6(32)0x x x +-+= 〔4〕(3)(10)0x x +-=答案：121,5x x =-=；1251,2x x =-=-；1226,3x x ==-；123,10x x =-=三、课堂练习1、直接写出以下方程的根：〔1〕2144x = 〔2〕225036x -= 〔3〕260x -=〔4〕2520x += 〔5〕2641y = 〔6〕2240y -+=答案：512;;6;6x x x =±=±=±无解；1;28y y =±=±方程：〔1〕21802x -= 〔2〕2240x -= 〔3〕210.10x -=〔4〕2(2)25x += 〔5〕23(5)36y -= 〔6〕225(43)4x -= 答案：12121114;26;10;3,7;523;,88x x x x x y x x =±=±=±==-=±==3、直接写出以下方程的根： 〔1〕(4)0x x += 〔2〕(1)(15)0x x -+= 〔3〕(51)(22)0x x +-=〔4〕()()0x a x b -+= 〔5〕21280x x += 〔6〕2320x x -=答案：120,4x x ==-；121,15x x ==-；1212,52x x =-=；12,x a x b ==-；1220,3x x ==-；1220,3x x ==； 4、用因式分解法解以下方程：〔1〕220x x --= 〔2〕28120x x -+= 〔3〕223x x +=〔4〕2690x x -+= 〔5〕2421x x += 〔6〕21336x x =+〔7〕7(3)2(3)0x x x ---= 〔8〕3(25)4(52)0x x x ---=答案：12(1)(2)0,1,2x x x x +-==-=；12(2)(6)0,2,6x x x x --===；12(1)(2)0,1,2x x x x --===； 2(3)0,3x x -==；12(3)(7)0,3,7x x x x -+===-；12(4)(9)0,4,9x x x x --===；122(3)(72)0,3,7x x x x --===；1254(25)(34)0,,23x x x x -+===-. 四、课堂总结家庭作业1、填空题〔1〕方程(3)28t t +=的解为_____________________。

课题
一元二次方程的解法（2）
授课时间：
备课时间：
教学目标
1、熟练掌握一元二次方程的解法：配方法；
2、掌握配方法求极值问题；
重点、难点
1、熟练应用配方法解一元二次方程
2、掌握配方法求极值问题；
考点及考试要求
熟练解一元二次方程
教学内容
一、知识讲解
问题4：采用因式分解法解方程 ，能否用开平方法解这个方程？
答案： ； ；
例2、利用配方 法解下 列方程：
（1） （2）
（3） （4）
答案：
例3、填空：
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
例4、配方法求解极值问题
（1）求 的最小值；（2）求 的最大值。
答案： ；
三、课堂练习
1、用适当的数填空：
① ；② ；
③ ；④ ；
2、将二次三项式 进行配方，其结果为__________________________。
解方程 的一般步骤：
（1）移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为 （ 、 是已知数）；
（2）方程左右两边同加上“一次项系数一半的平方”，方程 的左边配成一个关于 的完全平方式，方程化为
（3）当 时，利用开平方法解方程；当 时，原方程无实数根；
二、例题讲解
例1、解下列方程：
（1） （ 2） （3）
3、已知 可变为 的形式，则 。
4、将一元二次方程 ，用配方法化成 的形式为__________________________，所以方程的根为__________________________。
5、若 是一个完全平方式，则 的值是（）
A．3 B． C． D．以上都不对