河南省安阳一中2014届高三上学期第一次模拟数学试题 文 新人教A版

一、单选题1. 已知函数，下列命题正确的是（ ）①是奇函数；②方程有且仅有1个实数根；③在上是增函数；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④2. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A．B．C．D．3. 函数的定义域为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，，则函数的图象的对称轴方程为（ ）.A ．，B ．，C ．，D ．，5. 围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有个交叉点，从上往下、从左往右数，第m 行第n 列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．206.设，则的大小关系是A．B．C．D．7.如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（）A．B．C．D ．18. 给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（ ）河南省安阳市2024届高三第一次模拟考试数学试卷河南省安阳市2024届高三第一次模拟考试数学试卷二、多选题三、填空题四、解答题A ．0B ．1C ．2D ．39. 若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（）A ．在上的投影向量为B ．在上的投影向量为C ．在上的投影向量为D ．在上的投影向量为10. 已知平面向量.下列命题中的真命题有（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若且与的夹角为，则11.已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，，则D ．若，，，，则直线12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）A．B．C ．2D．13. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.14. 已知函数，则___________．15. 如图，四棱锥P －ABCD 中，平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝3，AD ＝PA ＝4，E 是棱BC 上一点，则当截面PDE 的周长最短时，PE 与AB 所成角的余弦值等于______．16. 已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求使成立的实数x的取值集合.17. 随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818. 如图，中，．（1）若，求；（2）若，求的值．19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角的对边分别是，且满足_______ ，．(1)若，求的面积;(2)求周长的取值范围．20. 已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，___________，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）21.如图，在四棱锥中，底面，，，，，.(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的余弦值.。

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<，且A B R =，那么m 的值可以是A ．0B ．1C ．2D ．3 复平面2．复数1iz i（i 是虚数单位）在内对应的点在A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2。

5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方2014年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷米）列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为 A ．B ．C ．D ． 5．已知曲线23ln 4x y x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为A 。

3B 。

2C ．1D ．126．已知各项不为0的等差数列na 满足2478230aa a ,数列nb 是等比数列，且77ba ，则212b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+A.78- B ．14- C ．14D ．788．已知抛物线22(0)y px p ，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2xC ．1xD ．2x9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x 对称，则A ．()y f x 的最小正周期为π,且在(0,)2π上为增函数 B ．()yf x 的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数C．()y f x的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D．()y f x的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．双曲线22221(0,0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别是1F、2F，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF⊥x轴，则双曲线的离心率为A。

2024届高三年级第一次模拟考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=∈≤N ，{}3B x xx =-=，则（）A.ABB.ABC.A B= D.A B ⋂=∅2.已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（）A.5B.5- C.5iD.5i-3.若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切，则=a （）A.1B.C.2D.44.“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=，则ABC 的面积是ABD△的面积的（）A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48B.32C.24D.167.已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（）A.ln 212-B.21ln 2-C.1ln 2-D.11ln 2-8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于,BD 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（）A.2y x=± B.y = C.y x=± D.y =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 36x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.12π-为()f x 的一个周期B.()f x 的图象关于直线2πx =对称C.(π)f x +为偶函数D.()f x 在[]2,3ππ上单调递增10.已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为，ABC 的面积为，12AA =，棱11B C 的中点为M ，则（）A.该三棱台的侧面积为30B.