2001年10月
水 利 学 报SH UI LI X UE BAO 第10期
收稿日期:2000208230
基金项目:国家自然科学基金及水利部联合资助重大项目(59890200).
作者简介:张修忠(1972-),男,山东临沂人,博士生.
文章编号:055929350(2001)1020082206河道及河口一维及二维嵌套泥沙数学模型
张修忠1,王光谦1
(11清华大学水沙科学教育部重点实验室,北京 100084)
摘要:建立了一种河道及河口一、二维嵌套的泥沙数学模型,对基本的控制方程、方程的离散和求解方法、嵌套连接条件以及非均匀沙的处理等问题进行了研究.以非恒定非均匀不平衡输沙理论作为本文建模的基础,为方便处理二维计算域的不规则边界,采用有限元数值离散格式.验证算例对河道做一维简化,对口外海域做二维处理,通过交界面的水位、流量和含沙量等的传递,在每一迭代步内进行耦合计算.数值模拟结果与实测资料吻合较好,且计算省时,表明本文建立的嵌套模型是一种解决某些实际工程问题的可靠的和高效的工具.关键词:河口;泥沙输运;嵌套连接;有限元离散
中图号:T V149 文献标识码:A
泥沙数学模型作为研究和解决河流、水库和近海等水域的水流运动和泥沙冲淤问题的有效工具,已得到了较为普遍的应用.一维模型计算省时,可快速方便地进行长河段、长时期的洪水和河床演变预报,但无法给出各物理量在平面范围的分布,因而在模拟河床细部变形、河口和港湾等水域的流动和冲淤问题时,显得无能为力.水深积分的二维模型克服了一维模型的缺陷,但因计算量剧增,模拟长河段、长系列、平面大范围的水流运动和河床演变问题时很不经济,即使是短时期问题也不易做到实时预报.因此,将一维和平面二维模型嵌套连接,发挥其各自的优势,对于解决许多生产问题是必要的和有意义的.文献[1]在这方面做了比较细致的研究工作,文献[2]应用一、二维嵌套技术成功的模拟了黄河口的演变.
1 水流泥沙数学模型及其求解方法
111 河道一维非恒定流水沙方程 河道水流运动的圣维南方程:
5A 5t +5Q 5x
=0(1)5Q 5t +55x (Q 2A )=-gA 5ζ5x -gA Q 2K 2(2)
悬移质不平衡输运方程及河床变形方程:
5(AS k )5t +5(QS k )5x
=-αωk B (S k -S 3k )(3)γ′5A sk 5t
=αωk B (S k -S 3k )(4)式中:A 、B 、Q 、
ζ分别为河道的过水面积、河宽、流量和水位;K 为流量模数,由谢才公式计算;S k 、S 3k 、
ωk 、A sk 分别为第k 粒径组泥沙的含沙量、挟沙力、沉速及冲淤面积;α为恢复饱和系数;
γ′为淤积物干容量;x 、t 为空间和时间变量.
112 口外平面二维水沙运动基本方程 对于平面大范围的自由表面流动,由于水深尺度一般远小于水面尺度,可以引入浅水假定以简化基本守恒方程.假定压力沿水深服从静压分布,对基本方程(N 2S 方程)沿水深积分,可得到如下守恒型的浅水方程:
55t (h )+55x j (q j
)=0(5)55t (q i )+55x j (u j q i )=f δij q j -gh 5ζ5x i -λq i +55x j (νt 5q i 5x j
)(6)悬移质不平衡输沙方程和海床变形方程:
55t (Ψ)+55x j (u j Ψ)=αωk s 3k -βΨ+55x j (εs 5Ψ5x j
)(7)γ′5Z b 5t =∑N s k =1
αωk (s k -s 3k )(8)式中:u j 、q j 为x j 方向的平均流速和单宽流量;f 为柯氏力系数;δ为系数矩阵,除δ12=1和δ21=-1外其余元素均为0;λ=g u j u j Π(C 2
h );C 为谢才阻力系数,可由曼宁公式计算;β=αωk Πh ;Ψ=hs k ;涡粘性系数νt 由νt =κu 3h Π6.计算,κ为卡门常数,u 3为摩阻流速;泥沙紊动扩散系数εs 假定与水流涡粘性系数相等;h 表示水深;水位函数ζ由水深和床底高程确定,即ζ(x j ,t )=h (x j ,t )+Z b (x j ,t );i ,j =1,2.
113 水流挟沙力 潮汐河口挟沙力可由下式表示
[3]:s 3=K V 2gh (9)
在风、浪和潮流联合作用下,流速应该是风、浪和潮的合成流速,即:
V =| V T + V b |+|V w |
(10)式中:V T 为潮流速度;V b 为风吹流的平均速度;V w 为波流的平均速度;V b =0102W ,W 为平均风
速;V w =012ch c Πh ,c 为波速;h c 为波高;K 为率定系数.
114 基本方程的有限元离散11411 河道单元的离散 河道单元的流动守恒方程和泥沙输运方程可写成如下统一形式的对流方程:5φ5t +5(U φ)5x
=F (11)式中:φ=[A ,Q ,AS k ]T ,F =[0,-gA (5ξ5x +Q 2K
2),-αωk B (S k -S 3k )]T ,U =Q ΠA .对流方程的有限元离散可写成:
M 5φi 5t =C ij φj +F i (12)
式中:M 表示集中质量矩阵,M =∫ΩN i N j d Ω;C ij 表示对流矩阵,C ij =-∫Ωw i
5UN j 5x
d Ω;F i 代表源项,F i =∫Ωw i F d Ω.11412 口外平面二维单元的离散 有限元在本质上属于非结构化网格离散方法,便于处理复杂边界问题.因此,本文对控制方程采用有限元法离散,方程(5)～(7)的弱解形式经分部积分后可得如下的空间半离散方程:
M 5h i 5t
=C ij h j (13)M 5
=C ij <=[q x ,q y ,hs ]T ,F 1=[F x ,F y ,F z ]T ,F 2=[-λ,-λ,-αωΠh ]T
