常微分方程 3.2-解的延拓

第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。

教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。

教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。

教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。

第三章：常微分方程的一般理论3.2 一阶常微分方程初值问题的存在和唯一性定义3.2.1 在区间I =[a,b]上给定某个连续函数序列f 1(x )，f 2(x )，…，f n (x )，…，如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ=δ(ε)>0，当x 1，x 2ϵI 且 |x 1−x 2|<δ时，对任意的n =1，2，…有|f n (x 1)−f n (x 2)|<ε成立，则我们称连续函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的。

如果存在一个与x 以及n 都无关的常数K ，使得|f n (x )|≤K ，x ∈I ，n =1，2，…成立，则我们称函数序列{f n (x )}n=1∞是一致有界的。

定理3.2.1 （Ascoli-Arzela 定理）有限闭区间I 上的一致有界，等度连续的函数列{f n (x )}n=1∞，至少存在一个I 上一致收敛的子序列 {f n k (x )}n=1∞，并且其极限函数在I 上连续。

引理3.2.1 设A 是有限闭区间I 的稠密子集。

如果I 中的函数序列{f n (x )}n=1∞是等度连续的且对x ∈A ，{fn (x )}n=1∞收敛，则函数序列{f n (x )}n=1∞在I 中是一致收敛的且其极限函数f (x )在I 中连续。

定理3.2.2（皮亚诺存在性定理） 设f(x,y)在矩形区域R ={(x,y )：|x −x 0|≤a,|y −y 0|≤b}上连续，则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上至少存在一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理3.2.3（毕卡存在唯一性定理）设f(x,y)在矩形区域R={(x,y)：|x−x0|≤a,|y−y0|≤b}内连续，而且对y满足Lipschitz条件：存在一个常数L>0，使得对于所有的(x,y1)∈D和(x,y2)∈D，函数f(x,y)满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|y1−y2|则初值问题(3.2.1)在区间J=[x0−α,x0+α]上有并且只有一个解，其中常数α=min{a,bM}，M=max(x,y)∈R|f(x,y)|定理 3.2.4 设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件：f(x,y)在区域G内连续，而且满足不等式|f(x,y1)−f(x,y2)|≤F|y1−y2|其中F(r)>0是定义在r>0上的连续函数。