该三棱台的高为3C.AM ⊥平面11BCC B D.二面角1A AB C --的余弦值为1311.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由,,A B C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序,,A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序,,A B C 时，该项目达标的概率分别为0.60.80.7,,,则下列结论正确的是（）A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C ，则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为1534D.若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5812.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-，直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C交于,M N 两点，P 为线段MN 的中点，则下列结论正确的是（）A.若2km =-，则以MN 为直径的圆与l 相交B.若2m k =-，则(OM ON O ⊥为坐标原点)C.过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于点A ，则AP l ⊥D.若||1MN =，则点P 到直线l 的距离大于等于58三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆锥的底面半径为1，体积为22π3，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．14.已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为_________．15.已知正实数m ，n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-，则m n +的最大值为_________．16.若函数()()1e2e x f x x x xλ-=+-在()0,∞+上没有零点，则实数λ的取值范围为_________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．18.如图所示，在三棱锥S ABC -中，22ABSA SC ===，AC BC ==，SB =．（1）求证：平面SAC ⊥平面ABC ；（2）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验，假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<，且每次试验相互独立．（1）若小王某天进行了4次试验，且13p =，求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止试验，12p =，以Y 表示停止试验时试验的总次数，求2()ni P Y i ==∑．（结果用含有n 的式子表示）21.（1）求函数1()e x f x x -=-的极值；（2）若(0,1]a ∈，证明：当0x >时，(1)e 1ln x a x x a --+≥+．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆224:5O x y +=相切．（1）求C 的方程．（2）过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：①直线AM ，AN 的斜率之积为定值；②120x x +=．2024届高三年级第一次模拟考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=∈≤N ，{}3B x xx =-=，则（）A.ABB.ABC.A B= D.A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】解出集合,A B ，再判断包含关系.【详解】依题意，{}{}010,1A x x =∈≤≤=N ，{}{}301,0,1B x x x =-==-，所以A B ，A B A = .故选：A2.已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（）A.5B.5- C.5iD.5i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得结果.【详解】由题意可得：56i65i iz +==-，所以z 的虚部为5-．故选：B.3.若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切，则=a （）A.1B.C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】求出圆心和半径，数形结合得到24a a =且0a >，得到答案.【详解】22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的圆心为2,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为0)a >，因为圆C 与x 轴相切，所以24aa =且0a >，解得4a =故选：D4.“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到1tan 2α=-或tan 3α=，从而得到答案.【详解】()22225cos 25sin 2105cos sin 10sin cos cos sin 0αααααααα++=⇔-+++=223cos 2sin 5sin cos 0αααα⇔-+=，显然cos 0α≠，则22tan 5tan 30αα--=，解得1tan 2α=-或tan 3α=．所以“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的必要不充分条件.故选：B5.已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=，则ABC 的面积是ABD△的面积的（）A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M ，因为102DA DB DC ++=，所以2()CD DA DB =+ ，所以4CD DM = ，所以点D 是线段CM 的五等分点，所以5ABC ABD CM S S DM== ,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍．故选：A.6.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48B.32C.24D.16【答案】C 【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻，共有22A 2=种排法，两个2之间插入1个数，共有122A =种排法，再把组合好的数全排列，共有33A 6=种排法，则总共有22624⨯⨯=种密码．故选：C7.已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（）A.ln 212-B.21ln 2-C.1ln 2-D.11ln 2-【答案】D 【解析】【分析】求导，得到方程组，求出ln 2p =，进而得到1ln 2λ=，得到答案.【详解】依题意，()e 2xf x x λ'=-，则e 20e 20p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩，因为2q p =，所以2e 2e 4p p pp λλ⎧=⎨=⎩，显然λ，0p ≠，两式相除得e 2p =，则ln 2p =，代入e 2p p λ=中，解得1ln 2λ=，则1(0)1ln 2f =-．