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Stochastic formulation of the renormalization group supersymmetric structure and topology o

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arXiv:hep-th/0404212v1 27 Apr 2004Stochasticformulationoftherenormalizationgroup:

supersymmetricstructureandtopology

ofthespaceofcouplings

Jos´eGaite

InstitutodeMatem´aticasyF´ısicaFundamental,CSIC,Serrano123,28006Madrid,Spain

19April2004

Abstract

TheexactorWilsonrenormalizationgroupequationscanbeformulatedasa

functionalFokker-Planckequationintheinfinite-dimensionalconfigurationspaceof

afieldtheory,suggestingastochasticprocessinthespaceofcouplings.Indeed,

theordinaryrenormalizationgroupdifferentialequationscanbesupplementedwith

noise,makingthemintostochasticLangevinequations.Furthermore,iftherenor-

malizationgroupisagradientflow,thespaceofcouplingscanbeendowedwitha

supersymmetricstructurealaParisi-Sourlas.Theformulationoftherenormalization

groupassupersymmetricquantummechanicsisusefulforanalysingthetopologyof

thespaceofcouplingsbymeansofMorsetheory.Wepresentsimpleexampleswith

oneortwocouplings.

1Introduction

Theconceptoftherenormalizationgrouparoseinquantumelectrodynamicsandwas

soonappliedtootherquantumfieldtheoriesandlatertocriticalphemomena.With

theapplicationoftherenormalizationgroup(RG)toseveralcouplings,itbecame

clearthatitcouldhaveinterestingfeaturesasasystemofautonomousordinary

differentialequationsand,inparticular,thatthetopologyoftheRGtrajectories

shouldplayacrucialrole[1].Thesimplesttopologiescorrespondtotrajectories

thatfollowthegradientofsomepotential.ThisgradientRGflowhypothesiswas

discussedinRef.[2].Withthegeneralizationofthishypothesistotheexistenceof

anirreversibleRGfunction,afterZamolodchikovc-theoremintwodimensions[3],it

hasbeenthesubjectofnumerouspapers(asarepresentativesample,see[4,5,6]).

However,thestudyofthetopologyofthespaceofcouplingsofafieldtheoryis

stillinitsinfancy.EvenundertheassumptionofgradientRGflow(orirreversibleRG

function)veryfewgeneralresultsexist.Intwodimensionstheproblemhasreceived

moreattention,becauseofthepowerfulmethodsprovidedbyconformalsymmetry

1andtheconnectionwithstringtheory.Aparticularlyinterestingdevelopmentin

thisregardistherelationwithsupersymmetricquantummechanics(SUSYQM)and

Morsetheory,twoconceptswhichwereconnectedinWitten’sseminalpapers[7],

independentlyoftheRG.

Das,MandalandWadiaproposedtheconnectionoftwo-dimensionalRGequa-

tionswithstochasticquantizationandsupersymmetricquantummechanicsinthe

contextofstringtheory[8].Themotivationwasthattwo-dimensionalquantumfield

theoriesarethebasisoffirstquantized(“classical”)stringtheoryandthefieldequa-

tionsaregivenbyconformalinvariance,thatis,bythevanishingoftheβ-functions

correspondingtolow-energyfields,whichplaytheroleofcouplings.Therefore,the

interpolationbetweenRGfixedpoints,givenbytheRGflow,representsthetran-

sitionbetweenstringtheorysolutions,andapotentialfortheflowisalsoalow-

energystringpotential.Inthiscontext,itisnaturaltointroducesupersymmetry

inthespaceofcouplings,nowlow-energyfields.Theunderlyingsupersymmetryof

stochasticquantizationhadbeendiscoveredearlierbyParisiandSourlas[9](fora

systematictreatment,see[10]).Inthestringtheorycontext,itisnaturaltoassume

thatthefieldshaveastochasticcharacterand,infact,thischaractercorrespondsto

quantizedstringfieldtheory,thatis,tosecond-quantizedstringtheory.

AdifferentpointofviewwasadoptedbyVafa[11],regardingthetopologyof

thespaceoftwo-dimensionalquantumfieldtheoriesasgivenbyZamolodchikov’s

c-functionwhenconsideredasaMorsefunction.

Weadopthereamoregeneralstandpoint:thefieldtheoriesneednotbetwo-

dimensionaland,hence,neednothaverelationwithstringtheory.Supersymmetry

inthespaceofcouplingsisjustaconvenientmathematicalstructuretostudythe

topologicalstructureofthisspace,followingthespiritofWitten’spaper“Supersym-

metryandMorseTheory”[7].Nevertheless,onecanalsoprovidearationalefor

aninterpretationoftheRGinconnectionwithstochasticquantization,independent

ofstringtheory.ItarisesformtheexactformulationoftheRG(includingevery

coupling)whichgivesrisetoafunctionalFokker-Planckequation.

