第12讲同角三角函数关系与诱导公式(学案)
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同角三角函数关系及诱导公式
知识要点：
1.同角三角函数基本关系： （1）基本关系：
①平方关系: sin 2α＋cos 2α＝1 2
2
1
1tan cos αα
+=
②商数关系: tan α＝sin αcos α（α≠k π＋π
2，k ∈Z ）；cot α＝cos αsin α（α≠k π，k ∈Z ）．
③倒数关系: 1tan cot αα
=
（1
2
k απ≠
） （2）常用变换形式:
（1）根据这三大关系，若已知一个角α的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值． （2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： （
（①六组诱导公式统一为“
()2
k k Z π
α±∈”
，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，体现了化归思想。
(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习
1.化简1－sin 24 的结果为
2.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ=
3. 已知tan θ＝2a
a 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，则cos θ的值是
4.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°=
5．已知sin （π－α）＝log 814
，且α∈(－π
2 ，0)，则tan α的值是
6． ︒
⋅--
⋅︒690cos )6
19
cos()313tan(330sin ππ的值是.
7.求值：23456tan
tan
tan tan tan tan tan 7
77777π
ππππππ++++++
= 8. 设002
900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，则________αβ==。
典型例题
例1. 化简：（1）化简)1050sin()600cot()
420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-
（2）cos(sin(2)sin()cos(πααπαππα+)⋅+--⋅--)
变式：化简：（1）sin()sin()()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.（2）24sin(2)cos()33n n ππ
ππ+++，（n Z ∈）.
例2.已知)1,2(,cos sin ≠≤
=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；
（2）x x 44cos sin +的值.
变式：已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值.
例3.已知cos(75°＋α)＝1
3 ，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
例4．已知α是第三象限的角，且
f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋3
2
π）tan （―α―π）
sin （－π－α）
(1)化简f （α）； (2)若cos(α－32 π)＝1
5 ，求f (α)的值； (3)若α＝－1860°，求f （α）的值.
例5. 设θ是第二象限角, 且,312sin
2
cos =-θ
θ
求2
sin 2cos θ
θ+的值.
例6. 化简 (1) 1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α (2)x
x x
x x x
sin tan sin tan cos 1sin +-⋅-
(3) )2
π<α<
例7. 证明(1) 1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ
1－tan θ
变式： (1)求证:cos x
1－sin x
＝1＋sin x cos x
(2) 2tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。
例8.设sin α＝12 ，cos β＝－1
2 ，且α、β不在同一象限，求sin （α＋β)的值.
分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有： （1）α在第一象限，β在第二象限； （2）α在第一象限，β在第三象限； （3）α在第二象限，β在第三象限.
能力检测题
1.已知sin cos 1x x +=，则44sin cos x x += ． 2．若tan α＝13 ,π<α<3
2
π，则sin α·cos α＝
3．已知2tan =x ，则 sin 4cos 5sin 2cos αα
αα-=+_____
222sin 2sin cos cos αααα+-．=
4．若sin α＝a －3a ＋5 ，cos α＝4－2a a ＋5 ，π
2 ＜α＜π，则a 的值
5．若β∈［0，2π)，且1－cos 2
β ＋1－sin 2
β ＝sin β－cos β，求β的取值范围.
6.sin cos α+α则, sin cos αα-=__0__44sin cos α+α= _1/2__. tan cot α+α=_2__
7.已知sin θ＋cos θ＝1
5 ，θ∈(0，π)，求tan θ的值.
8.若sin α,cos α是方程3x 2+6mx+2m+1＝0的两根，则实数m 的值为 9．求证：tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θ·sin 2θ. 10.设方程式2
(tan cot )10x x θθ-++=
有一根为3-，试求sin cos __θθ=
11.化简：（1）sin 2x
sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2
x －1 （2）)
--)-)-)+)-απαπαπαπαπsin(3sin(cos(cos(2sin( （3）)sin()
360cos()
810tan()450tan(1)900tan()540sin(00
000x x x x x x --⋅--⋅-- 12．已知sin （π－α）－cos(π＋α)＝
23 (π
2
＜α＜π)， 求sin α－cos α与sin3（π2 ＋α）＋cos3(π
2
＋α)的值.。
