高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解
幂函数
考点一 幂函数的判断
【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数2
1y x
=，2
2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】因为2
2
1y x x -=
=，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；
01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个
点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B .
【举一反三 】
1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（ ）
A ．3
1
y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2
2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．3
y =
D ．3(2)y x -=-
【答案】A
【解析】幂函数是y x α
=，α∈R ，显然3
31y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2
2x y -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
3
y =，3
(2)y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ．
2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是 （ ） A ．22y x = B ．3y x x =+ C ．3x y =
D ．12
y x =
【答案】D
【解析】形如y x α
=的函数称为幂函数，据此只有1
2
y x =才符合幂函数的定义，故选择D.
考点二 幂函数的三要素
【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数()a
f x k x =⋅的图象
过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则k a +=______.
【答案】1.5
【解析】因为函数()a
f x k x =⋅是幂函数，所以1k =
，又因为幂函数的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以0.5
11222a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5
【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数45
y x =的定义域是_____，值域是_____；
（2）函数45
y x -=的定义域是____，值域是_____； （3）函数54
y x =的定义域是______，值域是_____； （4）函数5
4y x -=的定义域是_____，值域是______.
【答案】R [0,)+∞ {|0}x x ≠ (0,)+∞ [0,)+∞ [0,)+∞ (0,)+∞
(0,)+∞
【解析】（1）45
y x =的定义域是R ，值域是[0,)+∞； （2）4
5
45
1x
y x
-=
=的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞；
（3）54
y x =的定义域是[0,)+∞，值域是[0,)+∞；
（4）54
54
1x
y x
-
=
=的定义域是(0,)+∞，值域是(0,)+∞；
故答案为：R ；[0,)+∞；{|0}x x ≠；(0,)+∞；[0,)+∞；[0,)+∞；(0,)+∞；(0,)+∞．
【举一反三】
1（2020·上海高一开学考试）若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.
【答案】23
x
【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得
23
α=
， 所以该函数的解析式是2
3
y x =，故答案为：2
3x .
2．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数()y f x =的图象过点
(，则()16f =______．
【答案】4
【解析】由题意令()
a y
f x x ，由于图象过点2a =，12
a =
12
()y f x x ∴==12
(16)164f ∴==故答案为：4．
3．（2020·浙江高一课时练习）若点(2,4)P ，0(3,)Q y 均在幂函数()y f x =的图象上，则实数0y =_____．
【答案】9
【解析】设幂函数为()f x x α=，将()2,4P 代入得24,2αα==，所以()2
f x x =，
令3x =，求得2
039y ==.
4．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4
y x =；（2）1
4
y x =；（3）3
y x -=；（4）23
y x =.
【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞；（2）定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞；（3）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞；（4）定义域为R ，值域为[0,)+∞.
【解析】（1）函数的定义域为R ，值域为[0,)+∞.
（2）因为1
4
y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞.
（3）因为331
y x x
-==
，所以0x ≠，且0y ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.
（4）因为2
3y x ==R ，值域为[0,)+∞.
考点三 幂函数的性质
【例3】．（2020·福建南平.高一期末）已知幂函数()()
2
2322n
n
f x n n x
-=+-(n ∈Z )
在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ）
A ．3-
B ．1
C ．1-
D ．1和3-
【答案】B
【解析】因为函数是幂函数所以2221+-=n n 所以3n =-或1n =
当3n =-时()18
=f x x 在()0,∞+上是增函数，不合题意.
当1n =时()2
f x x -=在()0,∞+上是减函数，成立故选：B
【举一反三】
1．（2020·辽宁沈阳。高一期末）已知幂函数()()37
m f x x
m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得7
3
m <
，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =． 故选：C ． 2．（2019·陕西秦都.咸阳市实验中学高一月考）设21,2,,33α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭，则使函数y x α
=的定义域为R ，且为偶函数的所有α的值为（ ）
A ．1,3-
B ．1,2-
C ．1,3,2-
D ．22,3
【答案】D
【解析】函数1y x -=，定义域为{}|0x x ≠，且为奇函数，不符合题意. 函数2y
x ，定义域为R ，且为偶函数，符合题意.
函数2
3y x =，定义域为R ，且为偶函数，符合题意.
