导数与微分
题型一 利用函数的定义研究函数的可导性 1．
设2()lim sin
()()t x f x t g x g x t t π→∞
⎡⎤
=+-⎢⎥⎣⎦
，
其中()g x 有二阶导数，求()f x '。 2．
设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x a f x +=，且有(0)f b
'=，求(1)f '。
3． 设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若使()F x 在0x =处可导，则必有（ ）。 ()(0)
A f =
()(0)0
B f '=
()(0)(0)C f f
'+=
()
(0)(0)D f f
'-=。
题型二 利用函数的导数求曲线的切线和法线方程
4． 已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个领域内满足关系式
(1s in )3(1s in )
8()f x f x x o x +--=+，其中()o x 是当0
x →时比x 高阶的无穷
小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()6,(6)f 处的切线方程。
5． 求曲线sin 2cos t
t
x e t
y e t
⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(0,1)处的法线方程。 题型三 求复合函数的导数及抽象函数的导数 6． 设22
1cos()sin y x x
=，求y '。
7． 设2
sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求2
2d y dx
。
题型四 求隐函数的导数（或可化为隐函数的求导问题）
8． 设函数()y y x =是由()f y y xe e =确定的，其中f 具有二阶导数，且1f '≠，求
2
2d y dx
。
9． 已知()y f x y =+，其中()f x 为二阶可微函数，求2
2d y dx
。
10．设y =d y d x
。
题型五 求幂指函数和连乘函数的导数
11．设,(0,0)x
a
b
a b x y a b b x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求y '。
题型六 混合形式的函数的导数 12．设函数()y y x =由2
arctan 25
t
x t y ty e =⎧⎨
-+=⎩所确定，求
d y d x
。
题型七 求函数的高阶导数 13．设22(21)x y x x e =++，求(100)y 。
14．设4()f x x x =，求使()(0)n f 存在的最大的n 。
15．设()()()n f x x a x ϕ=-，其中()x ϕ在x a =由1n -阶连续导数，求()
()n f
a 。
第三章 微分中值定理与导数的应用
题型一 证明存在ξ，使()0f ξ=的命题。
1.设()f x 在[,)a +∞上连续，当x a >时，()0f x K '>>（K 为常数）。试证明：若
()0
f a <，则方程()0f x =在(),f a a a K ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
上有且仅有一个实根。 2. 设函数
)
(x f 在闭区间],[b a 上具有二阶导数，且
)(,)()()(b c a c f b f a f <<==。
证明：在开区间）（b a,内至少存在一点ξ使得0)(=''ξf 。 题型二 证明结论为0)()
(=ξn f
的命题
3.若)(x f 在区间]10[，上有三阶导数，
且0)1(=f ，设)()(3x f x x F =，证明：在），（10内存在一点ξ，使得0)(='''ξF 。
4. 设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，且()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。 题型三 证明存在ξ，使()()(0)
n f k
k ξ=≠
5. 设()f x 在[0,1]内上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，但当(0,1)x ∈时，
()0f x >，求证对任意自然数n ，在(0,1)内存在ξ，使
()(1)()
(1)
nf f f f ξξξξ''-=
-。 （提
示：将所证结论中ξ改为x ，两边积分后，可作出辅助函数[]()()(1)n
F x f x f x =-）。 6. 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 存在二阶导数，并且()0,g x ''≠ ()()()()0f a f b g a g b ====，试证：（1）在开区间(,)a b 内()0g x ≠； （2）在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使
()()()
()
f f
g g ξξξξ''=''。
题型四 证明有两个中值)(,ηξηξ≠满足的某种关系的命题
7. 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证 ：存在
,(,)a b ξη∈，使得[]()() 1.
e
f f ηξ
ηη-'+=
（提示：将要证结论改写为[]()().e f f e ηξηη'+=即证().x
x e f x e ξ
η
='⎡⎤=⎣⎦
。
令()()x F x e f x =，对其应用拉格朗日中值定理。）
8. 设)(x f 在闭区间]1,0[上可导，且满足关系式⎰=2
1
)(2)1(dx x xf f ，证明在区间
)1,0(内
至少存在一点ξ，使得0)()(='+ξξξf f 。 题型五 证明函数的单调性和求单调区间
9. 设函数)(x f 在]1,0[上，0)(>'''x f 且0)0(=''f ，则)0(,)1(f f ''
)1()0(,)0()1(f f f f --的大小顺序是（
）
)(A )0()1()0()1(f f f f ->'>' )
(B )0()0()1()1(f f f f '>->'
)(C )0()1()0()1(f f f f '>'>- )(D )0()1()0()1(f f f f '>->'
10. 设函数)(x f 对一切x 满足，x
e x
f x x f x --='+''1)]([3)(2，若)0(,0)(00≠='x x f
则（ ）
