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三角函数基础_定义域值域_单调性_奇偶性

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第 1 页 共 1 页 二.基础练习

1． 函数1π2sin()23yx的最小正周期T= ．

2．函数sin2xy的最小正周期是 若函数tan(2)3yax的最小正周期是2,则a=____.

3．函数]),0[)(26sin(2xxy为增函数的区间是

4．函数22cos()()363yxx≤≤的最小值是

5已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______.

6．给出下列命题：

①存在实数x，使sincos1xx成立；

②函数5sin22yx是偶函数；

③直线8x是函数5sin24yx的图象的一条对称轴；

④若和都是第一象限角，且，则tantan．

⑤Rxxxf),32sin(3)(的图象关于点)0,6(对称；

其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．

例1、已知函数

y=log21(2sin()4x)

⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.

变式1：求函数34sin(2)23yx的最大、最小值以及达到最大(小)值时x的集合．；

变式2：函数y=2sinx的单调增区间是

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例2、求下列函数的定义域

(1)xxysin21tan1 (2))sin(cosxy (3) 1cos2)1lg(tanxxy.

例3、求下列函数的值域

(1)Rxxy ,2cos23 (2)Rxxxy ,2sin2cos2 (3)xxycos2cos2

例4 若2122cossinfxaaxx的最小值为 ga，

（1）求ga的表达式；

（2）求使1ga的a的值，并求当a取此值时fx的最大值。

1．（2007年福建）．已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（ ）

A．关于点0，对称 B．关于直线x对称 C．关于点0，对称 D．关于直线x对称

2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2的是（ ）

A．sin2xy B．sin2yx C．cos4xy D．cos4yx

3．如果mmx44cos有意义，则m的取值范围是

第 3 页 共 3 页 4．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)yx的最小正周期为

5．要得到sin2xy的图象，只需将函数cos24xy的图象

6．对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，xAy，有下列说法：

①最大值为A； ②最小正周期为|2|； ③在],0[至少有一个x，使得0y；

④由)( 2222Zkkxk解得x的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是

7．函数)42tan(xy的单调增区间为 .

8．已知]0,2[x,且,01cossin22xx求角x的集合.

9．函数21sinxy的单调递增区间是 .

10．函数,fxxR是奇函数，且当0x时，2sinfxxx，则当0x时，fx 等于 ．

11.如果、、均为锐角，1sin3，tan2，3cos4，则,,从小到大的顺序为 ．

12. 函数2225)tan1(logxxy的定义域是

13．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()fxx，xR（其中0，2）的最小正周期是，

且(0)3f，则

例5 设关于x的方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.

(1)求α的取值范围; (－2, －3)∪(－3, 2). (2)求tan(α＋β)的值. 3.

例6 已知函数xxmxfcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m的取值范围．m的取值范围为]2,(.

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【基础精练】

1．已知α是锐角，且sinπ2＋α＝34，则sinα2＋π的值等于( )

A.24 B．－24

C.144 D．－144

2．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos(α－π)2的值是( )

A．sinα2 B．cosα2 C．－sinα2 D．－cosα2

3.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos2αcos(90°＋α)等于 ( )

A.－sinα

B.－cosα

C.sinα

D.cosα

4.已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于

( )

A.25 B.75 C.145

D.－25

5.定义运算a bc d＝ad－bc.若cosα＝17，sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )

A.π12 B.π6

C.π4 D.π3

6.已知tanα和tan(π4－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是 ( )

A.b＝a＋c

B.2b＝a＋c C.c＝b＋a

D.c＝ab

7．函数y＝12sin2x＋sin2x，x∈R的值域是( )

A.－12，32

B.－32，12

C.－22＋12，22＋12

D.－22－12，22－12

8.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝

.

9设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sinα2

10.已知sin(4x)=135，0

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11.若),0(,，31tan,507cos，求α+2β。

【拓展提高】

1、设函数f(x)＝sin(πx4－π6)－2cos2πx8＋1

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，43]时y＝g(x)的最大值

2、求证：sin2sin）（－2cos（α+β）=sinsin.

