第三讲信号分析基础_频域分析

谐波信号是最简单的周期信号，只包含一种频率成分。一 般的周期信号可以利用傅立叶级数分解成多个甚至无穷个不同 频率的谐波信号的线性叠加。
数学条件： 狄里赫利（Dirichet）条件 • 在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。 • 在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。 • 在一个周期内，信号绝对可积，即
T/ 2
nω0tdt
T/ 2
sin
0
nω0tdt
2 nπ
1 cosnπ
4
nπ 0
n 1,3,5,... n 2,4,6,...
§1.2 周期信号及其频谱
河南工业大学机电学院
周期方波信号的傅里叶级数表达式：
x(t)
4
(sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
)
An
4/
幅频谱
0
30
0
(n 1,3,5) (n 2,4,6)
§1.2 周期信号及其频谱
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正弦分量的幅值：
T0
bn
2 T0
2 T0
x(t) sinn0tdt
0
2
这样，该周期性三角波的傅立叶级数展开式为：
x(t)
A 2
4A
2
n1
1 n2
cos(n0t
/ 2)
n 1,3,5
An
()
A/2
2
4、周期信号的复指数展开式
由欧拉公式可知 ：
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c ost
sin t
1 (e jt 2 1 (e jt
e jt ) e jt
)
2j

信号分析基础理论知识之频谱分析1. 从时域到频域实际的波形可视为由若干正弦波所合成，每一正弦分量各有其一定的频率和幅值。

(a) 波形；(b) 由三个正弦波组成；(c) 频谱2. 傅里叶变换(1) FT （连续傅里叶变换）正变换：逆变换：其中，ω=2πf，f(t)为时域数据序列，F(ω)为频域的谱函数序列。

(2) DFT（离散傅里叶变换）对N个样点的数字化的时域波形进行数值积分计算，计算某一频率点的幅值。

可在计算机上进行，但计算量巨大。

(3) FFT（快速傅里叶变换）离散变换的一种快速算法，计算速度快，适合工程应用，但具有如下限制：参与计算的数据点数（FFT分析点数）必须为2的幂次方，即2n。

频率分辨率问题，频率间隔Δf。

3. 频谱泄露误差泄漏产生：当实际信号的频率处于f(i)和f(i+1)之间时，则会产生频率泄漏现象，导致误差。

频率误差：FFT频率反映的频率为(i-1)Δf Hz或者iΔf Hz，最大频率误差为Δf/2。

幅值误差：谱峰的幅值减小，泄漏到附近的谱峰上，最大幅值误差为36.3%。

整周期采样：信号的频率正好处于f(i)的位置上，即信号频率等于Δf 的整数倍，则不会产生泄漏。

产生机理（边缘截断）：常用校正方法：加窗处理：如hanning、平顶窗等，仅能校正幅值，不能校正频率；频率计校正：可以对若干个单个谱峰进行校正，特点为快速实时，既能校正幅值，又能校正频率；平滑处理：能有效校正最大谱峰处的幅值，不能校正频率。

4. 加窗和平滑加窗可消除或减轻信号截断和周期化带来的不连续问题。

平滑是将频谱任何一点的附近若干点进行相加，将泄露到两边的能量加回来。

(a) 整周期；(b) 严重泄露；(c) 加汉宁窗；(d) 平滑5. 窗函数基本特性相当于滤波器。

6. 常用窗(a) 指数窗形式；(b) hanning窗形式；(c)hamming窗形式(d) 平顶窗形式；(e) Kaiser窗形式；(f) 余弦矩形窗形式7. 平均和重叠平均：对较长的信号进行平均计算，用以消除随机噪声带来的误差。

sin x sin c ( x ) x
（1.4.26）

, n 0 , 1, 2 , （1.4.27）
根据式（1.4.14）可得到周期矩形脉冲信号的傅 里叶级数展开式为
x (t )
n
Cn e

jn 0 t

n jn 0 t sin c T e T n
21
由式（1.4.40）得到
x (t ) d jt dt e jt x ( t ) e 2 1 jt dt e jt d x ( t ) e 2

(1.4.41)
将式（1.4.41）中括号中的积分记为：
18
又因为
1 P T
Cn
T /2
1 An 2
2
，故式（1.4.32）又可写为
2

T / 2
x ( t ) dt C 0
2 C n
n 1

2



式(1.4.32)和式(1.4.33)称巴塞伐尔（Parseval） 定理。它表明：周期信号在时域中的信号功率等于 信号在频域中的功率。 定义周期信号x（t）的功率谱为
X ( ) x ( t ) e
jt
dt
(1.4.42)
它是变量ω的函数。则（1.4.41）式可写为：
1 x (t ) 2



X ( ) e jt d
(1.4.43)
将X(ω)称为x(t)的傅里叶变换(Fourier transform,FT)，而将x(t)称为X(ω)的逆傅里叶变换， (1.4.44) 记为： x ( t ) X ( )

因此，有

T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x

自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T

T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)

2.2.2 自相关(self-correlation)分析