二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.（2011•江苏徐州，5，2x的取值范围是（）a、x≥1b、x＞1c、x＜1d、x≤1考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．
解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选a．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．
3.（2011江苏镇江常州，5，2分）则x的取值范围（）
a．x≥2c．x＞2
b．x≤2d．x＜2
考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．
分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．解答：∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选a．点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
4.（2011四川凉山，5，4
分）已知y3，则2xy的值为（）a15b．15c
1515d．22
考点：二次根式有意义的条件．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
解得x＝
2x50
，
52x0
55
，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．22
故选a．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
5.（2011台湾，4，47527之值为何（）
a．5
b．333c．3
d．9
考点：同类二次根式；二次根式的加减法。
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．解
答：解：原式＝7－53＋3＝53．
故选a．
点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．6.（2011•柳州）若
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
a、x＞2
b、x＞3
c、x≥2
d、x＜2
考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据考查了二次根式
（a≥0）有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
解答：解：根据题意得，x﹣2≥0，∴x≥2．故选c．
点评：本题考查了二次根式
（a≥0）有意义的条件：a≥0．
7.（2011•广东汕头）使在实数范围内有意义的x的取值范围是x ≥2．
考点：二次根式有意义的条件。专题：探究型。
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵使
在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
8.（2011山东滨州，2，3
有意义,则x的取值范围为()
a.x≥
1
111b.x≤c.x d.x
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．9.（2011山东烟台，5，412a
，则（）
a．a＜
1111b.a≤c.a＞d.a≥2222
考点：二次根式的性质与化简
.
分析：由已知得2
a﹣1≤0，从而得出a的取值范围即可．
1
12a，∴2a﹣1≤0，解得a≤．故选b．
2点评：本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．10.5.已知y2xy的值为（）a15b．15c 1515d．22
考点：二次根式有意义的条件．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
2x50
52x0
55
解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．
22
故选a．
点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
11.（2011四川泸州，8，2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简a2+|a+b|的结果是（）a.-2a+bb.2a+bc.-bd.b 考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．
分析：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值．
解答：解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，∴a2+|a+b|=-a+a+b=b，
故选：d．
点评：此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴，根据数轴得出a，b的符号是解决问题的关键．
12.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（）
a、2+3=
b、a•a=a
2
3
c、（a）=a
336
d、27=－3
考点：二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，幂的乘方：
底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．解答：解：a、2和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；b、a•a=a=a，
故此选项正确；c、（a）=a
3
3
3×3
2
2+1
3
=a，故此选项错误；d、27=3，故此选项错误．故
9
选：b．
点评：此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．
13.（2011广州，9，3分）当实数x的取值使得x2有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（）
a.y≥-7
b.y≥9
c.y>9
d.y≤9
【考点】函数值；二次根式有意义的条件．【专题】计算题．
【分析】易得x的取值范围，代入所给函数可得y的取值范围．【解答】解：由题意得x-2≥0，解得x≥2，∴4x+1≥9，即y≥9．故选b．
【点评】考查函数值的取值的求法；根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．
14.（2010河南，3，3分）下列各式计算正确的是（）
1
a1
3
2 2
2
4
1
b
2
3
6
c．2a+4a=6ad．（a）=a
考点：二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂分析：根据各选项进行分析得出计算正确的答案，注意利用幂的乘方的运算以及二次根式的加减，负整数指数幂等知识分别判断即可．解答：解：a、（﹣1）﹣（1﹣1
）=1﹣2=﹣
1，故此选项错误；b2
2
2
2
2
3
6
法计算，故此选项错误；c、2a+4a=6a，故此选项错误；d、（a）=a，故此选项正确．故选d．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及幂的乘方的运算和负整数指数幂等知识，此题难度不大注意计算要认真，保证计算的正确性．
15.（2011湖北随州，3，3）要使式子
a 2
有意义，则a的取值范围为a≥－2且a≠0．a
考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故
答案为：a≥－2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．16.（2011梧州，14，3分）当a≥﹣2a+2在实数范围内一有意义．考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出关于a的不等式，然后解不等式即可．解答：解：根据题意，得a+2≥0，
解得，a≥﹣2；故答案是：≥﹣2．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于零．
17.（2011福建龙岩，12，3
有意义，则实数x的取值范围是．
考点：二次根式有意义的条件.