SowebeginbydescribingtheexactRGanddescribingitsfunctionalequation

asaFokker-Planckequation.ThenwerestrictourselvestotheusualRGinafinite

spaceofcouplingsandexaminewhenitcanbeconsideredagradientflow.Inthis

regard,onemusttakeintoaccountthefreedominthechoiceofmetricaswellas

thefreedominthechoiceofcoordinates.Next,assumingagradientRGflow,we

maketheconnectionwithSUSYQM.Finally,wereviewWitten’sreinterpretationof

MorsetheoryasSUSYQMandshowsomeapplicationsofMorsetheorytosimple

examplesofRGflow.

2Theexactrenormalizationgroup

WhenonesaysthatoneisinterestedindefiningthetheoryatthescaleL,oneis,first

ofall,redefiningthefieldφtothatscale,bymeansofanaveragingwithasuitable

kernel:

φL(r)=󰀋KL(r−x)φ(x).(1)

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薛定谔方程组及其解法

薛定谔方程组及其解法

薛定谔方程组及其解法

薛定谔方程组（Schrodinger Equation）是量子力学的基础方程之一，描述了量子系统的波动性质和粒子运动的规律。在量子力学发展的过程中，人们通过不断地尝试和探索，发现了各种各样的解法，使得该方程的应用范围越来越广，成为了现代物理学的重要工具之一。

1. 薛定谔方程组及其含义

薛定谔方程组最初是由奥地利物理学家薛定谔（Erwin

Schrodinger）于1926年提出的，他通过研究光谱现象，认为物理系统的运动可以用波函数来描述。而波函数则可以通过一个方程来求解，这个方程就是薛定谔方程组。

薛定谔方程组描述了微观粒子的运动规律和波动性质，用于计算微观尺度下的物理量，如粒子的位置、速度、动量、能量等。方程中的波函数可以归一化，即保证粒子存在的概率为1。因此，波函数可以被解释为一个粒子的存在概率密度。

2. 薛定谔方程组的解法

薛定谔方程组的解法主要基于两种方法：定态微扰理论和变分法。定态微扰理论是通过在原方程中加入微小扰动项，逐步展开波函数的级数，来求得精确的解。而变分法则通过尝试不同的波函数形式来寻找最优解，从而得到薛定谔方程组的解。

此外，还有一些基于计算机算法的数值解法应用于薛定谔方程组，如有限元方法、有限差分法和网格方法等。

3. 应用范围和意义

薛定谔方程组的应用范围非常广泛，涉及到各种物理现象和工程问题。

在纳米技术领域，薛定谔方程组可以用于描述纳米材料的电子结构和催化反应的机理，从而辅助设计新型材料和开发高效催化剂。

在化学领域，薛定谔方程组可以用于计算化学反应的机理和产物的构成，帮助人们预测化学反应过程和控制反应的产物。

在固态物理学中，薛定谔方程组可以用来解释材料的电、光、热、声等性质，帮助人们研发新型的半导体材料和纳米电子器件。

总之，薛定谔方程组在物理学、化学、材料学等领域有着广泛的应用和重要的意义，对推动人类社会的发展发挥着重要的作用。

统计力学中的巨正则系综与巨配分函数

统计力学中的巨正则系综与巨配分函数

统计力学中的巨正则系综与巨配分函数

统计力学是研究宏观物理量与微观粒子状态之间的关系的学科，而巨正则系综和巨配分函数则是统计力学中的重要概念。本文将对巨正则系综和巨配分函数的定义、性质以及在统计力学中的应用进行探讨。

一、巨正则系综的定义与性质

在统计力学中，巨正则系综是描述开放系统与外界交换粒子和能量的系综。巨正则系综可以由巨正则配分函数表示，记作Ξ。巨正则配分函数Ξ定义为：

Ξ = ∑exp(-β(E - μN))

其中，β = 1 / (kT) 是热力学温度的倒数，E是系统的能量，μ是化学势，N是粒子数。巨正则配分函数Ξ可以进一步用于计算热力学量，如系统的平均能量、粒子数以及其他宏观物理量。

巨正则系综的性质如下：

1. 系统与外界可以交换粒子和能量，保持化学势与温度不变。

2. 巨正则系综中的每个微观态出现的概率由配分函数Ξ决定。

3. 系统的平均粒子数可以由巨正则配分函数Ξ的导数计算得到。 4. 通过巨正则系综可以推导出各种热力学量之间的联系，如熵与自由能的关系。

二、巨配分函数的物理意义与计算方法

巨配分函数是统计力学中描述巨正则系综的重要工具，它用于计算开放系统的平均性质。

巨配分函数的物理意义在于，它是描述开放系统在给定温度和化学势条件下的统计权重。通过对巨配分函数的求导，可以得到系统的各种平均性质，如平均能量、平均粒子数等。

计算巨配分函数的方法主要有以下几种：

1. 离散能级的方法：对系统的能级进行离散化处理，通过求解巨配分函数的递推关系，可以得到巨配分函数的解析表达式。

2. 统计求解的方法：通过模拟系统的粒子分布状态，统计得到不同状态下的出现概率，从而计算巨配分函数。

3. 积分变换的方法：巨正则配分函数Ξ可以通过对系统的所有可能的粒子状态进行积分得到。通过适当的积分变换，可以将巨配分函数表示为更容易计算的形式。

三、巨正则系综和巨配分函数的应用

巨正则系综和巨配分函数在统计力学中有广泛的应用，包括对粒子分布、相变和热力学性质的研究。

超对称和环量子引力理论与粒子物理中的统一

超对称和环量子引力理论与粒子物理中的统一

第２９卷第２期　２００８年３月　吉首大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｓｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．２９　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．加吣　