故选：D8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于,BD 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（）A.2y x=±B.y =C.y x=±D.y =【答案】C 【解析】【分析】设直线:()b BD y x c a =-，()()1122,,,B x y D x y ，由()b y x c ab y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据条件得出3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b-=，即可求出结果.【详解】易知C 的渐近线方程为by x a =±，不妨设直线:()b BD y x c a=-，()()1122,,,B x y D x y ，联立方程得()b y x c ab y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22x c =，22bc y a =-，所以,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又FB BD = ，而11(,)FB x c y =- ，11(,)22c bc BD x y a =--- ，得到111122c x c x bc y y a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得113,44bc x c y a ==-，故3,44c bc B a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=中，得2222911616c c a a -=，得到222c a=，又222c a b =+，得到2221b a =+，解得1b a =，故所求C 的渐近线方程为y x =±，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 36x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.12π-为()f x 的一个周期B.()f x 的图象关于直线2πx =对称C.(π)f x +为偶函数D.()f x 在[]2,3ππ上单调递增【答案】AB 【解析】【分析】根据题意结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】因为()f x 的最小正周期2π6π13T ==，所以12π-为()f x 的一个周期，故A 正确；因为2πππ(2π)2sin 2sin 2362f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故B 正确；因为()()1πππ2sin π2sin 3636x f x x ⎡⎤⎛⎫+=+-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，不具有奇偶性，故C 错误；因为[]2π,3πx ∈，则ππ5π,3626x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，所以()f x 在[]2,3ππ上单调递减，故D 错误．故选：AB.10.已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为，ABC的面积为，12AA =，棱11B C 的中点为M ，则（）A.该三棱台的侧面积为30B.该三棱台的高为263C.AM ⊥平面11BCC BD.二面角1A AB C --的余弦值为13【答案】BCD 【解析】【分析】计算出正三棱台侧面上的高，结合梯形的面积公式可判断A 选项；利用梯形的几何性质求出该三棱台的高，可判断B 选项；分别延长棱1AA 、1BB 、1CC 交于点P ，推导出三棱锥-P ABC 为正四面体，且M 为等边PBC 的中心，结合正四面体的几何性质可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A ，根据条件可得114A B =，6AB =，分别过点1A 、1B 在平面11ABB A 内作1AT AB ⊥，1B N AB ⊥，垂足分别为点T 、N ，因为11AA BB =，11A AT B BN ∠=∠，1190ATA BNB ∠=∠=，所以，11AAT BB N △≌△，则AT BN =，因为11//AB A B ，1AT AB ⊥，1B N AB ⊥，则四边形11A B NT 为矩形，所以，114TN A B ==，所以，64122AB TN AT BN --====，则2211413AT AA AT =-=-，即等腰梯形11ABB A 3其面积为()()1114635322A B AB AT +⋅+==，所以该三棱台的侧面积为533153=A 错误；对于B ，设ABC 的中心为O ，111A B C △的中心为1O ，可知11OAAO 是直角梯形，过点1A 在平面11OAAO 内作1A E AO ⊥，垂足为点E ，因为11//A O AO ，1A E AO ⊥，1OO AO ⊥，则四边形11OEA O 为矩形，因为23934ABC S AB == ，解得6AB =，同理可得114A B =，所以，632sin 603AB OA == ，11114432sin 6033A B O A ===，所以，11433OE A O ==，则332333AE AO OE =-==，所以，22111426433OO A E AA AE ==--，故B 正确；对于C ，分别延长棱1AA 、1BB 、1CC 交于点P ，因为1123B C BC =，11//BC B C ，则11111223PB PB B C PB PB BC ===+，可得14PB =，则11426PB PB BB =+=+=，同理可得6PA PC BC ===，所以，四面体PABC 为正四面体，延长PM 交BC 于点F ，则11123C M B C PM PF CF BC ===，所以，23PM PF =，且123C M CF =，即11133131212222232CF C M B C BC BC ==⨯=⨯=，则F 为BC 的中点，又因为23PM PF =，则M 为正PBC 的中心，故AM ⊥平面11BCC B ，故C 正确；对于D ，二面角1A AB C --即正四面体相邻侧面的夹角，因为F 为BC 的中点，ABC 为等边三角形，则AF BC ⊥，且113363326OF AF AB ==⨯==，因为PBC 是边长为6的等边三角形，则PF BC ⊥，且sin 6062PF PB ==⨯= ，故二面角1B BC A --的平面角为PFA ∠，因为PO ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，则PO AF ⊥，则1cos 3OF PFA PF ∠===，故二面角1A AB C --的余弦值为13，故D 正确．故选：BCD.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.11.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由,,A B C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序,,A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序,,A B C 时，该项目达标的概率分别为0.60.80.7,,,则下列结论正确的是（）A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C ，则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为1534D.若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为58【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】记甲负责工序A 为事件1M ，甲负责工序B 为事件2M ，甲负责工序C 为事件3M ，该项目达标为事件N ．对于选项A ，该项目达标的概率为()()()()()()112233()P N P M P N M P M P N M P M P N M =++0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=，故选项A 正确；对于选项B ，()()()()()()()()112212120.50.60.30.8270.50.340P M P N M P M P N M P N M M P M P M +⨯+⨯+===++，故选项B 错误；对于选项C ，()()()1110.50.615()0.6834P M P N M P M N P N ⨯===，所选项C 正确；对于选项D ，()()()1110.5(10.6)5()10.688P M P N M P M N P N ⨯-===-，所以选项D 正确，故选：ACD.