分析：根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答．
解答：解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案是x≥3．点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数
是非负数．18.（2011福建省三明市，11,4
2011=．考点：实数的运算；零指数幂。专题：计算题。
分析：根据二次根式的化简和零指数幂等知识点进行计算即可．解答：解：原式=2﹣1=1，
故答案为1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
20.（2011广东肇庆，11，3
考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的性质计算．解答：解：原式
点评：主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
21.（2010广东，7，4分）使x2在实数范围内有意义的x
的取值范围是___________．考点：二次根式有意义的条件分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵使x2在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．22.（2011广西百色，15，3分）化简4=____．考点：二次根式的性质与化简．分析：根据二次根式的性质解答．解答：解：4=22=2．
点评：主要考查了二次根式的化简．
注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．23.（2011广西崇左，3，2分）若二次根式x1有意义，则x的取值范围是．考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不
等式即可求出x的取值范围．
解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
x≥1．
故答案为x≥1．
点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．24.（2011•随州）要使式子
有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0．
考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥﹣2且a≠0．故答案为：a≥﹣2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题
▲.1.
（2000•江西）计算：
考点：二次根式的加减法。
分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
解答：解：原式
点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．2.（2011山东日照，15，4分）已知x，y x(y1)y=0，那么x
2011
﹣y
2011
=﹣2．
考点：非负数的性质：算术平方根；有理数的乘方。专题：计算题。
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代
x(y1)y=0x(1y) y=0，
∴x+1=0，y﹣1=0，解得x=﹣1，y=1，2011201120112011
∴x﹣y=（﹣1）﹣1，=﹣1﹣1，=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．1
3.（2011新疆建设兵团，9，5分）若二次根式3x－1有意义，则x的取值范围是x≥．
考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x﹣1≥0，1
解得：x≥．
3
1
故答案为：x≥．
3
点评：本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4.（2011新疆乌鲁木齐，11，4）若x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件。专题：存在型。
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵x1在实数范围内有意义，∴x－1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
5.（2011重庆綦江，12，4分）若2x1有意义，则x的取值范围是．考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。
分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解答：解：要是2x1有意义，则2x－1≥0，解得x≥
1．2
1．2
故答案为：x≥
点评：本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6.要使式子a+2a有意义，则a的取值范围为a≥-2且a≠0．
考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥-2且a≠0．故答案为：a≥-2且a≠0．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根
二次根式知识点及其应用 一.二次根式的概念： （1）形如 的式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 （2）二次根式有意义的条件: 二. 二次根式化简: 1.（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ③被开方数的每一个因数的指数都小于根指数 2. （2）用来判断一个二次根式是否是最简二次根式 记忆：最简二次根式简记： 最简根式三条件，号内不把字母含，幂指数根指数要互质，幂指数小于根指数。 （3）二次根式化简的一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数②把开方数分解成质因数或分解因式③把根号内能开尽的数移到根号外④化去根号内的分母，或者化去分母中的根号⑤约分 2.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3.分母有理化 （1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。 （2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。 分母有理化方法： 0()a ≥0
①分子与分母同乘以分母的有理化因式 例如： ②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式 例如： 4.把因式移到根号内、外的方法： （1）①当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；②当根号外数是一个正数时，把这个数平方后移到根号内。 如： （2）①当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；②当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。 三. 二次根式的性质： （1） 非负性 问：（2）与（3）的异同点？ 0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (00)0,0,) a b b a b a b == ≥>==≥≥≠ ,0,0) 0,0) x y x y ==>>==>>(0);(0) a a ><((0)a a = >= <
二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子 a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中 “”叫做二次根 号，二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4 、 反过来: 5 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.【05宜昌 】化简20的结果是 （ ）. A. 25 B.52 C. . D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）. A.-3 B.3 C.± 3 D.81 3.【05南通】已知2x <, ）. A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x -
