高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课时规范练文含解析北师大版
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第五章 数列
第二节 等差数列及其前n项和
课时规范练
A组——基础对点练
1．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为( )
A．3，7，9，15，100 B．4，10，12，34，100
C．5，11，16，30，100 D．4，10，13，43，100
解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝an－a1n－1＝99n－1.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3，9，11，33，99，n的所有可能取值为4，10，12，34，100，故选B.
答案：B
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：∵{an}是等差数列，
∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5，故选A.
答案：A
3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝( )
A．－1 B．0
C.14 D.12
解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝34，数列{an}单调递增，∴a2＝12，a4＝32.∴公差d＝a4－a22＝12.
∴a1＝a2－d＝0.
答案：B
4．(2020·广东六校第一次联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝( ) A．6 B．7
C．8 D．10
解析：因为S5＝2S4，所以a5＝S4＝12S5.因为a1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝（a1＋a5）×52＝8×52＝20，所以a5＝12S5＝12×20＝10，故选D.
答案：D
5．(2020·四省八校联考)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：法一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以15a4＝1，故选C.
法二：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以15a4＝1，故选C.
法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1，故选C.
答案：C
6．(2020·唐山市高三摸底考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a11＝4，则S13＝( )
A．13 B．26
C．39 D．52
解析：由等差数列的性质可知，a1＋a13＝a3＋a11＝4，
∴S13＝13（a1＋a13）2＝26，故选B.
答案：B
7．(2020·广东百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠0，S2＝a4，则a5S3＝( )
A．1 B.23
C.53 D.79
解析：设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以a5S3＝a1＋4d3a1＋3d＝6d9d＝23.
答案：B
8．已知{an}是等差数列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n项和Sn最大的n是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：因为a1＞0，S5＝S9，所以公差小于零，数列{an}的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x＝7，故n＝7时，Sn最大．
答案：B
9．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
解析：设数列首项为a1，则a1＋2 0152＝1 010，故a1＝5.
答案：5
10．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a2n＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．
解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－a2n＝0，∴2an－a2n＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
答案：10
B组——素养提升练
11．(2020·银川模拟)在等差数列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．
解析：由题知公差d＝a6－a36－3＝16－73＝3，所以an＝7＋(n－3)d＝3n－2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为a50＝3×50－2＝148.
答案：148
12．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.所以当n＝8时，其前n项和最大． 答案：8
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－12an－1＋1(n∈N＋，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝1an(n∈N＋)．
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：∵bn＝1an，且an＝an－12an－1＋1，
∴bn＋1＝1an＋1＝1an2an＋1＝2an＋1an，
∴bn＋1－bn＝2an＋1an－1an＝2.
又∵b1＝1a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝1an，∴an＝1bn＝12n－1.∴数列{an}的通项公式为an＝12n－1.
14．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N＋)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解析：(1)∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，
得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－12.
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×n－12
＝2n2－3n＋52.
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)
＝2n2－3n2.
综上，Sn＝2n2－3n＋52，n为奇数，2n2－3n2，n为偶数.
