2020高中物理第六章万有引力与航天第5节宇宙航行课堂优练(含解析)新人教版必修2

第六章 万有引力与航天(时间：60 分钟 满分：100 分)第1～5题只有一项符合题目要求，第6～10题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)1．(2015·德州高一检测)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以下说法正确的是( )A ．5颗同步卫星的轨道半径不都相同B ．5颗同步卫星的运行轨道不一定在同一平面内C ．导航系统所有卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度D ．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小【解析】 同步卫星位于赤道平面内，轨道半径都相同，AB 错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，故导航系统所有卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，C 正确；根据G Mm r2＝m4π2T 2r ，得T ＝4π2r3GM，导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越大，D 错误．【答案】 C2．(2012·课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－dRB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D ．⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2【解析】 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′R －d 2， 则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确；选项B 、C 、D 错误． 【答案】 A3．2015年3月30日21时52分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将首颗新一代北斗导航卫星发射升空，31日凌晨3时34分顺利进入倾斜同步轨道(如图1所示，倾斜同步轨道与赤道平面有一定的夹角)，卫星在该轨道的周期与地球的自转周期相等．此次发射的亮点在于首次在运载火箭上增加了一级独立飞行器，即远征一号上面级．远征一号上面级被形象地称为“太空摆渡车”，可在太空将一个或多个航天器直接送入不同的轨道，而在此之前则是通过圆－椭圆－圆的变轨过程实现．以下说法正确的是( )图1A ．倾斜同步轨道半径应小于赤道同步轨道半径B ．一级独立飞行器能增大卫星入轨的时间C ．倾斜同步卫星加速度的大小等于赤道同步卫星加速度的大小D ．一级独立飞行器携带卫星入轨的过程中，卫星的机械能守恒 【解析】 根据GMm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，又倾斜同步卫星的运转周期与赤道同步卫星的周期相等，故二者轨道半径相等，A 项错误；由GMmr 2＝ma 知，C 项正确；一级独立飞行器可把卫星直接送入轨道，可以缩短卫星入轨的时间，B 项错误；在卫星入轨的过程中，独立飞行器要对卫星做功，从而使卫星的机械能增大，D 项错误．【答案】 C4．如图2所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图2A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值【解析】 根据万有引力定律F ＝G Mm r2可知，由于各小行星的质量和各小行星到太阳的距离不同，万有引力不同，选项A 错误；设太阳的质量为M ，小行星的质量为m ，由万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则各小行星做匀速圆周运动的周期T ＝2πr 3GM，因为各小行星的轨道半径r 大于地球的轨道半径，所以各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期一年，选项B 错误；向心加速度a ＝Fm ＝G M r2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，选项C 正确；由G Mm r 2＝mv 2r 得小行星的线速度v ＝GMr，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，选项D 错误．【答案】 C5．经典力学不能适用于下列哪些运动( ) A ．火箭的发射B ．宇宙飞船绕地球的运动C ．“勇气号”宇宙探测器的运动D ．以99%倍光速运行的电子束【解析】 经典力学在低速运动的广阔领域(包括天体力学的研究)中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就，但在高速领域不再适用，故选D.【答案】 D6．(2015·成都高一检测)2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”完美“牵手”，成功实现交会对接(如图3)．交会对接飞行过程分为远距离导引段、自主控制段、对接段、组合体飞行段和分离撤离段．则下列说法正确的是( )图3A ．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器前下方某处B ．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器后下方某处C ．在组合体飞行段，“神舟十号”与“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/sD ．分离后，“天宫一号”变轨升高至飞行轨道运行时，其速度比在交会对接轨道时大 【解析】 在远距离导引段，“神舟十号”位于“天宫一号”的后下方的低轨道上飞行，通过适当加速，“神舟十号”向高处跃升，并追上“天宫一号”与之完成对接，A 错，B 对；“神舟十号”与“天宫一号”组合体在地球上空数百公里的轨道上运动，线速度小于第一宇宙速度7.9 km/s ，C 对；分离后，“天宫一号”上升至较高轨道上运动，线速度变小，D 错．