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三角函数的概念与性质

三角函数的概念与性质

1 三角函数知识点总结

一、基础概念

1、正角、负角和零角

正角：按逆时针方向旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角：不作任何旋转形成的角

正角 负角 零角

2、象限角、轴线角

象限角：点O与坐标原点重合，OA与x轴正半轴重合，当终边OB落在第几象限就说这个角是第几象限角.

轴线角：点O与坐标原点重合，OA与x轴正半轴重合，当终边OB落在坐标轴上就说这个角是轴线角，这个角不属于任何项限

3、角的集合：与任意角终边相同的角构成一个集合

Zkk,360

常见结论：（1）第一象限角的集合为36036090,kkk

第二象限角的集合为Zkkk,36018090360

第三象限角的集合为360180360270,kkk

第四象限角的集合为360270360360,kkk

（2）终边在x轴上的角的集合为180,kk

终边在y轴上的角的集合为18090,kk

终边在坐标轴上的角的集合为90,kk

终边在xy上的角的集合为Zkk,18045

终边在xy上的角的集合为Zkk,180135

2 （3）任何一个象限角有可能是正角，也有可能是负角；

任何轴线角有可能是正角、负角、零角；

小于90的角不一定是锐角；

大于90的角不一定是钝角；

终边相同的角不一定相等

4、已知是第几象限角，确定n)(Zn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域。

高中数学 第三章 三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质

高中数学 第三章 三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质

3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)

[学习目标] 1.掌握y＝sinx与y＝cosx的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．

[知识链接]

1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？

答 正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称，余弦函数y＝cosx的图象关于y轴对称．

2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？

答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx均对一切x∈R恒成立．

3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？

答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.

[预习导引]

正弦函数、余弦函数的性质(下表中k∈Z)：

函数 y＝sinx y＝cosx

图象

定义域 R R

值域 [－1,1] [－1,1]

对称轴 x＝kπ＋π2 x＝kπ

对称中心 (kπ，0) kπ＋π2，0

奇偶性 奇函数 偶函数

单调递增 －π2＋2kπ，π2＋2kπ []－π＋2kπ，2kπ

单调递减 π2＋2kπ，3π2＋2kπ []2kπ，π＋2kπ

最值 在x＝π2＋2kπ时，ymax＝1；在x＝－π2在x＝2kπ时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ＋2kπ时，ymin＝－1 时，ymin＝－1

要点一 求正弦、余弦函数的单调区间

例1 求函数y＝2sinπ4－x的单调递增区间．

解

y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，

令z＝x－π4，则y＝－2sinz.

因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sinz的递增区间，

高中数学-三角函数知识点总结

高中数学-三角函数知识点总结

1 三角函数知识点

一、三角函数知识点

1.角的定义：

（1）00~0360角的定义：从一点O出发的两条射线OBOA,所形成的图形叫做角，这点O叫做角的顶点，射线OBOA,叫做角的两边

（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形，端点O叫做角的顶点，射线OA叫做角的始边，射线OB叫做角的终边

2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角

（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角

（3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角

注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量

3.终边相同的角：所有与终边相同的角连同在内组成的集合ZkkS,3600

4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则

（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角

（2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角

5.1º的角的定义：规定周角的3601为1度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制

6.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作：1弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制

7.弧度数

（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零

（2）半径为R的圆的圆心角所对的弧长为l，则角的弧度数为Rl，角的正负由2 终边的旋转方向决定

注：弧度制与角度制区别：

（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1弧度1度

（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是周角的3601所对的圆心角的大小

（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；

高考数学之三角函数知识点总结

高考数学之三角函数知识点总结

三角函数

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=ry,余弦函数cosα=rx,正切函数tanα=xy，余切函数cotα=yx，

定理1 同角三角函数的基本关系式，

倒数关系：tanα=cot1,商数关系：tanα=sincoscot,cossin；

乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;

（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;

（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （

Ⅳ）sin2=cosα, cos2=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.