点电荷对无限大接地导体平面镜像边值问题53页PPT

(x
−
K K
2 2
+ −
1 1
b)2
+
y2
=
(
2bK K2 −
)2 1
圆心坐标
h(
=
K2 K2
+1b), −1
0,
圆半径
a=
2bK K2 −1
ϕP
=
τ 2πε0
ln
ρ2 ρ1
= τ ln (x + b)2 + y2 2πε0 (x − b)2 + y2
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
4πε r20XX
r1 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r2 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
图2.8.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 )] + 2R(q'2 d − q2b) cosθ = 0
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
a2
+ b2
=
(
2bK K2 −
)2 1
+ b2
=
(
K K
2 2
+ 1 b)2 −1
=
h2
令：ϕP = 常数
(x + b)2 (x − b)2
+ +
y2 y2
=
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
a2 = h2 − b2 = (h + b)(h − b)

q x2 y2 (z d)2
1 1
2 1
n
2
2
n
z0
1 2
1
1
z
2
2
z
z0
q q
1 2 1 2
2 2
q q
1 2
(适用 1 区) (适用2 区)
本节要点
本节的研究目的
电磁场的一种间接分析方法 — 镜像法
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用研究区域之外的虚设镜像电荷替代 边界未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的原则是电荷分布不变，介质分布不变，边界 条件不变； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 要注意镜像法的结果，所适用的场的区域。
R2
a q o
R1
q
z
(0, 0,b) (0,0, d)
1 ra 0
b ? q ?
三、点电荷对导体球表面的镜像
分析：1
ra
1
4 0
q r1
1
4 0
q r2
r1 a2 d 2 2ad cos
M
r2 a2 b2 2ab cos
由边界条件可得
a o r2
r1
q
z
(0, 0, b)q
1 ra 0
分界面上：z 0
1 2
1
1
n
2
2
n
四、点电荷对无限大电介质分界面的镜像
分析：
1
1
41
q R1
1
41
q R2
R1 x2 y2 (z d )2 R2 x2 y2 (z d )2
1 12
M (x, y, z)

y2
y (z
d
)2
3/
2
Ez
q
4π0
x2
y2
zd (z
d )2 3/2
x2
y2
zd (z
d )2
3/ 2
上半空间的电场分布：
原始问题的场分布
镜像法求出的场分布
导体表面感应电荷：
S
Dn
0Ez (z
0)
2π(x2
qd y2
d 2 )3/2
导体表面上感应电荷总量：
qS Sdxdy
镜像法的实质是：用在待求场域外假想的镜像电荷（或 电流）替代边界上的作用，将场域视为无限大均匀媒质， 待求场为实际源和镜像源产生的场的叠加。
小 结：
1. 镜像法的原理 2. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
z r1
p
q
导体平面 d o
d q
r2
x
上半空间的电场强度： E
q
4π0
x2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
x 2
y2
1 (z
d )2
1/ 2
Ex
q
4π0
x2
y2
x (z
d )2
3/2
x 2
y2
x (z
d )2
3/2
Ey
q
4π0
x2
y2
y (z
d )2
3/2
x 2
q
导体平面
边界条件： 0
由平面镜像可知，如图镜像电荷位于导体 平面下方对称点处。
由边界条件可知，镜像电荷为与原电荷大 小相等、性质相反的点电荷-q。

下半空间任一点的磁场为：
H2=^-a，，
2 2 nrff 仞
在分界面（,=尸'=广）上，磁场满足边界条件： H B1n=B2n
H = ---sin 0--sin 伊
Bln = COS0 +
n 2nr 2nr
2nr
2nr
日2 (I + I"= ——COS0 2nr
2nr
I' =
一I〃 = 2
一2
+2
I
COS0
讨论：
「=_[" = % - i
日2 +閥
⑴ 当外> 时，If > 0, I" < 0，说明尸与I方向相同，I"与I方向相反。
（2）当 卩2。2时，/'v0, I ">0，说明I，与I方向相反， I"与I方向相同。
⑶当2有限2 T8时，I' = -1, I" = I，此时々2中磁场为原来的两倍。
q' 分
产
击aR时位
当待求区域为介质2时：
将整个空间视为均匀介质2,在边界之外设一镜像电荷q，且位置与 q重合。于是区域2中的电位和电位移矢量分别为：
心=
q + q”
4丸勻
R”
伞蒙” R
在分界面(R = R'= R")上，应)两足边界条件:
8、=奴 D\n = D2n
D = q cos a--cos a
4.5无限大介质平面的镜像
1. 点电荷对无限大电介质平面的镜像 2. 线电流对无限大磁介质平面的镜像
1.点电荷对无限大介质平面的镜像
当待求区域为介质1时：
整个空间为均匀介质1,在边界之外设一镜