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-，直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C交于,M N 两点，P 为线段MN 的中点，则下列结论正确的是（）A.若2km =-，则以MN 为直径的圆与l 相交B.若2m k =-，则(OM ON O ⊥为坐标原点)C.过点,M N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于点A ，则AP l ⊥D.若||1MN =，则点P 到直线l 的距离大于等于58【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件得到2:2C y x =，再结合各个选项的条件，逐一分析判断即可得出结果.【详解】由题可得抛物线2:2C y x =，设()11,M x y ，()22,N x y ，对于选项A ，当2km =-时，直线1:2l y k x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭过C 的焦点1(,0)2F ，此时12121MN x x p x x =++=++，又MN 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭到准线1:2l x =-的距离为12122MNx x ++=，则以MN 为直径的圆与l 相切，故选项A 错误；对于选项B ，当2m k =-时，直线:2l y kx k '=-，将22y x =代入，得2240ky y k --=，则124y y =-，又易知1122(,),(,)OM x y ON x y ==，所以221212124y y OM ON x x y y ⋅=+=+ 120y y =，故选项B 正确；对于选项C ，由题可设抛物线C 在点M 处的切线方程为11()(0)y y k x x k -=-≠，由112()2y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消x 得到2112220y y y x k k -+-=，由1128480y x k k ∆=-+=，得到1122120y x k k∆=-+=，又2112y x =，所以2112210y y k k-+=，得到11k y =，所以C 在点M 处的切线方程为21111(2y y y x y -=-，整理得到11y y x x =+，同理可得抛物线C 在点N 处的切线方程为22y y x x =+，联立1122y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，解得122A P y y y y +==，故AP l ⊥，故选项C 正确；对于选项D ，由抛物线的对称性，可知当MN x ⊥轴时，点P 到直线l 的距离最小，由||1MN =，不妨取112y =，代入22y x =，得到118x =，所以18M N x x ==，点P 到直线l 的距离为58，故选项D正确．故选：BCD.【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆锥的底面半径为1，体积为22π3，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．【答案】2π3##2π3【解析】【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角.【详解】设圆锥（如图所示）的高为h ．因为2122π133h ⋅⋅⋅=，所以h =3SA ==．将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为底面周长2π，根据弧长公式2πSA α⋅=，所以圆心角2π3α=.故答案为：2π3.14.已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为_________．【答案】6-【解析】【分析】由已知可得111n n a a +=-+，借助数列的周期性、分组求和即可得出结果.【详解】依题意1n a ≠-，故111n n a a +=-+，11a =,所以212a =-，32a =-，41a =，…，故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭．故答案为：6-15.已知正实数m ，n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-，则m n +的最大值为_________．【答案】2【解析】【分析】依题意得22()1m n m n mn +-++=，再利用基本不等式求解.【详解】依题意得22()1m n m n mn +-++=，则21()()m n m n mn =+-+-≥221()()()4m n m n m n +-+-+，即231()()4m n m n ≥+-+，则23()4()40m n m n +-+-≤，解得02m n <+≤，则m n +的最大值为2．当且仅当1m n ==时取得最大值.故答案为：2.16.若函数()()1e2e x f x x x xλ-=+-在()0,∞+上没有零点，则实数λ的取值范围为_________．【答案】4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由()0f x =可得出()2e 2x x x λ=-，令()()2e 2xg x x x =-，()()0,22,x ∞∈⋃+，分析可知，直线y λ=与曲线()y g x =没有交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.【详解】因为()()1e 2e x f x x x x λ-=+-，则()e202f =≠，令()0f x =，显然2x ≠，则()2e 2xx x λ=-，令()()2e 2xg x x x =-，()()0,22,x ∞∈⋃+，则()()()()()()()3222243e 2e 3414e22x x xx x x xx x g x xx x x ----'-==--，令()0g x '=，得14x =，21x =，列表如下：x()0,11()1,2()2,44()4,∞+()g x '+--+()g x 增极大值减减极小值增所以，函数()g x 的增区间为()0,1、()4,∞+，减区间为()1,2、()2,4，且极大值()1e g =-为，极小值为()4e 432g =．当0x →时，()g x ∞→-，当2x →时（从左边趋于），()g x ∞→-；当2x →时（从右边趋于），()g x ∞→+，当x →+∞时（从右边趋于），()g x ∞→+.由图象可知，当4e e 32λ-<<时，直线y λ=与曲线()y g x =没有交点，即()f x 在()0,∞+上没有零点．因此，实数λ的取值范围是4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【小问1详解】证明：由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=，由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab++--⋅=，化简得2222a b c +=．【小问2详解】由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故32b c =，所以2a c =，故2223cos 26b c a A bc +-==．18.如图所示，在三棱锥S ABC -中，22ABSA SC ===，AC BC ==，SB =．（1）求证：平面SAC ⊥平面ABC ；（2）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）539【解析】【分析】(1)要证明面面垂直，只需证明BC ⊥平面SAC ，即只需证明BC AC ⊥，BC SC ⊥.