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2016北京高三二模分类汇编：圆锥曲线

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2016北京高三二模分类汇编 圆锥曲线方程 一、圆锥曲线基础应用 1.【2016西城高三二模，文数第12题】

设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为22yx，则其离心率为____；若点(4,2)在C上，则双曲线C的方程为____.

2.【2016朝阳高三二模，文数第12题】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线28yx的准线l的方程是；若双曲线

222210,0xyabab的两条渐近线与直线l交于,MN两点，且MON的面

积为8，则此双曲线的离心率为.

3.【2016海淀高三二模，文数第07题】

4.【2016海淀高三二模，文数第11题】 5.【2016昌平高三二模，理数第02题】 已知双曲线22:1Cmxny的一个焦点为(5,0)F，实轴长为6，则双曲线C的渐

近线方程为 A．43yxB. 34yxC.53yx D.35yx

6.【2016朝阳高三二模，理数第09题】 双曲线的渐近线方程是；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则．

二、圆锥曲线复杂应用（压轴大题） 7.【2016西城高三二模，文数第20题】 （本小题满分14分） 已知抛物线C：24xy，过点)0)(,0(mmP的动直线l与C相交于BA,两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线BQAQ,与x轴分别相交于点FE,. （Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点Q在直线ym上； （Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，说明理由.

8.【2016昌平高三二模，理数第18题】 （本小题满分13分） 已知函数()eaxfx，2()(,,)gxxbxcabcR，且曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(0,)c处具有公共切线. 设()()()hxfxgx. （I）求c的值，及,ab的关系式； （II）求函数()hx的单调区间；

22:13xCy2

2(0)ypxp

Cp（III）设0a，若对于任意12,[0,1]xx，都有12()()e1hxhx，求a的取值范围．

9.【2016朝阳高三二模，理数第18题】 （本小题满分13分）

已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求a 的取值范围．

10.【2016昌平高三二模，理数第19题】 （本小题满分13分） 已知椭圆M：222210xyabab的焦距为2，点0,3D在椭圆M上，过原点

O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP． （Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率； （Ⅱ）求证：ABAP.

11.【2016朝阳高三二模，理数第19题】 （本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的

方程为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；

21()(1)1)ln2fxxaxax（aR

3a:()Cyfx(1,(1))f

1,2x:()Cyfx(,)xy

12,,32xxyyx



Oxy000(,)(0)Pxyy

:C

2212xyP

l

0012xxyy

C（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．

12.【2016朝阳高三二模，文数第20题】 （本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，000(,)(0)Pxyy是椭圆:C222212xy(0)上的点，

过点P的直线l的方程为002212xxyy. (Ⅰ)求椭圆C的离心率； （Ⅱ）当1时，设直线l与x轴、y轴分别相交于,AB两点，求OAB面积的最小值；

（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为1F，2F，点Q与点1F关于直线l对称，求证： 点2,,QPF三点共线.

13.【2016海淀高三二模，文数第20题】

lxy

,ABOAB

C1F2FQ1Fl

2,,QPF详细解答 1. 6/2,𝑥28−𝑦24=1 2. 2x,5 3. C 4. 2 2 5. A

6. , 4 7.

3

3yx 8. 解：（I）因为函数()eaxfx，2()gxxbxc，

所以函数'()eaxfxa，'()2gxxb. 又因为曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(0,)c处具有公共切线，

所以(0)(0),'(0)'(0)fgfg，即1,.cab ………………4分 （II）由已知，2()()()e1axhxfxgxxax. 所以'()e2axhxaxa. 设()'()e2axFxhxaxa，所以2'()e2axFxa， aR，'()0Fx，所以'()hx在(,)上为单调递增函数. ……………6分

由（I）得，'(0)'(0),fg所以'(0)'(0)'(0)0hfg，即0是'()hx的零点.

所以，函数()hx的导函数'()hx有且只有一个零点0．…………………………7分 所以'()hx及()hx符号变化如下， x (,0) 0 (0,) '()hx  0 

()hx ↘ 极小值 ↗

所以函数()hx的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为(0,).……………9分 （III）由（II）知当[0,1]x 时，()hx是增函数.

