马氏环境中马氏链函数加权和的强收敛性

高校应用数学学报　２０１３，２８（２）：１９３—１９９　

马氏环境中马氏链函数加权和的　强收敛性　

万成高，万英　（湖北大学数学与计算机科学学院，湖北武汉４３００６２）　

摘要：给出了状态有限的单无限马氏环境中马氏链泛函加权和的强收敛性，得到了　状态有限的单无限马氏环境中马氏链泛函加权和的强收敛性成立的一系列充分条件．　关键词：马氏环境；马氏链；加权和；强收敛性　中图分类号：Ｏ２１１．６２　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００．４４２４（２０１３）０２—０１９３—００７　马氏链的极限理论是随机过程中主要研究内容，目前已取得了较为丰富的理论成果，但主　要集中在确定环境情形．对随机环境中马氏链，文献ｆ１—５１研究了平稳环境中马氏链的遍历理论，　直接收敛于转移函数的周期性关系以及不变概率测度的存在性等问题，并提出了一系列未解决　问题．文献【６—７】得到了马氏环境中马氏链的强大数定律成立的充分条件．本文给出了状态有限的　单无限马氏环境中马氏链泛函加权和的强收敛性，得到了状态有限的单无限马氏环境中马氏链　泛函加权和的强收敛性成立的一系列充分条件．这种研究不仅仅是受到大数定律研究的推动，而　且在考虑线性模型最小二乘估计的相容性时就要讨论随机变量加权和的强收敛性，因此这种研　究无疑是非常重要的．本文约定：Ｃ总表示正常数，且在不同的地方可以表示不同的值．集合　的　示性函数记为　４．　．设　表示整数集，　表示非负整数集．（　，　，ＪＦ））是一概率空间，　＝｛１，２，…，Ⅳ），　臼＝｛１，２，…，Ｍ），∈。＝｛　，ｎ＝０，１，…）和　＝｛％，ｎ＝０，１，２，…）分别是（　，　，Ｐ）上取值　于ｏ￣ｌ，ｒ的随机序列，ｆＰ（　），０∈　｝是　上的一簇转移函数族，ｆ　（．．．））是　上的转移函数族．对　任一序列　＝｛‰），记厩　＝｛‰，ｋ　ｎ　ｒ），一∞　ｒ　＋∞．　如果对任意　，Ｙ∈　，ｎ∈肌有　Ｐ（　＝　）：Ｐ（Ｘｏ＝　ｌ　），　Ｐ（Ｘｎ＋１＝　Ｉ　”，∈）＝Ｐ（　；％，　），　则称　为随机环境　马氏链，　随机环境序列；若穗一马氏序列，则称　是马氏环境中马氏　链．　本文恒设　是马氏环境∈’中的马氏链，其中∈‘的一步转移函数为％（　，　），其状态空间　收稿日期：２０１２一Ｉｉ—Ｏｌ　修回日期：２０１３—０４—２３　基金项目：国家自然科学基金（６１Ｏ７０２２５）

　１９４　高校应用数学学报　第２８卷第２期　

为　＝｛１，２，…，Ⅳ），初始分布为　ｑ＝｛ｑ（　，　），　∈　，０∈　），　（１）　转移矩阵为　Ｑ　＝｛Ｑ　（　，　；Ｙ，　），Ｘ，Ｙ∈　；０，Ｑ∈　），　（２）　其中ｑ（　，０）＝Ｐ（Ｘｏ＝Ｘ，∈０＝　），Ｑ　（ｚ，　；Ｙ，ＯＬ）：Ｐ（　；　，ｙ）Ｋ　（　，　）．　设｛　（　，　），ｎ　０｝是定义在　×０上的实函数列，Ｚｎ：厶（　，　），凡　０，｛ｃ　，礼　１）．是常数序列，定义　（　，　）如下　（　，　）＝｛，ｎ‘　’：，ｆｎ　（　ｘ，Ｏ　）ｌＩ￣＞。ａ　ｎ；．　

