张延《中级宏观经济学》课后习题详解(9第九章 索洛经济增长模型)

张延《中级宏观经济学》第四篇 长期经济增长理论

第九章 索洛经济增长模型

跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。

1．假设美国是处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。根据人口学家统计，21世纪美国的人口增长将接近于0，而20世纪则大约为1%，和20世纪相比，21世纪的人口增长率下降会导致何种结果：

（1）处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。

（2）说明人口增长率下降对产量路径（总产量，而非每工人平均产量）的影响。

答：（1）在没有技术进步的情况下，考虑只有劳动和资本两种投入要素的情况下，现在的生产函数可以简化为：YtFKtLt,。同时假设该生产函数规模报酬不变，定义每个人平均产出YyL，每个人平均资本KkL，每个人平均消费CcL，则可求得此时的密集形式的效用函数：yfk。根据KtsYtKt可得ksfknk。假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足***0ksfknk，如图9-1所示，所形成的稳态时的人均资本为*k，当人口增长率由n减少为1n时，形成新的稳态人均资本为*1k。

图9-1 人口增长率降低时的稳态水平

处于平衡增长路径上的每个人平均资本随着人口增长率的降低而增加，但在长期人均资本趋于稳定；平均产量；平均消费随着人口增长率的降低而增加，在长期将趋于稳定。经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径如图9-2所示。

图9-2 人均资本、人均产出和人均消费的变化路径

（2）根据每个人平均产量和总产量之间的关系：YyL可得***YyLYyL，在人口增长率没有变化之前，*0yy，*LnL，所以***YyLnYyL，人口增长率变为1n之后，***1111YyLnnYyL，在人口增长率变化的瞬间，资本增长率不变，这时，人均产出的增长率会逐步往下调，总产出的增长率也逐步往下调，一直调整到等于1n。

2．若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定由于战争导致劳动力数量减少，而且假定战争没有影响资本存量。

（1）在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什么？

（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动（如果有）之后，每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为什么？

（3）一旦经济重新回到平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？

答：（1）在0t时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变持平投资线，根据KkAL，0t时刻，总资本K不发生变化。如图9-3所示，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平k从*k下降到*1k，根据YyAL，0t时刻总产量Y不发生改变，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均产出水平*yy下降到1y。

图9-3 人口增加时对稳态的影响

（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动之后，即在0t时刻之后，新的人均资本存量*1kk，此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平投资，即：1sfkgk，0k。这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧与技术进步所需的资本额，每单位有效劳动的平均资本额必然上升，即从1k朝着*k增进。同时，伴随着k的变化，每单位有效劳动的平均产出也随之上升，即从1y朝着*y增进。

（3）当经济重新回到平衡增长路径时，每单位有效劳动的平均产出等于新工人出现前的水平。由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投资线与工人数量一次性变化前相比，均未发生变化，所以这时每单位有效劳动的平均资本等于新工人出现前的水平。

3．从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素（其中土地等自然资源最受重视）的供给是有限的，最终必然将使经济增长停滞下来。请在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为。设生产函数为：1YKALR，其中R为土地数量。假定0，0且1，生产要素按照KtsYtKt，AtgAt，LtnLt和0Rt变动。

（1）该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这样一种情形：Y、K、L、A和R均以不变（但不必相同）的速率增长？如果是，其增长率各为多少？如果不是，为什么？

（2）根据你的答案，以土地为代表的自然资源存量不变，这一事实是否意味着持续增长是不可能的？请解释。

答：（1）根据题意，可以得到AtgAt，LtnLt和0RtRt，令kKtgKt，根据KtsYtKt，则有ksYtgKt，根据生产函数可得：

kYtgngYt

只要KtKt保持稳定，YtYt必然保持稳定。再加之.kkgYtKtgYtKt，所以1kkkggngg。

这样，可得到两个可能的稳定点：kg和1kngg。

将1kkkggngg，等式两边分别对kg求一阶导数和二阶导数：

211kkkggngg

22210kkgg

所以，可以近似推导出kg曲线。

如图9-4所示，对于kg来说，在kg时，0kg，在1kngg，0kg，在kg时0kg所以kg不稳定；对于1kngg，0kg，在1kngg，0kg，在1kngg时，0kg，所以1kngg稳定，所以有且只有一个稳定点，1kYtnggngYt。故该经济有唯一且稳定的平衡增长路径，即经济收敛于这样一种情形：Y、K、L、A和R均以不变（但不必相同）的速率增长，此时Y的稳定增长率为1ng，K的稳定增长率为1ng，L的增长率为n，A的增长率为g，R的增长率为0。