【答案】 BC7．(2013·浙江高考)如图4所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )图4A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMmr －R2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2【解析】 地球对一颗卫星的引力，利用万有引力公式计算，两个质点间的距离为r ，地球与一颗卫星间的引力大小为GMmr 2，A 项错误，B 项正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为3r ，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为Gm 23r2，C 项正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，D 项错误．【答案】 BC8．(2015·保定高一检测)两颗人造地球卫星质量之比是1∶2，轨道半径之比是3∶1，则下述说法中，正确的是( )A ．它们的周期之比是3∶1B ．它们的线速度之比是1∶ 3C ．它们的向心加速度之比是1∶9D ．它们的向心力之比是1∶9【解析】 人造卫星绕地球转动时万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mr 4π2T2，解得a n ＝G M r 2∝1r2，v ＝GM r ∝1r，T ＝2πr 3GM∝r 3，故两颗人造卫星的周期之比T 1∶T 2＝27∶1，线速度之比v 1∶v 2＝1∶3，向心加速度之比a n1∶a n2＝1∶9，向心力之比F 1∶F 2＝m 1a n1∶m 2a n2＝1∶18，故B 、C 对，A 、D 错．【答案】 BC9．2013年12月10日21时20分，“嫦娥三号”发动机成功点火，开始实施变轨控制，由距月面平均高度100 km 的环月轨道成功进入近月点高度15 km 、远月点高度100 km 的椭圆轨道．关于“嫦娥三号”，下列说法正确的是( )图5A ．“嫦娥三号”的发射速度大于7.9 km/sB ．“嫦娥三号”在环月轨道上的运行周期大于在椭圆轨道上的运行周期C ．“嫦娥三号”变轨前沿圆轨道运动的加速度大于变轨后通过椭圆轨道远月点时的加速度D ．“嫦娥三号”变轨前需要先点火加速【解析】 7.9 km/s 是人造卫星的最小发射速度，要想往月球发射人造卫星，发射速度必须大于7.9 km/s ，A 对；“嫦娥三号”距月面越近运行周期越小，B 对；飞船变轨前沿圆轨道运动时只有万有引力产生加速度，变轨后通过椭圆轨道远月点时也是只有万有引力产生加速度，所以两种情况下的加速度相等，C 错；“嫦娥三号”变轨前需要先点火减速，才能做近心运动，D 错．【答案】 AB10．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图6所示．下列说法正确的是( )图6A ．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与11.2 km/s 之间B ．若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，小球将继续做匀速圆周运动C ．宇航员将不受地球的引力作用D ．宇航员对“地面”的压力等于零【解析】 7.9 km/s 是发射卫星的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s ，故A 错误；若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即G Mm ′r 2＝m ′v 2r，故选项B 正确；在太空中，宇航员也要受到地球引力的作用，选项C 错；在宇宙飞船中，宇航员处于完全失重状态，故选项D 正确．【答案】 BD二、填空题(本题共 3 个小题，共 18 分)11．(6分)我国已启动月球探测计划“嫦娥工程”．图为“嫦娥一号”月球探测器飞行路线示意图．图7(1)在探测器飞离地球的过程中，地球对它的引力________(选填“增大”“减小”或“不变”)．(2)已知月球与地球质量之比为M 月︰M 地＝1︰81.当探测器飞至月地连线上某点P 时，月球与地球对它的引力恰好抵消，此时P 到月球球心与到地球球心的距离之比为________．(3)结合图中信息，通过推理，可以得出的结论是( ) ①探测器飞离地球时速度方向指向月球 ②探测器经过多次轨道修正，进入预定绕月轨道 ③探测器绕地球的旋转方向与绕月球的旋转方向一致④探测器进入绕月轨道后，运行半径逐渐减小，直至到达预定轨道 A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④【解析】 (1)根据万有引力定律F ＝G Mmr2，可知当距离增大时，引力减小． (2)根据万有引力定律及题意得G M 月m r 2月＝G M 地mr 2地，又因M 月︰M 地＝1︰81，解得r 月︰r 地＝1︰9.(3)由探测器的飞行路线可以看出：探测器飞离地球时指向月球的前方，当到达月球轨道时与月球“相遇”，①错误；探测器经多次轨道修正后，才进入预定绕月轨道，②正确；探测器绕地球的旋转方向为逆时针方向，绕月球的旋转方向为顺时针方向，③错误；探测器进入绕月轨道后，运行半径逐渐减小，直到到达预定轨道，④正确．【答案】 (1)减小 (2)1:9 (3)D12．(4分)某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，物体射程为60 m ，则在该星球上，从同样的高度，以同样的初速度平抛同一物体，则星球表面的重力加速度为________m/s 2，在星球表面，物体的水平射程为________m ．(g地＝10 m/s 2)【解析】 星球表面重力加速度g ＝GM R 2，设地球表面重力加速度为g 0，则g g 0＝MR 20M 0R2＝9×22＝36，所以g ＝36g 0＝360 m/s 2；平抛运动水平射程x ＝v 0t ＝v 02h g ，所以xx 0＝g 0g ＝16，x 0＝60 m ，所以x ＝10 m.