设Ｘ∈　，０∈０，　是一非零常数，６　ｘ，０）：∑∑　（　，　）Ｑ　（　，　；Ｙ，　），则　６　（　，　）＝∑∑　（　，　）　ｘ，Ｏ；ｙ，　），佗　１，　

）：耋姜ｘ，Ｏｙ，ａＱｎ（Ｏ；ｙ）Ｘ）（　，　）＝∑∑　）ｅｘｐ｛　｝．　易见　ｌ盟　Ｉ　２．　（３）　引理１【　１对任意非负常数　，　ｅｘｐ｛　∑［　（　，　）一ｂｍ（Ｘ　＿１）］／ｃ　）／ⅡＲ　（　，　一　）　存在且有限ａ＿ｓ．　设｛　，札　１）是随机变量序列，　为一非负随机变量，Ｃ＞０为常数，若对任意的　＞０，佗　１，都有Ｐ（ＩＸ　ｌ＞　）　ＣＰ（Ｖ＞　），　则称｛ｘ　，ｎ　ｌ｝尾概率一致有界于　，并记为｛ｘ　＞＜　．　引理２设　为随机变量，且对任意的Ｘ＞０，都有Ｐ（ＩｘＩ＞ｘ）　ｃＰ（ｖ＞　），其中　为非　负随机变量，Ｃ＞０为常数，则对任意的　＞０，ｑ＞０，有　Ｅ　ＥＸＩ　Ｉ｛Ｉｘｌ＜　）　Ｃｘ。Ｐ（Ｖ＞ｘ）－４－ＣＥＶ　）．　证由积分等式　ｑ／８ｑ－１Ｐ（ＩＸＩ＞ｓ）ｄｓ＝ＸｑＰ（ＩＸＩ＞　）＋ＥｌＸｌ。Ｉ｛Ｉｘｌ＿＜　），　有　Ｅ　Ｌｘ　Ｌ　Ｉ｛Ｉｘｌ＜＿　）　ｑ／８ｑ－１Ｐ（ＬｘＩ＞ｓ）ｄｓ　，　√０　Ｃｑ／８ｑ－１Ｐ（Ｖ＞ｓ）ｄｓ＝Ｃｘ　Ｐ（Ｖ＞　）＋ＣＥＶ。　｛　≤。）．　下面研究状态有限的单无限马氏环境中马氏链函数加权和的强收敛性．　定理１设｛０　，ｎ　１｝和｛　，ｎ　１）是任意的两个正实数列，　＝６　ａ　，ｂ　Ｔ。。，｛　｝＜　．对任意的　＞０，定义Ｎ（ｘ）＝Ｃａｒｄ｛ｎ：Ｃ　），若　满足：

　万成高等：马氏环境中马氏链函数加权和的强收敛性　１９５　

则　

及　（ｉｉｉ）　厂。。　ｐ　Ｙｏ　１Ｐ（ｖ＞ｔ）ｆｔ。。Ⅳ（　）／ｙＰ＋ｌｄｙｄｔ＜∞　

—￣ｍ－—１）ａ　收敛　（４）　

Ｅ。　（ｚ　一Ｅ（ｚ　『　ｌｍ一　，ｆ　一１））一０　ａ．ｓ．　（５）　“ｍ＝１　证由于　∑Ｐ（　≠　（　，　））＝∑Ｐ（１ｚｍＩ＞ｃ　）　Ｃ　Ｅ　Ｐ（Ｖ＞ｃ　）　ＣＥＮ（Ｖ）＜∞，　ｍ＝１　ｍ＝１　ｍ＝１　于是￣Ｂｏｒｅｌ—ｃａｎｔｅ１１ｉ引理，有２＿ｍ≠　（　，　）仅有限项成立ａ．Ｓ．因此　ａ　收线　（６）　因为　