A ．a 2＋a 3=a 5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则 化简后为（ ）. A. B. C. D. 7.【05绵阳】化简 时，甲的解法是：==，乙的解法是： ，以下判断正确的是（ ）. A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8 B. 2 C. ±2 D. ±2 10.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 11.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）. A.(-1)3和1 B.(-1)2和-1 C.|-1|和-1 和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、(2a 3)2＝4a 6 C 、(a －1)2＝a 2－1 D 、 4 ＝±2 13.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 15.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ． a a b ++b a b +=1 B ．1÷b a ×a b =1 C +1 D ． 2 1()a b +· 2 2a b a b --= 1a b + 二、填空题 1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ． 2.【05南京】 10 在两个连续整数a 和b 之间，a< 10 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 最简二次根式与同类二次根式的判别 最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下： 一、最简二次根式的判别方法 1．被开方数不能含有开得尽方的因数 例1:化简363 温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121. 解：原式 =31131131212=?=?. 2．被开方数不能含有小数或分数 例2:化简：(1).315)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.25 31007210072==(2) 原式 =.33433316316=??= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式 例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4 . 解：原式4xy = 判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式. 二、同类二次根式的判别方法 判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1）18，3 1； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同. 解：（1）2318=，31=33 1，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与3 1不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式. 例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？ 27 1,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式. 同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片! 最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【例11】在根式 ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 举一反三： 1、)b a (17,54,b 40,2 12,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 2、下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B C ． D 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) C.4 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6) xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 2、在二次根式：①12；② 32；③ 32；④27中，能与3合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：a =来确定，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a +与a ，， 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 二次根式 一考点、热点回顾 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方 的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 =·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题 例1下列各式(1) x 21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2) -(x (3) 1 21--x x 例3、 在根式1) 22 2 ;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、计算32)214 505 1183(÷ -+的值 例5、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） 二次根式知识点 知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。如√5 2可以写作√5。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。其中a≥0是√a 有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。要注意当 b是分数时不能写成带分数，例如8 3√2可写成8√2 3 ，但不能写成22 3 √2。 二、二次根式的性质： =｜a｜=a （a≥0）或 =｜a｜= - a（a＜0） ★(√a)2 （a≥0）与√a2的区别与联系： 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ ；（3）√x−3+√3+x （1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1 √1−x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。 二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念 根式、最简二次根式、同类二次根式的概念 点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.（2011•江苏徐州，5，2x的取值范围是（）a、x≥1b、x＞1c、x＜1d、x≤1考点：二次根式有意义的条件。专题：计算题。 分析：根据二次根式有意义的条件判断即可． 解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选a． 点评：本题考查了二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如 （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性． 3.（2011江苏镇江常州，5，2分）则x的取值范围（） a．x≥2c．x＞2 b．x≤2d．x＜2 考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题． 分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．解答：∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选a．点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数． 4.（2011四川凉山，5，4 分）已知y3，则2xy的值为（）a15b．15c 1515d．22 考点：二次根式有意义的条件． 分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值． 解得x＝ 2x50 ， 52x0 55 ，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．22 故选a． 点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般． 5.（2011台湾，4，47527之值为何（） a．5 b．333c．3 d．9 考点：同类二次根式；二次根式的加减法。 分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．解 二次根式的概念与性质 一、知识结构： 知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开 方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二 次根式，而，，5，都是最简二次根式。 （2） 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2， =3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式， 则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如 ，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算； （2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘 法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理 式就叫做二次根式的系数； （3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含 字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）象“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A 、 5 1 B 、5.0 C 、5 D 、50 考点：最简二次根式． 专题：计算题． 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个 检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解答：解：A 、 5 1 =55，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 B 、5.0= 2 2 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误 C 、 ，是最简二次根式；故此选项正确； D. 50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误 故选C ． 点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定 义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2.（2011?江苏徐州，5，2x 的取值范围是（） A、x≥1 B、x＞1 C、x＜1 D、x≤1 考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：根据二次根式有意义的条件判断即可． 解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选A． 点评：本题考查了二次根式有意义的条件： （1 （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3 3.（2011江苏镇江常州，5，2 则x的取值范围（） A．x≥2B．x≤2C．x＞2 D．x＜2 考点：二次根式有意义的条件． 专题：计算题． 分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x ﹣2≥0，解不等式求x 的取值范围． 解答： ∴x ﹣2≥0，解得x ≥2． 故选A ． 点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数． 4. （2011四川凉山，5，4分）已知3y =，则2xy 的 值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 考点：二次根式有意义的条件． 分析：首先根据分式有意义的条件求出x 的值，然后根据题干式子求出y 的值，最后求出2xy 的值． 解答：解：要使有意义，则? ? ?≥-≥-0250 52x x ， 解得x ＝2 5 ，故y ＝－3，∴2xy ＝－2×2 5 ×3＝－15． 故选A ． 点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x 和y 的值，本题难度一般． 5. （2011台湾，4，4分）计算2775147+-之值为何（ ） 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 ）表示非负数 代数式，）被开方数可以是数或，必须有含义叫被开方数，表示三个叫二次根号，32)1. a 例b a a b +=++-求032 二次根式中字母的取值范围，注意分母不等于0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； 理解：被开方数的因数是整数，被开方数的因数的指数为1. 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a （a ＞0） = =a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）； （a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 易错点 1.含字母的二次根式的化简2 )2(-x 2.被开方数所含字母或代数式小于0，容易被忽视。)0,02 2 <>y x y x （其中计算 3.字母的内外移符号易错。a a 1 - 字母移进根号内。 4.二次根式前面的系数是带分数要写成假分数。 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2)-(x 例3、 在根式1) ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 二次根式数学知识点(8篇) 二次根式数学知识点1 知识点一：二次根式的概念 形如a(a0)的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)， (x-1)(x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。 知识点三：二次根式a(a0)的非负性 a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。 注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式(a)的性质 (a)2=a(a0) 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2. 知识点五：二次根式的性质 a2=|a| 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 二次根式的知识点汇总 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． 2． 二次根式的性质 ①⎩⎨ ⎧≤-≥==) 0() 0(2a a a a a a ； ②)0()(2 ≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅= b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥= ⋅b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 二次根式的运算法则： ≥0) ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a =a ≥0,b>0） n ≥0) 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 数学二次根式知识点3篇 备考恰恰像马拉松赛跑一样，只有坚持到最后的人，才能称为胜利者，中考备考全面启动。为了帮助大家坚持学习，高效备考下面是小编给大家带来的数学二次根式知识点，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧! 备战中考：数学二次根式知识点 1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： (1)( )2= ( ≥0); (2) 5.二次根式的运算： (1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. = • (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1) ， 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1) ;(2) 例3、在根式1) ，最简二次根式是( ) A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4) 例4、已知： 例5、 (2009龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( ) A. a>b B. a2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( ) A. ; B. - ; C. - ; D. 例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式 例3、计算： 例4、先化简，再求值： ，其中a= ，b= . 例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值 (1)、根式变形法 当时，①如果，则;②如果，则。 例1、比较与的大小。 (2)、平方法 当时，①如果，则;②如果，则。 例2、比较与的大小。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。 (4)、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 (5)、倒数法 同类二次根式与最简二次根式 在学习二次根式的过程中，我们经常会遇到同类二次根式和最简二次根式这两个概念。它们在二次根式的化简和比较大小中起着重要的作用。