2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：
(1)；
(2)若，则对立事件；
(3)若，则可列并.
则称为一个事件域，又称为代数.
在概率论中，又称为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：
(1)非负性公理 若，则；
(2)正则性公理 ；
(3)可列可加性公理 若互不相容，有
则称为事件的概率，称三元素为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称
为随机变量的分布函数.且称服从，记为.
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有
则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
(1)非负性 ；
(2)正则性 .
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称
1
第五章 统计量及其分布
习题5.1
1． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委
托一家市场咨询公司进行一次电话访查．
（1）该项研究的总体是什么？
（2）该项研究的样本是什么？
解：（1）总体是该地区的全体用户；
（2）样本是被访查的电话用户．
2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100
名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？
解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；
总体用二项分布描述比较合适．
3． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p未知，每m件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任
意抽取n盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．
解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n盒产品中每一盒的不合格品数；
总体的分布为X ~ b
(m, p)，xmx
qp
xm
xXP−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
==}{
，x = 0, 1, …, n，
样本的分布为
nnxmx
nxmxxmx
nnqp
xm
qp
xm
qp
xm
xXxXxXP−−−
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
====LL
2211
212211},,,{
∑∑
⋅
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
=
==−
=∏n
itn
itxmnx
n
i
iqp
xm
11
1．
4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n条，涂
上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m条鱼，而涂有红漆的鱼则
有k条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？
解：设鱼塘里有N条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为
Nn
，
而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为
mk
，估计
mk
Nn
≈
，
故估计出鱼塘里大概有
1习题3.2
1． 设二维离散随机变量(X, Y
)
的可能值为
(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，
且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X与Y各自的边际分布列．
解：因X的全部可能值为−1, 0, 1，且
125
121
31
}1{=+=−=XP
，
61
}0{==XP
，
125
}1{==XP
，
故X的边际分布列为
125
61
125101
PX−
因Y的全部可能值为0, 1, 2，且
127
125
61
}0{=+==XP
，
31
}1{==XP
，
121
}2{==XP
，
故Y的边际分布列为
121
31
127210
PY
2． 设二维随机变量(X, Y
)
的联合密度函数为
⎩⎨⎧
>>−−−
=−−−−−
.,0,0,0,eee1
),(},max{
122121
其他yx
yxFyxyxyxλλλλλ
试求X与Y各自的边际分布函数．
解：当x ≤ 0时，F
(x, y) = 0，有F
X (x) = F
(x, +
∞) = 0，
当x > 0时，
⎩⎨⎧
≤>−−−
=−−−−−
.0,0,0,eee1
),(},max{
122121
yy
yxFyxyxyxλλλλλ
有
xyxyxyx
yXxFxF
1122121e1]eee1[lim),()(},max{λλλλλλ
−−−−−−
+∞→−=−−−=∞+=
，
故
⎩⎨⎧
≤>−
=−
.0,0,0,e1
)(1
xx
xFx
Xλ
当y ≤ 0时，F
(x, y) = 0，有F
Y (
y) = F
(+ ∞, y) = 0，
当y > 0时，
⎩⎨⎧
≤>−−−
=−−−−−
.0,0,0,eee1
),(},max{
122121
xx
yxFyxyxyxλλλλλ
有
yyxyxyx
xYyFyF
2122121e1]eee1[lim),()(},max{λλλλλλ
−−−−−−
+∞→−=−−−=+∞=
，
故
⎩⎨⎧
≤>−
=−
.0,0,0,e1
)(2
yy
yFy
Yλ
3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：
1第八章 方差分析与回归分析
本章前三节研究方差分析，讨论多个正态总体的比较，后两节研究回归分析．讨论两个变量之间的相
关关系．
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出
上一章讨论了单个或两个正态总体的假设检验，这里讨论多个正态总体的均值比较问题．
通常为了研究某一因素对某项指标的影响情况，将该因素在多种情形下进行抽样检验，作出比较．一
般将该因素称为一个因子，所检验的每种情形称为水平．在每个水平下需要考察的指标都分别构成一个总
体，比较它们的总体均值是否相等．对每一个总体都分别抽取一个样本，样本容量称为重复数．
如果只对一个因子中的多个水平进行比较，称为单因子方差分析，对多个因子的水平进行比较，称为
多因子方差分析．本章只进行单因子方差分析．
例 在饲料养鸡增肥的研究中，现有三种饲料配方：A
1 , A
2 , A
3 ，为比较三种饲料的效果，特选24只相似
的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量．实验结果如下表所示：
饲料 鸡重/g
A
1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028
A
2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A
3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
在此例中，就是要考察饲料对鸡增重的影响，需要比较三种饲料对鸡增肥的作用是否相同．这里，饲
料就是一个因子，三种饲料配方就是该因子的三个水平，每种饲料喂养的雏鸡60天后的重量分别构成一
个总体，这里共有3个总体，每一个总体抽取样本的重复数都是8，比较这3个总体的均值是否相等．
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
设因子A有r个水平A
1 , A
2 , …, A
r ，在每个水平下需要考察的指标都构成一个总体，即有r个总体，
分别记为Y
1 , Y
2 , …, Y
r ，对每一个总体都分别抽取一个样本，首先考虑重复数相等的情形，设重复数都是