【答案】 360 1013．(8分)(2013·天津高考)“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成．设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h ，已知月球的质量为M 、半径为R ，引力常量为G ，则卫星绕月球运动的向心加速度a ＝________ ，线速度v ＝________.【解析】 根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据万有引力提供向心力得GMm R ＋h2＝ma ，G MmR ＋h 2＝mv 2R ＋h，得a ＝GM R ＋h2，v ＝GM R ＋h . 【答案】GM R ＋h2GM R ＋h三、计算题(本题共 3 个小题，共 32 分．要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)14．(10分)我国登月嫦娥工程“嫦娥探月”已经成功．设引力常量为G ，月球质量为M ，月球半径为r ，月球绕地球运转周期为T 0，探测卫星在月球表面做匀速圆周运动，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，光速为c .(1)求卫星绕月球运转周期T .(2)若地球基地对卫星进行测控，则地面发出信号后至少经多长时间才能收到卫星的反馈信号？【解析】 (1)由于月球引力提供向心力F ＝GMm r 2＝m 4π2T 2r ，则T ＝2πr 3GM. (2)由于地球引力提供月球运动的向心力GM 地mR ＋h2＝m4π2R ＋hT 20，而在地球表面上GM 地mR 2＝mg ，故得t ＝2h c＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3gR 2T 24π2－R c.【答案】 (1)2πr 3GM(2)2⎝⎛⎭⎪⎫3gR 2T 24π2－R c15．(12分)(2015·济宁高一检测)宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，已知球的体积公式是V ＝43πR 3.求：图8(1)该星球表面的重力加速度g ； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度．【解析】 (1)小球在斜坡上做平抛运动时： 水平方向上：x ＝v 0t ① 竖直方向上：y ＝12gt 2②由几何知识 tan α＝yx③ 由①②③式得g ＝2v 0 tan αt.(2)对于星球表面的物体m 0，有G Mm 0R 2＝m 0g 又V ＝43πR 3故ρ＝M V ＝3v 0tan α2πRtG.(3)该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运动速度，故G Mm R 2＝m v 2R，又GM ＝gR 2解得v ＝2v 0R tan αt.【答案】 (1)2v 0 tan αt (2)3v 0tan α2πRtG(3)2v 0R tan αt16．(10分)发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h 1的近地圆轨道上，在卫星经过A 点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B 点再次点火将卫星送入同步轨道，如图9所示．已知同步卫星的运动周期为T ，地球的半径为R ，地球表面重力加速度为g ，忽略地球自转的影响．求：图9(1)卫星在近地点A 的加速度大小； (2)远地点B 距地面的高度．【解析】 (1)设地球质量为M ，卫星质量为m ，万有引力常量为G ，卫星在A 点的加速度为a ，由牛顿第二定律得：GMm R ＋h 12＝ma ，物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，则G Mm R2＝mg ，解以上两式得a ＝R 2gR ＋h 12.(2)设远地点B 距地面高度为h 2，卫星受到的万有引力提供向心力得GMmR ＋h 22＝m 4π2T 2(R ＋h 2)，解得h 2＝3gR 2T 24π2－R .【答案】 (1)R 2gR ＋h 12 (2) 3gR 2T 24π2－R附加题(本题供学生拓展学习，不计入试卷总分)17．质量为m 的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R (R 为月球半径)的圆周运动．当它们运动到轨道的A 点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B 点，在月球表面逗留一段时间后，经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A 与航天飞机实现对接，如图10所示．已知月球表面的重力加速度为g 月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．图10(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少？(2)若登月器被弹离后，航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R ，为保证登月器能顺利返回A 点实现对接，则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？【解析】 (1)设登月器和航天飞机在半径为3R 的圆轨道上运行时的周期为T ，因其绕月球做圆周运动，所以满足G Mm3R2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2·3R ，同时，月球表面的物体所受重力和引力的关系满足G Mm R2＝mg 月联立以上两式得T ＝6π3R g 月.(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T 1，航天飞机在大椭圆轨道运行的用期是T 2.依题意，对登月器有T 23R 3＝T 212R3，解得T 1＝269T对航天飞机有T 23R 3＝T 224R3，解得T 2＝839T 为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A 与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t 应满足：t ＝nT 2－T 1(其中n ＝1、2、3…)．故t ＝839nT －269T ＝4π(4n －2)Rg 月(其中n ＝1、2、3…)． 【答案】 (1)T ＝6π3Rg 月(2)t ＝4π(4n －2)Rg 月(其中n ＝1、2、3…)。