(2)建立空间直角坐标系，求出平面SAB 的法向量，然后再求线面角.【小问1详解】证明：因为22216AC BC AB +==，所以BC AC ⊥，同理可得222BC SC SB +=，故BC SC ⊥，因为SC AC C = ，,AC SC ⊂平面SAC ，所以BC ⊥平面SAC 因为BC ⊂平面ABC ，故平面SAC ⊥平面ABC ．【小问2详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为15DS BS=则(0,0,0)C ，(22,0,0)A ，2,0)B ，2,0,2)S ，422242,,555D ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以2,0,2)SA = ，2,2,2)BS =-，42242,,555CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设(,,)n x y z =为平面SAB 的法向量，则0,0,SA n BS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,2220,z z ⎧=⎪-+=令1x =，得(1,1,1)n = ．设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ，则||2253sin |cos ,|9||||6235CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯，所以直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值为539．19.已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1(31)2n n a n -=-⋅（2）1221n n n T +-=+【解析】【分析】（1）根据条件可得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列，即可求出结果；（2）由（1）可得1221n n n b n n +=-+，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1详解】由1232nn n a a +=+⋅，可得113222n n n na a ++-=，又112a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列，所以3311(1)222n n a n n -=+-⋅=，得到1(31)2n n a n -=-⋅．【小问2详解】由（1）可知()12(31)2(1)(1)222(1)1(31)n n n n n n n n b n n n n n n n+-⋅⋅--⋅===-++-+，故12231122222222122311n n n n T n n n ++=-+-++-=-++ ．20.为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验，假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<，且每次试验相互独立．（1）若小王某天进行了4次试验，且13p =，求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止试验，12p =，以Y 表示停止试验时试验的总次数，求2()ni P Y i ==∑．（结果用含有n 的式子表示）【答案】（1）分布列见解析；期望为43（2）212n nn --【解析】【分析】（1）利用二项分布求解；（2）法一：先求n 次试验中，成功了0次或1次的概率，再利用对立事件求解；法二：先求1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=，再利用错位相减求和.【小问1详解】依题意，1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4216(0)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3142132(1)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224218(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334218(3)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭411(4)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为：X1234P16813281827881181故14()433E X =⨯=．【小问2详解】方法一：设A =“停止试验时试验总次数不大于n ”，则2()(2)(3)(4)()()ni P Y i P Y P Y P Y P Y n P A ====+=+=++==∑ ，A =“n 次试验中，成功了0次或1次”，“n 次试验中，成功了0次”的概率111122nn P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；“n 次试验中，成功了1次”的概率11211C 1222n n nn P -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭．所以12221()12n nni n P Y i P P =--==--=∑．方法二：事件“Y n =”表示前n 1-次试验只成功了1次，且第n 次试验成功，故1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=，所以23421231()2222nni n P Y i =-==++++∑ ，令23412312222n nn S -=++++ ，则1345112321222222n n n n n S +--=+++++ ，两式相减得：1234511111122212222n n n n S +-=+++++- ，11111142112111222n n n n n -++⎛⎫- ⎪⎝--+=⎭=--则212n n nn S --=．即2342123121()22222n nn n i n n P Y i =---==++++=∑ 21.（1）求函数1()e x f x x -=-的极值；（2）若(0,1]a ∈，证明：当0x >时，(1)e 1ln x a x x a --+≥+．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到单调性，从而得到极值情况；（2）在（1）基础上得到1ln x x -≥，构造函数()(1)e ln 1(0)x a h x x x a x -=--+->，求导得到其单调性，结合隐零点得到函数的最小值()00h x ≥，证明出结论.【详解】（1）依题意，1()e 1x f x -'=-，令()0f x '=，解得1x =，所以当(,1)x ∞∈-时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而(1)0f =，故()f x 的极小值为0，无极大值．（2）由（1）可知，当0x >时，1e x x -≥，则1ln x x -≥．令()(1)e ln 1(0)x a h x x x a x -=--+->，则1()ex ah x x x-'=-，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增．因为(0,1]a ∈，所以1211e 2022ah -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1(1)e 10a h -'=-≥，故01,12x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦，使得()00h x '=，即0001e x a x x -=①．当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在()00,x x ∈上单调递减，在()0,x x ∈+∞上单调递增，故[]()()0000min ()1e ln 1x a h x h x x x a -==--+-②．