对于任意12,[0,1]xx，都有12()()e1hxhx等价于

maxmin()()(1)(0)ee1ahxhxhha， 等价于当0a时，()e(e1)0aGaa， 因为'()e10aGa，所以()Ga在[0,)上是增函数， 又(1)0G，所以[0,1]a. ……………13分 9. 解：（Ⅰ）当时, ，． ． 则，而． 所以曲线C在点(1,)处的切线方程为，即． …………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）依题意当时，曲线C上的点(x,y) 都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当1<=x<=2 恒成立． 设g(x) = f(x)– x ，．

所以． （1）当，即时，当时，，为单调减函数，

所以．依题意应有

解得所以． （2）若，即时，当，，为单调增函数，当，，为单调减函数．

由于，所以不合题意．

（3）当，即时，注意到，显然不合题意． 综上所述，． …………………………13分

3a21()42ln2fxxxx0x2()4fxxx

(1)1421f17(1)422f

(1)f712yx2250xy

1,2x

12,,32xxyyx



211)ln2xaxax（1,2x

21(1)()=+=axaxagxxa+xx

(1)(1))=xxax

11a2a1,2x()0gx()gx

(2)()(1)ggxg131,222221ln20,()()()gagaa



21aa,.



12a

112a23a

1,1xa()0gx()gx

x1,2a()0gx()gx

3(1)2g

12a3a15(1)22ga

12a10. 解：（I）由题意知1,c3b，则2224abc，

所以椭圆M的方程为22143xy，椭圆M的离心率为12.……………5分 （II）设0011(,),(,)AxyPxy，则0000(,),(,).2yBxyCx 由点,AP在椭圆上，所以2200143xy①2211143xy② 点A不是椭圆M的顶点，②-①得 2210221034yyxx .

法一：又01001000332,,24PBBCyyyykkxxxx且点,,BCP三点共线， 所以10010034yyyxxx, 即 0100104().3()yyyxxx 所以，kABikPA=y0x0iy1-y0x1-x0=4(y1+y0)3(x1+x0)iy1-y0x1-x0=4(y12-y02)3(x12-x02)=43´(-34)=-1, 即 ABAP. ……………13分 法二： 由已知AB与AP的斜率都存在，kPAikPB=y1-y0x1-x0iy1+y0x1+x0=

y12-y02

x12-x02

2210

2210

3()344xxxx



又003,4PBBCykkx得00,PAxky

则kABikPA=y0x0i(-x0y0)=-1， 即 ABAP. ……………13分

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2016北京高三二模分类汇编：集合

2016北京高三二模分类汇编：集合

2016北京高三二模数学分类汇编集合一、集合基础应用1.【2016朝阳区高三二模，理数第01题】已知集合{}124x A x =<<，{}10B x x =-≥，则A ∩B ＝A ．{}12x x ≤<B ．{}01x x <≤C ．{}01x x <<D ．{}12x x <<2.【2016西城高三二模，文数第01题】设全集U =R ，集合{|0}A x x =>，{|1}B x x =<，则集合(U A )∩B =（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[1,)+∞3.【2016海淀高三二模，文数第01题】4.【2016朝阳区高三二模，文数第01题】已知集合{}0,1,2A =，{}(2)0B x x x =-<，则A ∩B =A ．B ．C ．D ．{}15.【2016海淀高三二模，理数第01题】{}0,1,2{}1,2{}0,1二、集合复杂应用（压轴大题）6.【2016朝阳区高三二模，文数第20题】（本小题满分13分）已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，，都有；（Ⅲ）求证：对任意正整数，集合具有性质．7.【2016海淀高三二模，理数第20题】311,(22n S k k k n *⎧⎫-⎪⎪=≤≤∈≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭N )n *∈N 12,,,n S S S 12n S S S S =(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠,(1,2,,),i x y S i n x y ∀∈=>i x y S -∉S P iS 1,2,,i n =S P 2n =S P PS 1,S 2S P T S P {3|}n T s s T '=+∈,x y TT '∀∈x y >x y T T '-∉2n ≥SP详细解答1. A2. B3. B4. D5.A6. 证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,则12SS S =, 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． ………… 3分（Ⅱ）①若31,(1)2n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉．②若,x y T '∈,可设3,3nnx s y r =+=+，,r s T ∈,且3112n r s -≤<≤，此时31(3)(3)132n n nn x y s r s r --=+-+=-≤-<．所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y T T '-∉．③若y T ∈, 3nx s T '=+∈,s T ∈，则313331(3)()3(1)3222n n n nnnx y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉．又因为,y T s T ∈∈，所以s y T -∉．所以(3)()3nn x y s y s y T '-=+-=-+∉．所以'x y TT -∉．综上，对于,'x y T T ∀∈，x y >，都有'x y TT -∉． …………… 8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ．（2）假设n k =(2k ≥)时，命题成立．即1231{1,2,3,,}2k k S S S S -==， 且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠，,(1,2,,),i x y S i k x y ∀∈=>，都有i x y S -∉．那么 当1n k =+时，记{3|}ki i S s s S '=+∈,，并构造如下个集合：111S S S '''=,222S S S '''=,,k k kS S S '''=， k +11313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+，显然()i j S S i j ''''=∅≠．又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2k k k S S S S ++-''''''''=．下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素(1,2,,1)i k =+． ①若两个元素13131,22k kk r s S +--''++∈,31112k r s -≤<≤+, 则313131()()222k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i i i S S S '''=(1)i k ≤≤,由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,,1)i k =+． 从而，1n k =+时命题成立．综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分7:¢¢S i¢¢S i。