章末复习课知识体系[答案填写] ①地心说 ②日心说 ③GMmr 2 ④GMr ⑤ GMr 3 ⑥2π r 3GM⑦GM r2 ⑧GM ＝gR 2⑨gR ⑩7.9 km/s ⑪11.2 km/s ⑫16.7 km/s ⑬低速 ⑭宏观主题一 人造卫星的发射、变轨与对接1．发射问题．要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F 引＝F 向，即G Mm r 2＝m v 2r，从而使卫星进入预定轨道．2．变轨问题．(1)当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力， 由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然减小，则F ＞m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F ＜m v 2r，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同．3．对接问题．(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接．如图甲所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道．通过控制轨道使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接．图甲 图乙(2)同一轨道飞船与空间站对接．如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.【例1】 如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度解析：由G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2得，v ＝GMr ，ω＝GMr 3，由于r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，ω1＞ω3，A 、B 错误；轨道1上的Q 点与轨道2上的Q 点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度，C 错误，D 正确．答案：D针对训练1．我国发射“天宫二号”空间实验室之后，发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于飞船所受合力小于所需向心力，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，则由于空间实验室所受合力大于所需向心力，故空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间实验半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D 错误．答案：C主题二 双星模型1．双星模型的运动特点：两颗子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期T 是相等的，角速度ω也是相等的，又根据v ＝ωr ，可得它们的线速度与轨道半径成正比．2．双星模型的动力学特点：两颗子星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，若两子星的质量分别为M 1和M 2，轨道半径分别为r 1、r 2，相距L ，角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律，得对M 1：G M 1M 2L2＝M 1ω2r 1， 对M 2：GM 1M 2L2＝M 2ω2r 2， 又L ＝r 1＋r 2， 可得r 1＝M 2M 1＋M 2L ，r 2＝M 1M 1＋M 2L ，即固定点离质量大的星球较近． 【例2】 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m 1和m 2，二者相距为L .求：(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的角速度．解析：这两颗星必须各以一定的速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引到一起，从而保持它们天体间距离L 不变，两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O ，半径分别为R 1和R 2.由万有引力提供向心力，有Gm 1m 2L2＝m 1ω2R 1，① Gm 1m 2L2＝m 2ω2R 2.② (1)由①②两式相除，得R 1R 2＝m 2m 1. (2)因为v ＝ωR ，所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1. (3)由几何关系知R 1＋R 2＝L ，③ 联立①②③式，解得ω＝ G （m 1＋m 2）L 3. 答案：(1)m 2m 1 (2)m 2m 1(3) G （m 1＋m 2）L 3针对训练2.如图所示，银河系中有两黑洞A 、B ，它们以两者连线上的O 点为圆心做匀速圆周运动，测得黑洞A 、B 到O 点的距离分别2r 和r .黑洞A 和黑洞B 均可看成质量分布均匀的球体，不考虑其他星体对黑洞的引力，两黑洞的半径均远小于他们之间的距离．下列说法正确的是( )A ．黑洞A 、B 的质量之比为2∶1 B ．黑洞A 、B 的线速度之比为2∶1C ．黑洞A 、B 的周期之比为2∶1D ．