函数3y x =，定义域为R ，且为奇函数，不符合题意.故选：D
2．（2019·四川省仁寿县文宫中学高一期末）设11,0,,1,2,32n ⎧⎫
∈-⎨
⎬⎩⎭
，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】当1n =-时，1
()f x x
=
定义域为{}0x x ≠，不满足题意 当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意
当1
2
n =
时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意 当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意 当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意 当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意
所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2 故选：B
考点四 幂函数的图像
【例4-1】（2020·浙江杭州.高一期末）已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如
图所示．若112,2,,22n ⎧
⎫∈--⎨⎬⎩
⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）
A ．11
,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．11
2,,,222
--
D ．11,2,,222
--
【答案】C
【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象
由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：
11
2,,,222
-- 故选：C.
【例4-2】函数()1n f x x =+恒过一个定点，这个定点坐标是 ; 【答案】(1,2)
【解析】因为()n f x x =恒过(1,1)，故()1n f x x =+恒过(1,2)故答案为(1,2) 【举一反三】
1．（2020·上海青浦 高一期末）幂函数2y
x 的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】幂函数2y
x 在(0,)+∞是减函数，且为偶函数，故选:C.
2．（2019·湖北沙区.沙市中学高一期中）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A ．①1
3
y x =，②2
y x ，③12
y x =，④1y x -=
B ．①3y x =，②2y x ，③1
2y x =，④1y x -=
C ．①2y
x ，②3y x =，③1
2y x =，④1y x -=
D ．①13y x =，②1
2y x =，③2y x ，④1y x -=
【答案】B
【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C ，D
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故选：B ．
3．（2018·贵州高三学业考试）三个幂函数（1）1
y x -=，（2）1
2
y x =，（3）2
y x 都经过的点的坐标是（ ）
A ．()4,2
B ．()2,4
C ．()0,0
D ．()1,1
【答案】D
【解析】当1x =时，得到1
1y x -==，12
1y x ==，21y
x ，故都过点()1,1.故选：
D .
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解 幂函数 考点一 幂函数的判断 【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数2 1y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 2 1y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；
01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个 点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B . 【举一反三 】 1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1 y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 y = D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α =，α∈R ，显然3 31y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ， 3 y =，3 (2)y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是 （ ） A ．22y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．12 y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有1 2 y x =才符合幂函数的定义，故选择D.
考点二 幂函数的三要素 【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数()a f x k x =⋅的图象 过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k = ，又因为幂函数的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以0.5 11222a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数45 y x =的定义域是_____，值域是_____； （2）函数45 y x -=的定义域是____，值域是_____； （3）函数54 y x =的定义域是______，值域是_____； （4）函数5 4y x -=的定义域是_____，值域是______. 【答案】R [0,)+∞ {|0}x x ≠ (0,)+∞ [0,)+∞ [0,)+∞ (0,)+∞ (0,)+∞ 【解析】（1）45 y x =的定义域是R ，值域是[0,)+∞； （2）4 5 45 1x y x -= =的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞； （3）54 y x =的定义域是[0,)+∞，值域是[0,)+∞；
专题20 幂函数 题组1幂函数的概念 1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C. 2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（） A.0 B.1 C.2 D.0或1 【答案】B 【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<. 又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意； 当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意. 综上知，m＝1. 3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（） A. B.－1 C.2或－1 D.2 【答案】D 【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数， 所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0， 解得m＝2或－1，且m＞－1， 即m＝2. 故选D. 题组2求幂函数的解析式 4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）
A.f（x）＝3x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝x－2 D.f（x）＝（）x 【答案】B 【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，）， 所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3， 故选B. 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（） A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4）， ∴16α＝4，解得α＝， ∴f（x）＝， ∴f（）＝＝. 故选C. 题组3 幂函数的定义域和值域 6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（） A.（－∞，＋∞） B.（－∞，） C.[，＋∞） D.（，＋∞） 【答案】D 【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）. 7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝. 某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质： （1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}. 如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（） A.① B.② C.③ D.④
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题13 幂函数 题型一 幂函数的定义域和值域 1．函数()() 1 234 21x x y += -的定义域为__________． 【答案】[)2,1- 【解析】函数解析式为()() 12 34 21y x x = = -+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩ ，解得2 1x . 因此，函数()() 1 23 4 21x x y += -的定义域为[)2,1-. 故答案为：[)2,1-. 2．讨论函数23 y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数． 【解析】函数23y x == R =，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增. 3．已知幂函数()()21* m m f x x x N +=∈.