由（ｉ），（ｉｉ）￣Ｈ　

故　

由引理２有　∑ｃ　Ｅ　Ｊｚｍ　ＺｍＩ＞。　）　Ｅ　１／Ｐ（ＩＺｍｌ＞ｔ）ｄｔ　ｍ＝ｌ　ｍ：１。　√ｃ　ｃ　Ｅ　（ｃｍ　Ｐ（１　ｌ＞ｃ　）＋　Ｐ（１　Ｉ＞咖　）　（　Ｐ（ｇ￣Ｃｍ）＋壹　（Ｖ＞ｔｃｍ）ｄ　）　ｃ（ＥⅣ（　）＋　ｏ。ＥⅣ（　）ｄｔ），　

ｏ。　∑ｃ　Ｅ（１　Ｉ　Ｉｚ　ｌ＞　）ｌ‰一１，∈　一１）ａ．ｓ．收敛　ｍ＝１　Ｅ　ｃ　Ｅｌｚ　Ｉ　Ｉ｛Ｉｚ　ｌ　）　ｍ＝１　。。　ｏｏ　Ｃ　Ｅ　Ｐ（Ｖ＞ｃ　）＋Ｃ　Ｅ　ｃ　Ｅ　。　）　ｍ＝１　ｍ＝１　ｏ。　ＣＥＮ（Ｖ）＋Ｃ　Ｅ　ｃ　Ｅ　。　）　ｍ：１　（７）　

（８）　一　∑一　

ａ　∞　＜　＞　ｍ　Ｚ　ｒ￡　ｎ　ｍ　Ｃ　

∑一１９６　高校应用数学学报　第２８卷第２期　

以及　ｏｏ　∑ｃ　Ｅ　Ｉ｛Ｉｖｌ＜。　）　ｍ＝１　ｃ薹ｃｍ呻　刈出　一／０　）　

ｃ／ｏ￣ｔｐ－ｌｐ（　＞　）　。。Ⅳ（　）／　＋　ｄ　ｄｔ，　上面最后一个不等式成立基于下列事实：　∑ｃ　＝　ｌ　ｉｍ。。∑ｃ　＝…ｌｉｍ　ｙ－ＰｄＮ（ｙ）　｛ｍ：ｃｍ＞ｔ｝　｛ｍ：ｔ＜ｃｍ＜ｓ）　（ｓ呻Ⅳ（ｓ）　）＋ｐ　＜　帅）／ｙｐ＋ｌｄｙ）；　ｓ　Ⅳ（ｓ）　ｐ　。。Ⅳ（　）／ｙＰ＋ｌｄｙ一。（ｓ—ｏ。）．　由（８），（９）式及条件（ｉ），（ｉｉｉ）有　∑ｃ　ＥＩ　１　Ｉ｛Ｉｚｍｌ＜。　）之∞，　从而　∑￣５＂Ｅ（ＩＺ￣ＩｐＩ｛ｉｚ　Ｉ　。　）ｌ　一１，∈　一１）ａ．ｓ＿收敛．　由（１），（２）式有　Ｅ（ｃ　入（　（　，　）一ｂ　（　，　））ＩＸｎ一１＝ｘ，　一　＝　）＝０，　（９）　

（１０）　

（１１）　

那么　Ｒ　（　；Ｘ，　）一１＝　Ｅ（［ｅｘｐ｛ｃ￣　（　（　，∈　）一６　（　，　）））一１－ｃ　（　（　，∈　）一６　（　，　））］Ｉ　，帆一１＝　，　一１＝　）　由此利用０　ｅ　一１一　ｘ２ｅ　，一ｔ　Ｘ≤ｔ和（３）式有　０　Ｒ　（　；Ｘ，　）一１　ｅ　Ｉ　ＬＥ（ｃ　（　，　）　（　，　）］。ＩＸｎ一１＝　，　一１＝　）　＝　。ｅ。ＩＸｌＥ（ｃｎ一。［　（　，　）］　ｌＺｎ一　＝　，　一１＝　）　。ｅ　ＩＡＩＥ（ｃ　［　（　，　）］　ＩＸ．一１＝ｚ，　一１＝　）．　因此有　０　Ｒ　（　；　＿礼一１，∈　一１）一１　ｅ　Ｉ　ｌＥ（ｃ　ｐ［　（　，　）］ｐＩＸ．一１，∈　一１）　ｏ。　由此及（１１）式得∑（Ｒ　（入；　一１，　一１）一１）＜∞ａ＿ｓ＿，　ｍ＝１　１，　一１）＜。。ａ．

