习题
62
1求图621 中各画斜线部分的面积(1)
解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1]
所求的面积为
6
1]213
2[)(1022
3
10
x x
dx x x
A
. (2)
解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1]所求的面积为
1|)()(1
01
0x x e ex dx e e A
解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1e]
所求的面积为
1
)1(|
ln ln 1
1
1
e e dy y y ydy A
e e
e (3)
解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1]所求的面积为
3
32
]2)3[(1
3
2dx x x A
(4)
解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3]所求的面积为
3
32
|)313()32(3132
3
1
2x x x dx x x A
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)2
2
1x y 与x 2y 2
8(两部分都要计算)
解
3
4238
c o s 1640
2tdt 3
46
)22
(12
2S A (2)x
y 1与直线y x 及x 2
解
所求的面积为
21
2
ln 2
3)1(dx x x A
(3) y e x
y e x
与直线x 1
解
所求的面积为
1
021
)(e
e dx e e A
x x (4)y=ln x, y 轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解
所求的面积为
3
求抛物线y x 2
4x 3及其在点(03)和(30)处的切线所围成的图形的面积解
y 2 x 4
过点(0, 3)处的切线的斜率为4切线方程为y 4(x 3)过点(3, 0)处的切线的斜率为2切线方程为y 2x 6两切线的交点为
)3,2
3(所求的面积为
4
9
]34(62[)]
34(34[23
232
32
dx x x x x x
x A
4求抛物线y 2
=2px 及其在点
),2
(p p 处的法线所围成的图形的面积
解
2y y 2p 在点
),2
(p p
处1
),2
(p p y
p y
法线的斜率k 1
法线的方程为)2
(p x
p
y 即
y
p x
2
3求得法线与抛物线的两个交点为
),2(p p 和)3,2
9(p p 法线与抛物线所围成的图形的面积为
2
332323
16)612123()223(p y p y y p dy p y y p A
p p p
p
5求由下列各曲线
所围成的图形的面积
(1)2acos
解
所求的面积为
20
2
2
22
2
c o s 4)c o s 2(2
1d
a
d
a A
a
2
(2)x acos 3
t , y asin 3
t;
解
所求的面积为
2
20
620
428
3]s
i n s i n [
12a tdt tdt
a (3)=2a(2+cos )解
所求的面积为
2
20
22
20
218)cos cos
44(2)]cos 2(2[2
1
a d a
d a A
6求由摆线x a(t sin t)y a(1cos t)的一拱(0t 2)与横轴所围成的图形的面积
解
所求的面积为
2
20
2
3)2
c o s
1c o s
21(a dt t t a a 7求对数螺线ae ()及射线所围成的图形面积
解
所求的面积为
)
(4
2
1)(2
12
2
22
22
e
e a d
e a d
ae A
8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积(1)3cos 及1cos
解
曲线
3cos 与
1cos 交点的极坐标为
)3,23(A )3
,23(B 由对称性所求的面积为
4
5]
)c o s 3(2
1)c o s 1(2
1[
223
230
2d d A (2)sin
2及
2
cos 2
解