下面我们就来详细了解一下同类二次根式和最简二次根式的概念以及它们的应用。 一、同类二次根式 同类二次根式是指具有相同根指数和相同根式的二次根式。通俗地说，就是两个或多个二次根式中的根指数相同，且根式也相同，那么它们就是同类二次根式。 如下面的例子所示： √5 和√20 就是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为5的二次根式； √7 和√15 也是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为7的二次根式。 在进行运算时，我们可以将同类二次根式进行合并。具体方法是将它们的根式相加或相减，而根指数保持不变。举个例子，对于√5 + √20，我们可以将它们合并为√(5+20)，即√25，最终结果为5√1。 二、最简二次根式 最简二次根式是指在同类二次根式中，系数为1且根式中的数不能 再进行开方的二次根式。也就是说，最简二次根式的系数是1，而且根式中的数是不可再开方的。 比如，√5 就是最简二次根式，因为根式中的数5是不可再开方的；而√20不是最简二次根式，因为根式中的数20可以进一步开方为2√5。 化简二次根式的一个重要原则就是将其化为最简二次根式。这样可以使得二次根式的表达更加简洁，并且便于进行比较和运算。 三、应用举例 在实际应用中，同类二次根式和最简二次根式经常用于比较大小和进行运算。下面举几个例子来说明其应用。 例1：比较大小 比较√5和√20的大小。 我们将它们化为最简二次根式。√5已经是最简二次根式，而√20可以进一步化简为2√5。 因此，√5 < 2√5。 例2：合并同类项 将4√3 - 2√3 + 3√3进行合并。 二次根式详解 【知识回顾】 1。二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3。同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2） = =a a2 5。二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．(2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商)仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0）；=（b≥0，a〉0)． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）； 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+315；（2）2 2)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1） 2） B ．3) 4） C ．1） 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 （ ) A. a>b B 。 a 〈b C 。 a≥b D. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1。 将根号外的a 移到根号内，得 （ ) A 。 ; B 。 －; C. －； D. 例2. 把(a －b)错误!化成最简二次根式 例3、计算： 例4、先化简，再求值: 页眉内容 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） 【知识回顾】 1.二次根式：式子a〔a≥0〕叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足如下条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，如此这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质： 〔1〕〔a〕2=a〔a≥0〕；〔2 〕 5.二次根式的运算： 〔1〕因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． 〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． 〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a≥0，b≥0〕=b≥0，a>0〕． 〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律与结合律，乘法对加法的分配律以与多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1如下各式1 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、求如下二次根式中字母的取值围 〔1〕 x x - - + 3 1 5 ；〔2〕 2 2) - (x 例3、在根式1) A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a〔a＞0〕 = =a a2 a -〔a＜0〕 0 〔a=0〕； 第4讲 最简二次根式与同类二次根式 【学习目标】 最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简． 【基础知识】 1、最简二次根式的概念： （1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、同类二次根式的概念： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【考点剖析】 考点一：最简二次根式的概念 例1．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）42a ； （2）324x ； （3）a b -； （4）22a b +． 【难度】★ 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是． 【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 所以（1）（3）（4）是最简二次根式． 【总结】本题考查了最简二次根式的概念． 例2．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （21 2 x - （3 1.5()a b +． 【难度】★ 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是． 【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 所以这三个二次根式均不是最简二次根式． 【总结】本题考查了最简二次根式的概念． 例3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）23(21)(1)a a a ++≥-； （2）22()()(0)x y x y x y --≥≥； （3）2961a a ++． 【难度】★ 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是． 【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 因为已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为2的因式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式． 【总结】本题考查了最简二次根式的概念． 例4．将下列二次根式化成最简二次根式： （1）12； （2）324(0)x y y >； （3）（0a <，0b <，0c <）． 【难度】★ 【答案】（1）23； （2）2xy x ； （3）233abc ac ． 【解析】（1）1223=； （2）3242x y xy x =； （3）32522733a b c abc ac =． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简． 例5．将下列二次根式化成最简二次根式： （12248xy y -0y <）； （222()()(0)a b a b a b -+≥≥； （3322(1)x x x x -+>． 【难度】★★ 【答案】（1）22y x --； （2）()a b a b +- （3）(1)x x - 【解析】（1222484(2)22xy y y x y x ----； （2222()()()()()a b a b a b a b a b a b -++-+- （33222(1)(1)x x x x x x x -+=--． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．初二第四讲 二次根式的定义及性质
2.2最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
最简二次根式和同类二次根式
二次根式的概念与性质
二次根式知识点
二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念
二次根式的讲解
中考数学真题解析8二次根式最简二次根式同类二次根式的概念(含答案)
二次根式
二次根式数学知识点(8篇)
沪教版八年级数学第十六章二次根式及经典习题与答案
数学二次根式知识点3篇
同类二次根式与最简二次根式
人教版初二二次根式知识点
二次根式的有关概念及性质
二次根式讲解大全
第4讲 最简二次根式与同类二次根式(教师版)
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