Ｓ　万成高等：马氏环境中马　堡鱼墼　坚塑竺堡　垫竺　１９７　

这样由引理１得　

存在且有限ａ…Ｓ　在上式中令Ａ　

存在且有限ａ．Ｓ　

存在且有限ａ．８　于是得　

由于　于是有　唧　［　

：ｌ－一１可分别得到　唧｛　［　］ｊ　Ｊ　

∈　一１）１、　——Ｊ　

『　！　！　！　＝　！　Ｌ　ｍ　１Ｊ　Ｊ　

ｆ　！　！　！　坚　１　ａ．ｓ．收敛．　Ｌ　０ｍ　Ｅ（ｚ　Ｉ　＿１ｊ　一１）：６　（‰一ｌ，　一１），　

ｃ：　ｌ６　（　，０）一扫　（　，　）ｆ　＝ｃ　１∑∑　（　，　）一　（　Ｑ）】Ｑｎ（　，口　Ｑ）　ｙ＝ｌａ＝ｌ　ｃ　∑ＩＡ（ｙ，　）　（　，　）　１，忆（　，ｄ）１＞０ｎ　ｃ　Ｅ【｛　ｚ　ｆ＞。　）Ｉ　一１：　，　一１　，　即　ｃ　Ｉ６　（　一　，　一１）　由此及（７）式得　一６　（　一１，　一１）ｌ　ｃ　驯ｚ　ｚ　ｌ＞。　）ｌｘｎ＿ｌｊ　５，－１］　（１２）　

ｃ　Ｉ６　（　一ｌ，　一１）＿６　（‰－ｌ１　一１）Ｉ＜。。ａ。　，　，－１　于是由（６１，（１２１式得　三、墨　二　！茎　二　！　二　ａ．ｓ＿收敛，　、————————————————————————一　…‘Ｌ，　・　、，　ａｍ　４　，　嚣　个正蚴　，州　，＜　定理２设｛０　，札　１）和　ｎ，ｎ　１’是任葸嗣两／ｒ止头烈多，ｕ，ｃ　一　／‰’　

．对任意的　０，定义Ⅳ（　）：Ｃａｒｄ｛ｎ：ｃ　），若　满足：　（ｉ）Ｅｘ（ｖ）＜∞　（ｉｉ）　／ｏｏＥＮ（Ｖ／ｓ）ｄｓ＜∞　１　一　∑一　一　Ｘ　；虽ｌ　∞

∑　１９８　高校应用数学学报　第２８卷第２期　

则有（４），（５）式成立．　证沿用定理１的证明方法，只须证明（１１）式成立即可．又由（８）式，只需证　ｃｍＰＥＶ　≤ｃ　）＜Ｏ。．　事实上，］Ｒｄ一１　０，ｄｎ＝。＜ｉＩ　ｌａ＜ｘ　ｃｍ，则　∑ｃ￣ＰＥＶＰＩ｛ｖ＜。　）　∑ｃ　Ｅ　ｖ　）　

＝．　Ｅ　ｐＩ｛ｄｊ－１＜Ｖ＜ｄｊ｝＝∑Ｅ　＿１＜　＜ｄｊ）妻ｃ　ｍ　１　７＝１　‘一１　～一　Ｐ（ｄｊ一　＜　≤　）哆妻　≤ｃ妻　Ｐ（　一　＜　≤　）　

＝　∑Ｐ（吗一１＜　ｄｊ）　ｃ∑∑Ｐ（ｄｊ一１＜　≤　

＝Ｃ∑Ｐ（Ｖ＞ｄｒｎ一　）　Ｃ（∑Ｐ（Ｖ＞ｃ　）＋１１＜。ｏ．　事　兰　．设｛ｎｎ，ｎ　１）和｛　，ｎ　１）是任意的两个正实数列，ｃｎ：　／ｎ　，　ｔ。。，｛　）＜　Ｖ・对任意的　＞０，定义Ⅳ（　）＝Ｃａｒｄ｛ｎ：ｃ　，若　满足：　（ｉ）ＥＮ（Ｖ）＜ｏ。；　（ｉｉ）￣ＥＮ（Ｖ／ｓ）ｄｓ＜。。；　