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过 点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析: （1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则： () f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增． （2）由题意可得：()1 2 2m m -+= 求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去）， 则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312 a ≤＜． 4．已知幂函数f (x )=(m -1)22 -42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k . （1）求实数m 的值； （2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）m =0；（2）[0，1]. 【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2. 当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.
专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝1 2 x y ＝x － 1 图象 性质 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R 上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 R R 值域 [4ac −b 24a ，+∞) (−∞，4ac −b 2 4a ]
单调性 在x ∈(−∞，− b 2a ]上单调递减；在x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递增 在x ∈(−∞，−b 2a ]上单调递增；在 x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b 2a 对称 【题型1 求幂函数的解析式】 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. (2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y ＝x α(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，8），则f （﹣2）的值为（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．4 D ．﹣4 【解题思路】设所求的幂函数为f （x ）＝x a ，由幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8），解得f （x ）＝x 3，由此能求出f （﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f （x ）＝x a ， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8）， ∴f （2）＝2a ＝8，解得a ＝3， ∴f （x ）＝x 3， ∴f （﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B ． 【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，则f （4）的值为（ ） A ．﹣2 B ．1 C ．2 D ．4 【解题思路】设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，代入点可求α的值，从而可求f （4）的值． 【解答过程】解：设幂函数的解析式为f （x ）＝ x α， 因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=1 2． 所以f （x ）=√x ，f （4）=√4=2． 故选：C ． 【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点(2，√2 2)，则f （16）＝（ ）
专题3.4 幂函数（真题测试） 一、单选题 1．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】 由0y =，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A. 2．（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2y x B ．1y x -= C ．2y x D ．1 3 y x = 【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2y x 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ． 3.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．()2f x x = D ．()f x D
【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，()2 f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍. 对于D ，()f x R 上的增函数，符合题意， 故选：D. 4．（2011·陕西·高考真题（文））函数 的图象是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案． 解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A ，D ； 由特殊点（8，2），（，），可排除C ． 故选B ．5．（2007·山东·高考真题（理））设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩ ⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所
高考数学专题练 二次函数与幂函数 训练目标 (1)二次函数的概念；(2)二次函数的性质；(3)幂函数的定义及简单应用. 解题策略 (1)二次函数解析式的三种形式要灵活运用；(2)结合二次函数的图象讨论性质；(3)二次函数的最值问题的关键是理清对称轴与区间的关系. 一、选择题 1．已知函数f (x )＝－x 2－x ＋2，则函数y ＝f (－x )的图象为( ) 2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭ ⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭ ⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 3．函数f (x )＝95241(1)m m m m x －－－－是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 4．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2) 5．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实数a ( ) A ．可以是R 中任何一个数 B ．有有限个 C ．有无穷多个，但不是R 中任何一个数都满足
