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高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案

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描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）
一、学习任务
掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．
二、知识清单
数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型
染色模型
计数杂题
三、知识讲解
1.数字组成模型
与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．
常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？
解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．
012340C 14A 44=96
C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．
232314
23−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A． B． C． D．解：B
当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个
排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；
当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个
排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．
依分类加法计数原理知共有 个奇数．
02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，
， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的
012345630005421
描述：例题：2.条件排列模型
计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某
人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：
①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；
②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；
③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．
所以，所求四位数共有 （个）．
175342=120A 3550123=48A 14A 2
45401=6A 12A 1
35420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．
解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有
种方法；
（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生
组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；
（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙
分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 6
6=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 5
55A 556A 26=3600A 55A 2
6有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一
个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．
6144
A 44A 13A 22=144A 44A 13A 2
2 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A． B． C． D．解：D
“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．631441207224
4=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？
解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一
节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．
法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学
6A 66A 5
5A 55A 44−2+=504A 66A 55A 4
4⋅A 24A 4
4⋅
1
4
4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72
种花，且相邻的
96
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种种植方法．但其中有 种是只种两种作物的种植方法，故所求的种植方法有 种．
3×2×2×2×2=482×3=648−6=
42。

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高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

求下列函数的导数： （1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案


D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
− − − − − −
− − − − − −
轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案


q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
高中数学选修4-4(人教B版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修4-4(人教B版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习题及答案


在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin (θ +
C (√2 ,
π ) ，半径为 √2 ． 4 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长． π 解：（1）由圆心的极坐标 (√2 , ) ，得圆心的直角坐标为 (1, 1)．因为圆的半径为 √2 ，故圆 4 π 的直角坐标方程为 (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2，化为极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) ． 4 π 故圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) ． 4 （2）直线的直角坐标方程为 x + y − √2 − 2 = 0 ．因为圆心的直角坐标为 (1, 1)，所以圆心到 直线的距离为 1 ．因为圆的半径为 √2 ，所以弦长为 2 ．
π ) 处且过极点的 2
例题：
与极坐标 (−2, A．(2,
解：B． 根据极坐标 (ρ, 2kπ + θ) 和 (−ρ, 2kπ + π + θ)(k ∈ Z) 在极坐标系中表示同一个点的规律，检
7π ) 6
π ） ) 不表示同一个点的极坐标是（ 6 7π 11π B．(2, − C．(−2, − ) ) 6 6 ) ( )
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高中数学选修4-4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或