文章编号：１００７—２９８５（２００８）０２—００５１—０７　

超对称和环量子引力理论与粒子物理中的统一　

张一方　

（云南大学物理系，云南昆明６５００９１）　

摘要：在超对称理论中引入与自旋无关的超旋、超同位旋和各种超对称变换，从而统一描述玻色子和费米子．同时讨　论了超对称和超弦中的各种相互作用及其它方面的统一，导出了环量子引力理论的４个定量结论，提出了可能存在从超弦　到宇宙弦等不同尺度的泛弦．　关键词：粒子物理；超对称；超弦；环量子引力理论；统一　中图分类号：Ｏ１７２．１　文献标识码：Ａ　

虽然早在１９０８年，爱因斯坦试图统一光子和电子方程时起，就可以认为是超对称性研究的开始，二者　

最基本的特征可以统一在著名的公式ａ＝ｅ２／ｃｈ＝１／１３７中．但自２０世纪９０年代，玻色子和费米子之间的　超对称性被正式引入以后，它才成为粒子物理中最活跃的领域之一．Ｗｅｉｎｂｅｒｇ在他著名的《量子场论（１１１ｅ　

Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｉｅｌｄ）｝中的第３卷全面讨论了超对称．　玻色子和费米子的不同在于它们的自旋．按照一般的经典场论，费米子是场源，而玻色子是场．二者始　终共存，互相转化．超对称理论在玻色场和费米场互相转化的超对称变换下是不变的．其中粒子和它的超　粒子，分别为玻色子和费米子，它们相伴存在，自旋不同，相差１／２．　

超对称作为一种数学方法具有非常丰富的物理意义．超对称联系于超空间、超场、超变换等．在超场，　如标量超场　（　，　）中，都包含有玻色场　（包含各种标量场、矢量场、张量场等）和费米场　，２种场彼此　间的各种超规范变换¨　都可以归纳为　

却＝　，　＝一Ｂｑｅ，　（１）　其中ｅ是超粒子的旋转角，是反对易的Ｍａｊｏｒａｎａ旋量．超对称理论引入反交换的Ｇｒａｓｓｍａｎｎ数，其具有旋量　生成元Ｑ　，其中　＝１．２，…Ⅳ．Ｎ＝１称简单超对称性，Ｎ＞１称扩充超对称性．描述粒子的方程在任意转　

量子力学中的对称性破缺与规范转换

量子力学中的对称性破缺与规范转换

量子力学中的对称性破缺与规范转换

量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它的基本原理是量子态的叠加与测量。在量子力学中，对称性破缺和规范转换是两个重要的概念，它们对于理解物质的性质和相互作用起着关键的作用。

对称性是指系统在某个操作下保持不变的性质。在经典物理中，对称性是非常重要的概念，它可以帮助我们推导出守恒定律和守恒量。然而，在量子力学中，对称性的破缺是一种普遍存在的现象。对称性破缺可以通过量子态的叠加与测量来实现。例如，考虑一个自旋为1/2的粒子，它可以处于自旋向上和自旋向下的叠加态中。当我们对这个粒子进行测量时，它将坍缩到一个确定的自旋态，从而破坏了原来的对称性。

对称性破缺在物质的性质和相互作用中起着重要的作用。例如，在超导体中，电子的配对形成了一个宏观的量子态，这个态具有自旋对称性破缺。这种自旋对称性破缺导致了超导体的一些特殊性质，如零电阻和磁场的排斥。另一个例子是在粒子物理学中，对称性破缺解释了粒子的质量和相互作用的强度。

与对称性破缺相对应的是规范对称性。规范对称性是指物理理论在规范变换下保持不变的性质。规范对称性是量子力学中的一种数学结构，它描述了粒子的相互作用方式。规范对称性的破缺可以通过引入规范场来实现。规范场是一种中介粒子，它与粒子相互作用并传递力量。例如，电磁场是由光子传递的，强相互作用是由胶子传递的。

规范对称性的破缺在物理学中有着广泛的应用。一个重要的例子是电弱相互作用的统一理论，即电磁力和弱力的统一。在标准模型中，电弱相互作用由规范对称性破缺引起。通过引入希格斯场，电弱相互作用可以被分为电磁力和弱力。希格斯场的存在解释了粒子的质量，并预言了希格斯玻色子的存在。 除了对称性破缺和规范转换，量子力学中还有其他一些重要的概念和理论。例如，量子纠缠是一种特殊的量子态，它在量子通信和量子计算中起着关键的作用。量子纠缠可以通过量子态的叠加和测量来实现，它允许两个或多个粒子之间的信息传递和相互作用。