初中数学 浙教版八年级上册等边三角形专题培优(附答案)

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

浙教版八年级上册数学第1章三角形的初步知识含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB 于F，则下列结论中不正确的是（）A.∠ACD=∠BB.CH=CE=EFC.AC=AFD.CH=HD2、如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC ＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A. B. C. D.4、如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC=3，则PD的大小关系是（）A.PD≥3B.PD=3C.PD≤3D.不能确定5、将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角等于（）A.30°B.45°C.75°D.60°6、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A.5，6，11B.5，6，10C.3，4，8D.4a，4a，8a(a>0)7、在△ABC中，∠A=50°，∠B的角平分线和∠C外角平分线相交所成的锐角的度数是（）A.50°B.65°C.115°D.25°8、到三角形三边距离相等的点是（）A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.不能确定9、用尺规作一个角的角平分线的示意图如下，则说明∠AOE =∠BOE的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS10、如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（）⑴AD=DF；（2）= ；（3）= ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A. B. C. 5 D.12、如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D。

浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。

21.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为 线段 AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线 BC 于点 E． （1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 的度数； （2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想∠E 与∠B、∠ACB 的数量关系，并证明你的结论．
22.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
18.如图，将△ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2 的度 数为 °．
三、解答题 19.已知在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD 是∠ACB 平分线，求∠A 和∠CDB 的度数.
20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.
研究（3）：若折成图 3 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
参考答案 1.B 2.B. 3.C. 4.A. 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.答案为：B. 12.B 13.答案为：20． 14.答案为：25° 15.答案为：6，与它不相邻的两个内角，3600 16.答案为：130 17.答案为：10°． 18.答案为：180°． 19.解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
5.如图所示，∠CGE=α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于( ).
A.360°-∠A B.270°-∠α
C.180°＋∠α D.2∠α
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为