《常微分方程》教学大纲课程编码：110826课程名称：常微分方程学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《大学物理》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课。
2．课程任务：《常微分方程》是数学科学联系实际的主要桥梁之一。
通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，诸如定性和定量近似求解的思想。
通过学习，使学生熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法，以及了解定性和稳定性的初步理论和方法。
通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础，同时它在训练学生分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著作用。
二、课程教学基本要求《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门重要专业课，安排在三年级上学期进行，把学生前阶段学习的数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等方面的知识首次较普遍、较深入地结合起来，用以初步解决数学理论和实际问题中出现的一批重要而基本的微分方程问题，同时在这个过程中自然地提出和建立起常微分方程本身的基础理论和基本方法，也为若干后继课程（如数理方程、微分几何、泛函分析等）作好准备。
该课程主要以讲授为主，理论课时为72学时，考核方式为闭卷考试。
成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章绪论1.教学基本要求让学生了解常微分方程的历史，以及它在生活实践中的应用；激发学生对本课程学习的兴趣。
了解常微分方程中的基本概念，为后续学习打好基础。
2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章的教学使学生初步掌握常微分方程产生于社会实践中,掌握常微分方程的线性、非线性,解、隐式解,通解、特解,积分曲线、方向场等基本概念.3.教学重点和难点教学重点是常微分方程及其解的概念，能判断方程的阶数，线性与非线性。
《常微分方程》教学大纲课程编号：121013A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：32 实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：微积分、线性代数毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《常微分方程》是本科生二年级的基础课。
常微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，一种基本的数学工具，常微分方程在数学学科与其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理中，常微分方程的理论和方法也起着十分重要的作用。
现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为常微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)常微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济问题具有极大帮助。
二、教学基本要求本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。
本课程以教师讲授为主，辅以课堂讨论，课后学生自主学习、推荐参考教材及参考书目。
重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。
课程讲授一学期，周课时为3学时，共51学时。
期末考试采用闭卷形式。
平时成绩（包括作业和课堂讨论、答问情况）、出勤率占总评成绩的百分之二十；期末考试成绩占总评成绩的百分之八十。
三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配四、教学内容第一章绪论微分方程与解 (1) 微分方程、阶、解。
(掌握)(2) 隐式解、通解与特解。
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
