高等数学竞赛 不定积分
不定积分的概念与性质
1、设)10(tan 2cos )(sin 2
2
<<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f
3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)
?+dx x x x cos sin 12cos （2）?++dx x x 5212（3）?+x x dx
22cos 2sin （4）?+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin
2、求下列不定积分 （1）
?+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）?+dx x x x )1(ln )ln (2
3
（3）
dx x x ?
+2
11
arctan
（4）
?+-dx xe x x
x x )
cos 1(cos sin cos sin 2 （5）?++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分
1、三角代换求下列积分 （1）
?-+2
2
1)1(x
x
xdx
（2）
?
+2
323)
1(x dx x （3）
dx x x ?
-2
29 （4）?-+211x dx
2、倒代换（即令t
x 1
=）求下列积分 （1）
)0(2
2
2>+?a x a x dx （2）?
+)
2(7x x dx
3、指数代换（令,t a x
=则t
dt a dx ?=
ln 1） （1）?++x
x x dx
4
212 （2）?+++6
3
2
1x x x e
e e dx
4、利用分部积分法求不定积分
（1）?+dx e x x
22)1( （2）?
++xdx x x 2cos )52(3
（3）?xdx x arccos 2
（4）?
dx x x 2
3)(ln （5）?
xdx e x
cos
5、建立下列不定积分的递推公式 （1）?+=
dx a x I n n )(122 （2）?=xdx I n
n tan
有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）
?+++dx x x x 3
42
2 （2）?-2)1(x x dx （3）?++)1)(21(2x x dx 2、求下列不定积分
（1）?+)2(10x x dx （2）?+-dx x x n n 112 （3）?-+dx x x 100
3)
1(1
2 （4）?
+x
x dx
x 3811
简单无理函数积分 1、
dx x
x ?
+3
1 2、dx x x x x ?
+++1
)1(
三角有理式积分 1、?+dx x sin 1 2、?
dx x
3sin 1 3、?+dx x x
sin 1sin
4、
?++dx x x x cos 1sin 5、?xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、?xdx x 6
5cos sin
含有反三角函数的不定积分
1、?+xdx x x arctan 122
2、?-dx x x
32)
1(arccos 抽象函数的不定积分
1、??
?????'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ?')(ln )
(ln 分段函数的不定积分
例如：设??
?
??>≤≤+<=1,2;10,1;0,
1)(x x x x x x f 求?dx x f )(.
高等数学竞赛 定积分
比较定积分大小 1、 比较定积分
?
2
1ln xdx 和?2
1
2)(ln dx x 的大小
2、 比较定积分?+1
)1ln(dx x 和?
+1
01arctan dx x
x
的大小
利用积分估值定理解题
一、估值问题 1、试估计定积分
?
+4
542)sin 1(ππ
dx x 的值
2、试估计定积分?
33
3arctan xdx x 的值
二、不等式证明
1、证明不等式：e dx e
x ≤≤?1
2
1
2、证明不等式：?
-≤
+≤1
1
43
8
12dx x 三、求极限
1、
?
+∞
>-2
1021lim
dx x x n
n 2、dx e
e x x x n n ?+∞>-101lim 关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题
1、求下列导数： （1）?
+=
3
2
4
1)(x x t
dt x F ；
（2）由方程
??
=+y x t dt t
t dt e 0
2
2
1sin 确定的隐函数)(x f y =的导数
dx
dy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足
?
+=)
1(0
2)(x x x dt t f ，求)2(f
3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程
??
+++=118
162
9
8)()(x x
C x x dt t f t dt t f ，求
)(x f 及常数C .
4、求下列极限：
（1）x
x t
x e
x tdt te 6
2
sin lim
?>- （2）2
50
20)cos 1(lim x
dt t x
x ?
-+
>-
5、设)(x f 是连续函数，且?+=1
)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .
6、已知8)()
(8
='?
dx x f x f 且0)0(=f ，求?2
)(dx x f 及)(x f
定积分的计算
一、分段函数的定积分
1、设;,
2,20,)(??
???
≤<≤≤=l x l c l x kx x f 求?=Φx dt t f x 0)()( 2、求定积分
?
-2
2
2),max (dx x x
二、被积函数带有绝对值符号的积分
1、求下列定积分： （1）
?
e
e
dx x 1ln （2）
?-1
dt x t t
2、求定积分
?-
-22
3cos cos π
π
dx x x 的值
三、对称区间上的积分
1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算?-++
1
132
)cos 1sin (dx x
x
x x 2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何y x ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算
?
-+1
1
2)()1(dx x f x
3、计算积分?--+=44
2
1sin π
πdx e x
I x
4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件
A x f x f =-+)()(（A 为常数）.
（1）证明：
?
?-=a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
(2) 利用（1）的结论计算定积分?-22
arctan sin π
πdx e x x
四、换元积分法 1、求下列定积分： （1）
?
-214
1)
1(arcsin dx x x x （2）?
--2
ln 0
21dx e
x
（3）dx x
x x
x ?---201010cos sin 4cos sin π
五、分部积分
1、设)(x f 有一个原函数为
x x
sin ，求?'ππ2
)(dx x f x