D ．不存在 6．(教材改编)已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)<25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)>25 7．函数f (x )＝－x 2＋2mx (m >0)在x ∈[0,2]上的最大值为9，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．3或134 C ．3 D.134 8．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4 二、填空题 9．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭ ⎫9，13，则f (25)的值是________． 10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则f (1)的最小值为________． 11．若二次函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 12．已知函数f (x )＝1－ax －x 2，若∀x ∈[a ，a ＋1]，都有f (x )>0成立，则实数a 的取值范围是________． 答案精析 1．D [函数f (x )＝－x 2－x ＋2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，函数的图象开口向下，经过(－1,0)与(2,0)，符合题意的函数图象为D.] 2．D [当a ＝0时，函数为一次函数f (x )＝2x －3，为递增函数；当a >0时，二次函数开口向 上，先减后增，对称轴为直线x ＝－1a <0，函数在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；当a <0时，二次函数开口向下，先增后减，对称轴为直线x ＝－1a ≥4，解得a ≥－14 ，又a <0，故－14≤a <0.综上，－14 ≤a ≤0，故选D.] 3．A [函数f (x )＝95 241(1)m m m m x －－－－是幂函数，
知识点1 幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象： (2)幂函数的性质： 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 2 1 x y y ＝x － 1 教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.幂函数的概念 数学抽象 水平1 水平1 1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函 数。 2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。 3.通过作出一些简单幂 函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函 数的基本性质。 【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分 2.幂函数的图像与性质 直观想象 水平1 水平2 3.幂指数对图像的影响 数学运算 水平1 水平1 4.幂函数的凸凹性 数学运算 水平1 水平1 第十二讲 幂函数 知识通关
{y|y∈R，且y≠0} 奇 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减 题型一幂函数的概念 规律方法判断函数为幂函数的方法 例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2， y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数， 则m＝________. 解析： (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函 数，所以选B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1， 即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案(1)B (2)5或－1 【变式训练1】 （1）幂函数) (x f的图像过点)9 ,3(3，则 ) ( )8(= f A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 （2）设}1 , 2 1 ,3,2,1{- ∈ α，则使函数αx y=的 定义域为R且函数αx y=为奇函数的所有α的值 为（） A .3,1 - B. 1,1 - C. 1,3 D. 3,1,1 -
专题27：幂函数、指数函数、对数函数综合提升检测题（解 析版） 一、单选题 1．下列计算正确的是（ ） A ．6 3 2 b b b += B ．339 b b b ⋅= C ．222 2a a a += D ．() 3 36a a = 【答案】C 【分析】 利用特殊值法可判断A 选项的正误，利用指数幂的运算法则可判断B 、D 选项的正误，利用多项式的运算法则可判断C 选项的正误. 【详解】 对于A 选项，取1b =，则6322b b b +=≠，A 选项错误； 对于B 选项，336b b b ⋅=，B 选项错误； 对于C 选项，2222a a a +=，C 选项正确； 对于D 选项，() 3 39a a =，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】 本题考查指数幂运算正误的判断，考查计算能力，属于基础题. 2．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,3)-∞ C ．[3,)+∞ D ．(3,)+∞ 【答案】D 【分析】 函数2()log (3)f x x =-的定义域满足30x ->，解出不等式，可得出答案. 【详解】 函数2()log (3)f x x =-的定义域满足30x ->,解得3x > 所以函数2()log (3)f x x =-的定义域为(3,)+∞ 故选：D 【点睛】 本题考查对数型函数的定义域问题，属于基础题.
3．下列各式中成立的是（ ） A ．7 1 77 n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ． C ()3 4x y =+D =【答案】D 【分析】 根据指数幂的运算计算出结果即可判断. 【详解】 对于A ，7 77n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故A 错误； 对于B ，==B 错误; 对于C 3341 ()x y +，故C 错误； 对于D 111 33 2(9)3====D 正确. 【点睛】 本题考查指数幂的运算，属于基础题. 4．已知函数221 log (1),0 ()2,0x x x f x x --<⎧=⎨⎩ ，则((3))((0))f f f f -+=（ ） A ．7 B ．73ln + C ．8 D ．9 【答案】D 【分析】 根据将3x =-和0x =分别代入分段函数对应的函数段在进行加法运算,由此求得结果. 【详解】 解:根据题意，函数221 log (1),0()2,0x x x f x x --<⎧=⎨⎩ ， 则2(3)log 42f -==，1 1(0)22 f -== ， 则((3))f f f -=（2）328==，0 1((0))()212 f f f ===， 故((3))((0))819f f f f -+=+=； 故选:D 【点睛】 本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查指数运算，属于基础题. 5．已知函数()(x x f x e e e -=-为自然数对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，
3.3 幂函数 新课标要求 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象 如图． 2．五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 1 2 y x = y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． 5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是 两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22 m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝32. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2. 其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .
