中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题01：动点问题

25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作

PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

【答案】解：（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。

由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203。

综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=203。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=12AM=12t．

∴AMFAQPD11SSSDPAQPQ AMFM22梯形（）

21111 [t22t]2t tt2t2224（）（） 。

②当203＜t＜8时，如图（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，

∴AMFAQPD11SSSPGACPCAMFM22梯形（）

21115[162t8]t412t6t t22t842224（）（）（）（）。 综上所述，S与t的关系式为：221t2t(2t4)4S520t22t84(t8)43<<<<。

（4）在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=143或t=5或

6≤t≤8。

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。

【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=45cm。

∵D为边AB的中点，∴AD=25cm。

又∵点P在AD上以5cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。

∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－2s。

又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－2 cm。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用AMFAQPDSSS梯形求出面积S的表达式。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示： ①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=（t－4），

∴NH=2－MH=12－。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－），解得t=143。

第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－22.5=（t－）s，运动距离NH=（t－）=－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（－12），解得t=5。

②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示。

由图可知，在此阶段，始终有MH=12MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=143或t=5或6≤t≤8。

26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．

（1）求m的值；

（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．

【答案】解：（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，

∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，

∴A（－2，0）B（0，4）。∴OA=2，OB=4。

∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。

又∵四边形BOKC是矩形，

∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C（2，4）。

将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得m=6。

（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。

∴ER=PO=CQ=1。

∵EROBtanBAOAROA，即t4AR2，∴AR=12t。

∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。

∴∠ODN=45°。

∵GQtanODNQD，∴DQ=t。

又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－12t－t=8－32t。 ∴d=－32t+8（0＜t＜4）。

（3）如图，∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。

∵BP=4－t，

∴EP1tanABOtanBOCBP2。

∴EP=t42。

由（2）d=－32t+8，∴PG=d－EP=6－t。

∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。

∴BP1tanBGPtanBOCPG2。∴4t16t2，解得t=2。

∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。

∴BHBFBFBO，即BF2=BHBO。

∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴22BFBPPF5。

∴25=BH×4。∴BH=54。∴HO=4－511=44。

∴H（0，114）。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。

（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。

（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得BHBFBFBO，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。

27. （2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，3）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；

（2）求∠B的度数；

（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．

【答案】解：（1）AB=2；AH=3。

（2）在Rt△ABH中，AH=3，BH=1，tan∠B=3，∴∠B=60°。

（3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；

②当∠BAP为钝角时，

过点A作AP⊥AB交BC于点P。