由①可得000201e,2ln x ax a x x -=-=-，代入②，得()()()()()000000000022200012121113ln 1311x x x x x h x x x x x x x x --+--=--+≥---+=，而01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故()00h x ≥，故()0h x ≥，即原命题得证．【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆224:5O x y +=相切．（1）求C 的方程．（2）过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：①直线AM ，AN 的斜率之积为定值；②120x x +=．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用已知求参数，得到椭圆方程即可.（2）①利用点到直线的距离得到斜率满足的方程，结合韦达定理得到斜率的乘积，简单转化得到定值即可.②联立方程，结合韦达定理用斜率表示所求式，化简得到定值即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为(0)c c >．依题意，离心率32c e a ===，则2a b =，=c ①．直线:1x yla b +=，即0bx ay ab +-==联立①②，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】（i ）设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠，=，整理得()22200005410540x k x y k y --+-=，记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，为定值．（ii ）由（i ）的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-，联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440kxk y k x x y k x ++-+--=，故()11001021814k k x y x x k -+=+．直线()020:AN y y k x x -=-，同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+．故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+，则120x x +=．。

河南省淇县高级中学2014届高三数学上学期第一次模拟考试试题文 新人教A 版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|-3<X<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N= （ ）A ．{-2,-1, 0,1}B ．{-3,-2,-1,0}C ．{-2,-1,0}D ．{-3,-2,-1 } 2. 已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则 （ ） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1.3. 命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为 （ ） A. 2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>RC.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R 错误！未指定书签。

4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|3|a b +等于 （ ）D. 45. 设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若AB =R ,则a 的取值范围为 （ ）A. (),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 6. 函数()xx x f 2log 12-=的定义域为 （ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,07. 已知命题p :函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是 （ ） A.q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨8．函数()()221x a x af x x+--=是奇函数,且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ ）A.0B.-1C.1D.1±9. 设a ，b ，c 均为正数，且2a＝a 21log ，b ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b 21log ，c⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝c 2log ，则( )． A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c10.函数()s i n()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 11．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围 是A ．t ≤0B ．t ≥0C ．t ≤－3D ．t ≥－312.已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5l o g 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________. 14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．15.设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则 f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝_______.16.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题， 则实数a 的取值范围为______．.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．共70分17.(10分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是否存在实数m ， 使x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，若存在，求出m 的范围．18.(12分）已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 19．（12分）已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．20. （12分）已知函数f (x )＝34231--⎪⎭⎫⎝⎛x ax(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值21.（12分）已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1， n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．.22.（12分）已知函数f (x )＝ax 2＋1 (a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的 值 （2）当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．鹤壁市淇县一中2014届第一次模拟考试文科数学答案卷三、解答题：17、。