§3 解的延伸§1的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间h x x ≤-0上存在，其中),min(M b a h =，),(max ),(y x f m Ry x ∈=.当M 很大时，h 可能很小，甚至出现),(y x f 的定义域扩大后，Cauchy 问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy )2.3()1.3( 的解的存在区间h x x ≤-0反而缩小的现象.例如Riccati 方程的Cauchy 问题0)0(,22=+=y y x dx dy 当{}1,1),(1≤≤=y x y x R 时，211=h ，而当{}2,2),(2≤≤=y x y x R 时，41)82,2min(2==h .由此看到，21R R ⊆，反而21h h >，这说明在2R 上，由定理1得到的Cauchy 问题的解在]41,41[-有定义，至少可以把此解延伸在]21,21[-上仍有定义. 仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要.我们的问题是：能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.设微分方程)1.3(经过点0P 的解Γ有如下表达式)(:x y ϕ=Γ， （J x ∈）其中J 表示Γ的最大存在区间.先考察积分曲线Γ在点0P 右侧的延伸情况.令+J 为Γ在点0P 右侧的最大存在区间，即),[0+∞=+x J J .若),[0+∞=+x J ，则积分曲线Γ在区域G 内就延伸到无穷远，因此也就延伸到区域G 的边界.否则，就只有下面两种可能：1） +J 是有限闭区间.令],[10x x J =+，其中01x x >，方程)1.3(与条件)2.3(的解)(x y ϕ=存在于区间+J 上，当+∈J x 时，G x x ∈))(,(ϕ，我们按下述方式把解)(x y ϕ=向右延伸：令)(11x y ϕ=，则G y x ∈),(1.因为区域G 是一个开集，所以存在矩形区域：1R : 11a x x ≤-, 11b y y ≤-,使得G R ⊆1.由定理3，01>∃h ，在11h x x ≤-上，方程)1.3(至少有一个解)(1x y ϕ=满足初始条件)(111x y ϕ=.令⎩⎨⎧=),(),()(1x x x y ϕϕ.,11110h x x x x x x +≤≤≤≤当当显然)(x y 是方程)1.3(的满足条件)2.3(的在区间],[110h x x +上有定义的解.因此，它是积分曲线Γ在区间],[110h x x +上的表达式.由于已设积分曲线Γ的最大右侧存在区间为],[10x x J =+，从而+J 必包含],[110h x x +，与假设矛盾.故+J 比可能是有限闭区间.2） +J 是有限半开区间.令),[10x x J =+，其中01x x >，而当+∈J x 时，有G x x ∈))(,(ϕ.下证对任何有限闭区域G G ⊂1，不可能使1))(,(G x x ∈ϕ，对一切+∈J x )3.3(成立.事实上，若不然，设1G 是G 内一个有限闭区域，使得)3.3(成立，则有00)(y x =ϕ和))(,()('x x f x ϕϕ=， 当 +∈J x )4.3(它等价于 ⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ， （10x x x <≤） )5.3( 由于),(y x f 在有限闭区域1G 上是连续的，故),(y x f 在1G 上有上界0>K ，再由)3.3(和)4.3(可推知，在+J 上)('x ϕ有上界K ，再由拉格郎日中值公式即可推得 2121)()(t t K t t -≤-ϕϕ， 当+∈J t t 21,.由此可证，当1x x →时，)(x ϕ的极限存在，设为1y ，即)(lim 11x y x x ϕ→= )6.3(令⎩⎨⎧=,),()(1y x x ϕϕ.,110x x x x x =≤≤当当可知这样定义的函数)(x y ϕ=是连续的，从而由)5.3(和)6.3(可知，)(x y ϕ=在10x x x ≤≤上满足 ⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ.由上一节定理1的证明知，)(x y ϕ=在区间],[10x x 上是微分方程)1.3(的满足初值条件)2.3(的一个解.这也就是说，上面的积分曲线Γ可延伸到区间],[10x x 上，这与Γ的最大存在区间为),[10x x 矛盾.故对任何有限闭区域G G ⊂1，关系式)3.3(是不可能成立的.由上述讨论可知，积分曲线Γ在0P 点的右侧将延伸到区域G 的边界.同理可证，积分曲线Γ在0P 点的左侧也将延伸到区域G 的边界.把上面的结果写成一个定理，即有定理4 设0P 为区域G 内一点，并设Γ是积分方程)1.3(经过0P 点的任一条积分曲线，则积分曲线Γ将在区域G 内延伸到边界.由定理1和定理4立即可得如下推论.推论 设函数),(y x f 在区域G 内连续，且对y 满足局部的李普希兹条件，则微分方程)1.3(经过G 内任一点0P 存在唯一的积分曲线Γ，并且Γ在G 内延伸到边界.例1 在平面上任取一点),(000y x P ，试证初值问题)(E ： 2)(xy e y x dxdy -=，00)(y x y = 的右行解（即从点0P 出发向右延伸的解）都在区间∞<≤x x 0存在.证 记2)(),(xy e y x y x f -=，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点0P 的区域G ，)](21[2y x xy e yf xy -+-=∂∂在R 上一致连续，所以对G y x ∈),(，N y y x f ≤∂∂),(，亦即),(y x f 在R 上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知，初值问题)(E 的解存在且唯一，并且可以延伸到G 的边界.不难看出，直线L ：x y =是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在L 上方为负，因而积分曲线在L 上方是单调下降的，而在L 下方线素的斜率为正，故积分曲线在L 下方是单调上升的.现设0P 位于L 的上方，即有00y x <.利用)(E 的右行解Γ在条形域S : {}+∞<<-∞<≤y y x x y x ,),(00上的延伸定理，以及积分曲线Γ在L 上方的单调下降性，可推知Γ必与L 相交（如图 ）.再设0P 位于直线L 上或其下方，即00y x ≥.那么在区域G : {}+∞<<-∞∞<≤y x x y x ,),(0上应用右行解的延伸定理，可知)(E 的解Γ可延伸到G 的边界.又由前面讨论知，在L 下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线L 的下方穿越到上方.因此，积分曲线Γ必可延伸到∞<≤x x 0.例2 研究定义于条形区域G : {}+∞<<-∞<<-y x y x ,32),(中的方程2y dx dy =. 这里2),(y y x f =处处连续，且在条形区域G 中的任一点的领域内满足李普希兹条件.方程的通解为xC y -=1，此外还有特解0=y .很显然，积分曲线0=y 的两端都能达到G 的边界.可以算出，经过点)1,1(的积分曲线是xy -=21，它的左端能达到2-=x ，但右端当-→2x 时，+∞→y ，故不能达到G 的边界3=x .仿此，经过点)1,1(-的积分曲线是x y 1-=，它的右端能达到3=x ，但在左端当+→0x 时，-∞→y ，故不能达到G 的边界2-=x .（如图 ）例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异.对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难.定理5 设微分方程),(y x f dxdy = )7.3( 其中函数),(y x f 在条形区域S : {}+∞<<-∞<<y x y x ,),(βα内连续，而且满足不等式 )()(),(x B y x A y x f +≤ )8.3(其中0)(≥x A 和0)(≥x B 在区间βα<<x 上是连续的.则微分方程)7.3(的每一个解都以区间βα<<x 为最大存在区间.证 设方程)7.3(满足初值条件00)(y x y =，S y x ∈),(00的一个解为Γ：)(x y y =.要证Γ的最大存在区间为βα<<x .用反证法.设它的右侧最大存在区间为),[00βx ，其中0β是常数，ββ<<00x ，在0β的两侧分别取常数21,x x ，使得ββ<<<<2010x x x ，且0112x x x x -<-.由假设条件知，)(x A 、)(x B 在有限闭区间],[20x x 上是连续有界的.设00,B A 分别为它们的正的上界，从而由)8.3(可得00),(B y A y x f +≤， （+∞<<-∞≤≤y x x x ,20） )9.3(不妨设012141A x x <-=α,由于)(x y y =在),[00βx 上存在，010β<<x x ，于是有11)(y x y =，S y x ∈),(11.现以),(11y x 点为中心作一矩形区域{}11111,),(b y y a x x y x R ≤-≤-=.这里正数1b 是充分大.显然，S R ⊂1.再由)9.3(有0110)(),(B b y A y x f ++≤， 111),(R y x ∈ )10.3( 成立.令01101)(B b y A M ++≤，),min(1111M b a h =，再以),(11y x 点为中心作一矩形区域 {}1111*1,),(b y y h x x y x R ≤-≤-=.显然，1*1R R ⊂，在*1R 内应用定理4，可以推知，微分方程)8.3(过),(11y x 的解Γ必可向右延伸到*1R 的边界.另一方面，由)10.3(式可知，解Γ在*1R 内必停留在扇形区域11111,h x x x x M y y ≤--≤-.因此，解Γ可向右延伸到),[110h x x +,又由于0141A a <及0111lim 1A M b b =+∞→.所以只要取充分大的正数1b ，就有1211111),min(x x a M b a h -===. 由此可知，Γ在20x x x <≤上存在.但是，由上述区域的构作可知，区间),[20x x 严格大于Γ的右侧最大存在区间),[00βx .故矛盾.从而证明Γ的右侧最大存在区间为),[0βx .同理可证Γ的左侧最大存在区间为],(0x α.因此，Γ的最大存在区间是),(βα.。

