2017圆的标准方程和一般方程导学案.doc

圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0

圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。

2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。

【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。

2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。

圆标准方程和一般方程公式圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。

由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。

除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。

一、圆的标准方程圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。

根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。

二、圆的一般方程圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。

这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。

这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。

三、两种方程的比较有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。

首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。

此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。

四、圆的标准方程和一般方程的应用圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。

在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。

此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。

综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。

（二）、数学应用、技能培养
例1.已知ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求ABC外接圆的方程．
（至少用两种不同的解法）
小结：
1.圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
2.求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:
(1).,我们一般采用圆的标准方程较简单；
2.，我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
三、知识链接
快速而准确的配方；会解三元一次方程组
四、学习过程
（一）、自主学习，合作探究：
阅读课本第98页例1上方，思考下列问题：
问题1：若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？
问题2：我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
问题3：形如 的方程的曲线就一定是圆吗？
圆的一般方程：
问题4：.圆的一般方程的特点:
例2.某圆拱梁的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，
求支柱A2P2的长(精确到0.01m)．
五、基础达标
1．（A级）下列方程各表示什么图形?
.
2.（A级）判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径.
3.（B级）如果方程 （ ）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）
A.D=E B.D=F C.E=F D.D=E=F
4.（B级）已知圆 与x轴相切，求b的值。
5.（B级）求过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的方程。
6.（B级）求圆 关于直线x -y+3=0对称的圆的方程
7.（C级）已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:x +2y +2=0, BC:2x -y- 6=0, CA:x -2y +6=0,求△ABC的外接圆的方程。