【帮帮群】2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(物超所值)

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设，，直线．显然． 由，得． 因为与双曲线交于两点，所以，且． 设的中点为． 由即，知，故． 而，，， 所以，得，故的斜率为． 5、
ykkxxl21:,x0y21 2
k
2
3
x2x3k2624k1yl3322xk2014k20
3
0
F1Fky1FF11F1xkk,xy210 0
yx2kkkF13x2k1xk223xl2512kk255332kk232k1k262k3 3
9、（2016 年全国 III 高考）已知抛物线：的焦点为，yPA2l，1CFx, lQ2B2x 平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两
点．
ARPAFRQBFQ （I）若在线段上，是的中点，证明；
点的轨迹方程.
（II）若的面积是的面积的两倍，求中 PAQBAFB
10 、 （ 2016 1）.
有方程组 得.① 方程①的判别式为，由，得， 此方程①的解为，
3x2 122x=bx222b42((=1=bby80322223b1),2 ) 0 y x=x2 3,
所以椭圆 E 的方程为. 点 T 坐标为（2,1）.
x2 6
y2 3
1
由②得. 所以 ， 同理， 所以
. 故存在常数，使 得. 6、
1
B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则__
_____________. 2、（2016 年山东高考）已知双曲线 E：
x2 （a＞ a2
y2 b2
1
0 ， b ＞ 0 ） ， 若 矩 形 ABCD 的 四 个 顶 点 在 E 上 ，
AB，CD 的中点为 E 的两个焦
点 ， 且 2|AB|=3|BC| ， 则 E 的 l1 : 2x y 1 l01, l2 : 2x y 1 0
高考数学真题总结——圆锥曲线大题(珍藏版三)

高考数学真题总结——圆锥曲线大题(珍藏版三)

高考数学真题总结—圆锥曲线大题（珍藏版三）2016高考数学圆锥曲线大题（2016新课标一理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与 圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016新课标一文20）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ． （1）求||||OH ON ； （2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．（2016新课标二理20）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，． （1）当时，求的面积； （2）当时，求的取值范围．:E 2213x y t +=x A E (0)k k >E ,A M N E MA NA ⊥4,||||t AM AN ==AMN ∆2AM AN =k（2016新课标文21）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （1）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （2）当AM AN =时，证明：32k <<.（2016新课标三理、文20）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于,P Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．（2016北京理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ． 求证：||||AN BM ⋅为定值．（2016北京文19）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴 交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．（2016天津理、文19）设椭圆13222=+y a x (3)a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）（理）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．（3）（文）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠=，求直线l 的斜率.（2016山东理21）平面直角坐标系中，椭圆C ：的离心率是，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点,A B ，线段AB 的中点为,D 直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点.M（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点,G 记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．xOy ()222210x y a b a b+=＞＞32（2016山东文21）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴与点,N 交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点.B ①设直线,PM QM 的斜率分别为,,k k '证明k k'为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．（2016四川理20）已知椭圆()222210x y E a b a b+=>>：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:l 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点.T （1）求椭圆的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线'l 平行于,OT 与椭圆E 交于不同的两点,,A B 且与直线l 交于点.P 证明：存在常数,λ使得2||||||,PT PA PB λ=⋅并求λ的值。

2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线 学生专用

2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线 学生专用

2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线1.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数5T ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）342.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数5T ）已知方程222213-x y m n m n-=+表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）(A)(–1，3) (B)(–1，3) (C)(0，3) (D)(0，3)3.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数10T ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点，交C 的准线于D,E 两点．已知|AB |=|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)84．（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数5T ）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)k y k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1 C ．32D ．2 5.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数11T ）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2 6.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数12T ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）347.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数11T ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ） （B ） （C ） （D ） 8.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数20T ）（12分）在直角坐标系xOy 中，直线1:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H （Ⅰ）求||||OH ON ； （Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.9．（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数20T ） (本小题满分12分)22221(0)x y a b a b +=>>PF x ⊥PF 13122334设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10．（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数21T ）（本小题满分12分）已知A 是椭圆22:143x y E +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN △的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN =2k <．11.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数20T ）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.12.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数20T ）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.13.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数20T ）（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两C 22y x =F x 12,l l C A B ，点，交的准线于两点．（I ）若在线段上，是的中点，证明；（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. C P Q ，F AB R PQ AR FQ PQF ∆ABF ∆AB。