3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图
考点呈现
考点一 幂函数及性质 【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2 23()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞） 上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数2 23()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∵2255130 m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数1m ∴=或6m =- 当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1故选：B 【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2 232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值 为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2 【答案】A 【解析】因为幂函数2 232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122 m -<<， 又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，2 2 1y x x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意； 当1m =时，3 31y x x -==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意， 舍去；综上，0m =.故选：A 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（ ） 例题剖析
高中数学幂函数知识点总结（一） 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
第4讲 幂函数与二次函数 配套课时作业 1．(2019·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．定义域内的减函数 D ．定义域内的增函数 答案 A 解析 ∵点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a ＝2，则2 b ＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1 ，∴函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A. 2．若不等式(a －2)x 2 ＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2) 答案 C 解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0， 解得－2 第五讲 幂函数与二次函数 A 组基础巩固 一、单选题 1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3， 3)，则f (x )是( D ) A ．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数 B ．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数 C ．奇函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数 D ．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数 [解析]设幂函数 f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝ 3，解得a ＝1 2 ， 则f (x )＝x 1 2＝ x ，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数． 2．(2020·某某鄂东南省级示X 高中教育改革联盟期中)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( D ) A ．－1 C ．－1或2 D ．1 2 [解析]由于函数f (x )是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或mm ＝2时，f (x )＝ x 2在(0，＋∞)上单调递增，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上单调递减．故选 A. 4．(2021·某某长庆中学月考)函数y ＝x 2－x ＋1，x ∈[－1,1]的最大值与最小值之和为( B ) C ．4 D ．5 [解析]函数 y ＝x 2－x ＋1 图象的对称轴为直线x ＝1 2，则y ＝x 2－x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单 调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴y max ＝(－1)2－(－1)＋1＝3，y min ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫122－12＋1＝3 4，∴y max ＋y min ＝3＋3 4 ＝3.75，故选B. 5．(2021·清华附中统练)函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围是( D ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤ －∞，13B ．(－∞，0] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 0，13 [解析]若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，符合题意，若a ≠0， 因为f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪ ⎧ a >0， a －1 2a ≤－1，解得0 专题3.4 幂函数 【知识清单】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 【考点分类剖析】 考点一：幂函数的概念 例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数. 【总结提升】 形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋ 1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）设α∈11,132⎧ ⎫-⎨⎬⎩⎭ ，， ，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 考点二 ：幂函数的图象 例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ） A ．1a b >> B ．1a b >> C ．0b c >> D ．0d c >> 例3.若幂函数1 ,m y x y x -==与n y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ） A. 101m n -<<<< B. 10n m -<<< C. 10m n -<<< D. 101n m -<<<< 例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数()f x x α =的图像过点，则α=________，(16)f =_________． 【总结提升】 1.函数y ＝x α 的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可． 课时过关检测(八) 幂函数与二次函数 A 级——基础达标 1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2 －2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( ) A ．是增函数 B ．不是单调函数 C ．是减函数 D ．不能确定 解析：A 因为函数f (x )＝(m －1)x 2 －2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即 m m －1 ＝0，解得m ＝0．所以f (x )＝－x 2 ＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A ． 2．(2022·济南质检)若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－1 3 解析：C 设f (x )＝x α ，则4α2α＝2α ＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13 ． 3．(2022·浙江模拟)已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，则( ) A ．b ab C ．b >a ＋c ，c 2 函数的基本性质 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2．幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数1(1,2,3,1,)2 y x α α==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2 y ax bx c =++（0≠a ）， 顶点式：2 ()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02 =++c bx ax 的根 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数 2. 二次函数2 y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值： 二次函数2 y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令 1 ()2 x p q =+. （1） （2） （3） （4） （1）若2b p a - <，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==； （3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==； （4）若2b q a ≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1)m n m n a a = ，1 n n a a -=，m n m n m n a a a -1==(,1)m n N n +∈>、 ； (2) () (,1)n n a a n N n =∈> ， (1,n n a a n n =>为奇数） ， (0)((0)n n a a a a n a a ≥⎧=⎨-<⎩ ＝是正偶数） 。 考点三、幂函数的图象与性质 1.幂函数()y x x R α =∈在第一象限的图象特征 2.幂函数()y x x R α =∈性质： （1）1α>，图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如2 y x =； 高考数学一轮复习学案： 第4讲 二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)定义：形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x 1 2，y ＝x －1 . (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2 ＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫4ac －b 2 4a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－∞，4ac －b 2 4a 单调性 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡ ⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡ ⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－b 2a ，4ac －b 2 4a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 常用结论 1．巧识幂函数的图象和性质 2．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩ ⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4a c <0. (2)ax 2 ＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩ ⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4a c <0. [思考辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 1 3是幂函数．( ) (2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 2 4a .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [诊断自测] 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4 C ． 22 D ． 2 解析：选C ．设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α ＝12，解得α＝－12， 所以f (2)＝2－ 1 2＝22 . 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3]2022版高考数学一轮复习练案8第二章函数导数及其应用第五讲幂函数与二次函数含解析新人教版20210
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