浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
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一、单选题
1.
已知l
，m
是空间中两条不同的直线，α
，β
是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（
）
A
．若l
⊥α
，m
∥l
，m⊂
β
，则α
⊥βB
．若α
∥β
，l
∥α
，则l
∥β
C
．若l
⊥m
，l
⊥α
，α
∥β
，则m
∥βD
．若α
⊥β
，l
∥α
，则l
⊥β
2.
某中学有高中生960
人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为的样本，其中高中生
有24人，那么等于
A
．12B
．18C
．24D
．36
3. 设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”
是“”
的（
）
A
．充分不必要条件B
．必要不充分条件
C
．充要条件D
．既不充分也不必要条件
4.
我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1
，2
，3
，…
，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数
的和都相等，便得到一个3
阶幻方.
一般地，将连续的正整数1
，2
，3
，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和
都相等，这个正方形叫作n
阶幻方.
记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（ ）
A．
B
．7
阶幻方第4
行第4
列的数字可以为25
C
．8
阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D
．9
阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396
5.
已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率（
）
A
．B
．C
．D
．
6.
已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（
）
A
．第一象限B
．第二象限C
．第三象限D
．第四象限
7. 已知为等边三角形，，设点，满足，，
，若，则（
）
A．B
．C．D
．
8.
老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答，已知甲、乙两位同学能正确回答该问题的概率分别为0.4
与0.5
，在这个问题
已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（
）
A．B．C．D．
9. 在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（
）浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题二、多选题
三、填空题A
．有且仅有1
条B
．有且仅有2
条C
．有且仅有3
条D
．有无数条
10. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为
（
）
A．B．
C
．D
．
11. 已知，
，，则、、的大小关系为（
）
A．B．C．D．
12. 已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（
）
A
．eB．C．D．
13.
已知函数，则（
）
A．过点有且只有一条直线与曲线相切
B．当时，
C．若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1
D．若，，则
14. 已知函数，则（
）
A．的最大值为3B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减
15.
大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI
算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材
制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.
已知某数据库有视频a
个，图片b张（且）.
从中随机选出一个视频和一张图片，
记“
视频甲和图片乙入选”
为事件A
，“
视频甲入选”
为事件B
，“
图片乙入选”
为事件C
，则下列判断中正确的是（
）
A．B．
C．D．
16. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点
，则下列说法正确的是（
）
A．
B．存在
C．不存在以为直径且经过焦点的圆
D．当的面积为时，直线的倾斜角为或
17. 已知
为锐角，，则__________.四、填空题
五、解答题
六、解答题
七、解答题18. 已知单位向量与的夹角为
，且，向量与的夹角为，则=______.
19. 已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则________.
20.
若二项式展开式中的常数项为60，则正实数的值为__________
；该展开式中的奇数项的系数之和为__________
．
21. 已知平面向量，，设，，，则与的夹角为______，当时，
___________
22. 设，.
（1）求的展开式中系数最大的项；
（2）时，化简；
（3）求证：.
23.
（1）求曲线和曲线围成图形的面积；
（2
）化简求值：．
24. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，
，且.
(1)求多面体的体积；
(2)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.
25.
如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC
，D
，E
，F
，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=
，AC==2．
（1
）求证：AC
⊥平面BEF
；
（2
）求二面角B−CD−C
1的余弦值；
（3
）证明：直线FG
与平面BCD
相交．
26.
如图，在四棱锥P-ABCD
中，四边形ABCD
是直角梯形，AB
⊥AD
，ABCD
，PC
⊥底面ABCD
，AB=2AD=2CD=4
，PC=2a
，E
是PB
的中
点.八、解答题
九、解答题(1)
求证：平面EAC
⊥平面PBC
；
(2)
当a=1
时，求直线PD
与AE
所成角的正弦值；
(3)
若二面角P-AC-E
的余弦值为，求直线PA
与平面EAC
所成角的正弦值.
27. 某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若
这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概
率分别为
，
，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
28.
在我国抗疫期间，为了保证高中数学的正常进行，通过“
钉钉､腾讯会议”
等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀
的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利用“VB”
等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节
来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为
，
，，只有当每个环节制作都合格才为一次成功制作，该视频视为合格作品.
(1)
求小明同学进行3
次制作，恰有一次合格作品的概率；
(2)
若小明同学制作15次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；
(3)
随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某高校看中，聘其为单位制作教学软件，决定试用一段时间，每天制作小视频
（注：每天可提供素材制作个数至多40
个），其中前7天制作合格作品数与时间如下表：（第天用数字表示）时间1234567合格作品数3434768其中合格作品数与时间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程（精确到0.01
），并估算第15
天能制作多少个合格作品（四舍
五入取整）？
（参考答案，
，参考数据：）.