图9-4 人均资本变化率曲线

（b）尽管以土地为代表的自然资源存量不变，但持续增长还是可能的。人均产量的增长率为：.111YtLtnggnYtLt，只要上式大于0，就能实现就实现经济的持续增长。虽然土地存量保持不变，但只要技术增长率g足够快，那么经济仍然可以持续增长，因为随着技术不断进步，土地要素在经济增长中的重要性不断下降。

4．假定生产函数为柯布-道格拉斯函数。

（1）将k、y和c表示为模型的参数s、n、、g和的函数。

（2）k的黄金律值是多少？

（3）为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？

答：（1）柯布-道格拉斯的生产函数形式为：1YKAL，两边同除以AL得生产函

数的密集形式：yk，对于该生产函数yfk而言，ksfkngk，可得kskngk，在平衡增长路径上，每单位有效劳动的平均实际投资等于每单位有效劳动的平均持平投资，每单位有效劳动的平均资本维持不变，每单位有效的平均产出维持不变，则*0k即：**skngk，可得11*skng，1*syng。

又因为1csy，所以1*1scsng。

（2）黄金律为每个人有效劳动平均消费最大点，即*0ck。在平衡增长路径上，每单位有效劳动平均消费额用每单位有效劳动平均产出额与每单位有效劳动平均持平投资额的差值得到，即***cfkngk。于是，*0ck就可以转化为：

*fkng

即：1kng，11goldkng，此为黄金律k。

（3）此时，由于黄金律的要求必须同时是平衡增长路径上，所以可得黄金律上的储蓄率的表达式：*1sngk，黄金律上的每单位有效劳动平均消费额为：

*11**11ngkcngkng

故为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率为111sngng。

5．假设某国处于平衡增长路径上，资本在GDP的份额为30%，产出增长为每年3%，折旧率为4%，资本产出比为2.5。假设生产函数为柯布-道格拉斯函数，请问：

（1）在初始稳定状态下，储蓄率为多少？

（2）在初始稳定状态下，资本的边际产量为多少？

（3）假设政府提高储蓄率，使经济达到了黄金律水平的资本存量。黄金律下资本的边际产量为多少？比较黄金律和初始稳定状态的边际产量。

（4）在黄金律下，资本一产出比是多少？

（5）要达到黄金律的状态，储蓄率应该是多少？

答：柯布-道格拉斯生产函数的形式为yk，表示资本收入占总收入的份额。且为0.3，稳态时，产出增长率等于3%，所以0.03ng，折旧率为0.04，资本产出比2/.5KY，//2.5kyKY。

（1）从稳态条件syngk，将上述值代入得0.175s。

（2）由//KMPky，得0.12KMP。

（3）由稳态时资本存量黄金率：KMPng，代入得黄金律下资本的边际产量0.07KMP。在稳态资本黄金存量时资本边际产品为0.07，而在初始稳态时为0.12，从初始出发我们有必要提高k值以获得稳态资本黄金率。

（4）由资本产出比//KKYMP，把资本黄金率稳态时的资本边际产品和代入得：/4.29KY。

（5）要达到黄金律的状态，由//sngky，由//4.29kyKY代入得0.3s。

6．假定尽管存在政治障碍，美国还是永久性地将其预算赤字从GDP的3%降至0。假定开始时0.15s，且投资的上升量正好等于赤字的下降量。假定资本的收入份额为1/3。

（1）与赤字不下降的情形相比，产量最终将上升大约多少？

（2）与赤字不下降的情形相比，消费将上升多少？

（3）赤字下降对消费的最初影响是什么？若要消费回到赤字不下降时的水平，约需多长时间？

答：（1）1/3，0.03KY，又0.030.030.09KKYKK