（ｉｉｉ）　ＥⅣ（　）　∞，　则有（６），（７）式成立．　证沿用定理ｌ的证明方法，只需证　∑ｃ　Ｅ　＜ｃｍ｝　Ｃ　ｍ＝１　∑　ｍ＝０　麦　Ｐ（ＶＰ＞８）ｄｓ（　）　

ＥⅣ（　）　∞　推论１在定理１，定理２，定理３的条件下，有　

当且仅当　＜。。．ａ．ｓ　

望！墨　Ｉ　＝　！　一　）～Ｅ［Ｅ（ｚ　Ｉ　一　，￣ｍ－－１）】　Ｃｍ　ｎ　一…ｓ　＜。。ａ．ｓ．：

　万成高等：马氏环境中马氏链函数加权和的强收敛性　１９９　

当且仅当　ｎｍ［Ｅ（Ｚｍ　ＪＸｍ　一　）一Ｅ（Ｅ（　Ｊ　一１））］ａ．ｓ．收敛・　

参考文献：　『１１　Ｃｏｇｂｕｒｎ　Ｒ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ　ｉｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ａｎｎ・　Ｐｒｏｂａｂ，１９９１，１９（２）：５８７－６０４：　【２１　Ｏｒｅｙ　Ｓ．Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ　ｗｉｔｈ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃａｌｌｙ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ａｎｎ　Ｐｒｏｂａｂ，　１９９１，１９（３）：９０７—９２６．　［３］　Ｓｅｐｐａｌａｉｎｅｎ　Ｔ．Ｌａｒｇｅ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ　ｗｉｔｈ　ｒａｎｄｏｍ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｎｎ　Ｐｒｏｂａｂ，　１９９４，２２：７１３—７４８．　『４１　李应求．双无限随机环境中的常返马氏链［Ｊ］．数学学报，２００７，５０（５）：１０９９—１１１０．　［５］５　李应求，刘全升．随机环境中依赖年龄的分枝过程［Ｊ］．中国科学Ａ辑，２００８，３８（７）：７９９・９１９．　『６１６　李应求，王苏明，胡杨利．马氏环境中马氏链的一类强极限定理［Ｊ］．数学进展，２００８，３７（５）：　５３９—５５０．　『７］　李应求，汪和松，王众．马氏环境中马氏链转移函数概率几何平均及其泛函的强极限定理【Ｊ】．数　学物理学报Ａ辑，２０１１，３１（２）：５０８—５１７．　『８１　甘师信．两两ＮＱＤＹ￣Ｊ的强稳定性［Ｊ］．数学物理学报Ａ辑，２００８，２８（４）：６１２・６１８．　ｆ９１　陆传荣，林正炎等．概率论极限理论引论【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８９．　Ｓｔｒｏｎｇ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍｓ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ　ｉｎ　Ｍａｒｋｏｖｉａｎ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ　ＷＡＮ　Ｃｈｅｎｇ—ｇａｏ，ＷＡＮ　Ｙｉｎｇ　（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００６２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｔｕｄｉｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔｒｏｎｇ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍｓ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｓｔａｔｅ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ　ｉｎ　ｓｉｎｇｌｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ　Ｍａｒｋｏｖｉａｎ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ，ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎｓ　ｓｏｍｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｔｒｏｎｇ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｒｋｏｖｉａｎ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ；Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎｓ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍｓ；ｓｔｒｏｎｇ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ＭＲ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