微分几何积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析微分几何是数学中的一个分支，主要研究曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。

积分则是微分的逆运算，用于求取曲线、曲面以及高维空间中的面积、体积等量。

在微分几何中，我们经常遇到一些具体问题，例如：给定一个曲线或曲面，我们想要求取其长度、面积或者体积等。

这些问题可以通过积分来表示和求解。

本文将探讨微分几何中积分表示问题的解析延拓证明，并进行逻辑解析。

首先，我们来讨论微分几何中的曲线。

对于给定曲线的长度，我们可以将曲线分割成无穷小的线段，每个线段的长度可以通过微积分的方法求得。

将无穷小的线段长度相加，即可得到整个曲线的长度。

这个过程可以用曲线的参数方程表示，其中积分的上下限为曲线的参数范围。

接下来，我们考虑微分几何中的曲面。

对于给定曲面的面积，我们可以将曲面划分成无穷小的面元，并计算每个面元的面积。

同样地，将无穷小的面元面积相加，即可得到整个曲面的面积。

这个过程可以用曲面的参数方程表示，其中积分的上下限为曲面的参数范围。

最后，我们讨论微分几何中的高维空间。

对于给定空间内的体积，我们可以将空间划分成无穷小的体元，并计算每个体元的体积。

将无穷小的体元体积相加，即可得到整个空间的体积。

这个过程可以用高维空间的参数方程表示，其中积分的上下限为空间的参数范围。

通过以上论述，我们可以看出微分几何中的积分表示问题的解析延拓证明。

通过分割曲线、曲面或者高维空间成无穷小的几何元素，并计算其长度、面积或体积，再通过积分将这些无穷小的几何元素相加，得到整体的长度、面积或体积。

逻辑上来讲，我们需要对输入的几何对象进行参数化处理，以方便表示。

然后利用微积分中的积分运算，对相应的几何元素进行积分求解。

最后将得到的积分结果进行求和，即可得到整个几何对象的长度、面积或体积。

综上所述，微分几何中的积分表示问题可以通过解析延拓证明和逻辑解析来求解。

通过将几何对象分割成无穷小的几何元素，并将这些元素的积分结果相加，可以得到整体的长度、面积或体积。

《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。

本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。

教学时间应安排在第四学期或第三学期。

这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。

同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。

同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。

通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。