若从地球向黑洞A 发射一颗探测卫星，其发射速度一定要大于7.9 km/s解析：双星各自做匀速圆周运动的周期相同，则角速度相等，由m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，可知半径之比等于质量之反比，故质量之比为1∶2，故A 错误；由v ＝r ω，知线速度与半径成正比，为2∶1，故B 正确；双星的周期相同，与质量无关，故C 错误；要在地球上发射一颗探测该黑洞信息的探测器，必须要离开太阳的束缚，故发射速度必大于16.7 km/s ，故D 错误．答案：B【统揽考情】本章公式较多，但重点、热点集中，在高考试题中，主要考查万有引力定律在天体、航天技术中的应用，分析问题的思路主要是三个方面：(1)万有引力等于重力；(2)万有引力提供向心力；(3)变轨问题．在高考试卷中，主要是选择题型，每年必考，分值不多，6分左右．【真题例析】(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：由题知双中子星做匀速圆周运动的频率f ＝12 Hz ，由牛顿第二定律，得Gm 1m 2L 2＝4π2f 2r 1m 1＝4π2f 2r 2m 2，解得m 1＋m 2＝4πL 3f2G，故A 错误，B 正确；v 1＝2πfr 1，v 2＝2πfr 2，解得v 1＋v 2＝2πfr 1＋2πfr 2＝2πf (r 1＋r 2)＝2πfL ，选项C 正确；各自自转的角速度无法得出，选项D 错误．答案：BC针对训练(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：设地球半径为R ，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系，可得同步卫星的最小轨道半径r ＝2R .设地球自转周期的最小值为T ，则由开普勒第三定律，可得（6.6R ）3（2R ）3＝（24 h ）2T 2，解得T ≈4 h ，选项B 正确．答案：B1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( )解析：根据万有引力定律可得：F ＝GMm（R ＋h ）2，h 越大，F 越小，故选项D 符合题意．答案：D2．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金＜R 地＜R 火，由此可以判定金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有( )A ．a 金＞a 地＞a 火B ．a 火＞a 地＞a 金C ．v 地＞v 火＞v 金D ．v 火＞v 地＞v 金解析：由万有引力提供向心力有G Mm R2＝ma ，可知轨道半径越小，向心加速度越大，故A正确，B 错误；由G Mm R 2＝m v 2R，得v ＝GMR，可知轨道半径越小，运行速率越大，故C 、D 都错误．答案：A3．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015kg/m 3D ．5×1018kg/m 3解析：在天体中万有引力提供向心力，即G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，解得M ＝4π2R3GT 2.天体的密度ρ＝M V＝3πGT2，代入可得：ρ≈5×1015 kg/m 3，故C 正确． 答案：C4．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：设地球半径为R ，根据题述，地球卫星P 的轨道半径为R P ＝16R ，地球卫星Q 的轨道半径为R Q ＝4R ，根据开普勒定律，T 2P T 2Q ＝R 3PR 3Q＝64，所以P 与Q 的周期之比为T P ∶T Q ＝8∶1，选项C 正确．答案：C5．(多选)(2017·全国卷Ⅰ)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：在海王星从P 到Q 的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C 项正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 04，A 项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 项错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 项正确．答案：CD。

章末质量评估(二)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分．其中1～10题为单选，11～14题为多选，选对得4分，漏选得2分，多选、错选均不得分)1.某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法不正确的是( )A ．太阳一定在椭圆的一个焦点上B ．该行星在a 点的速度比在b 、c 两点的速度都大C ．该行星在c 点的速度比在a 、b 两点的速度都大D ．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是相等的解析：由开普勒第一定律知，太阳一定位于椭圆的一个焦点上，A 正确；由开普勒第二定律知太阳与行星的连线在相等时间内扫过的面积是相等的，因为a 点与太阳的连线最短，b 点与太阳的连线最长，所以行星在a 点速度最大，在b 点速度最小，选项B 、D 正确，C 错误．答案：C2．我国已经成功发射北斗COMPASS —G1地球同步卫星．据了解，这已是北斗卫星导航系统发射的第三颗地球同步卫星．则对于这三颗已发射的同步卫星，下列说法中正确的是 ( )A ．它们的运行速度大小相等，且都小于7.9 km/sB ．它们的运行周期可能不同C .它们离地心的距离可能不同D ．它们的向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：同步卫星运动的周期都是24 h ，由GMm r 2＝mr 4π2T 2＝m v 2r，可知所有的同步卫星离地面的高度一定，运行的速度都比第一宇宙速度小，故A 项正确，B 、C 项错误；由a ＝ω2r ，静止在赤道上的物体与同步卫星的角速度相同，故同步卫星的向心加速度大，D 项错误．答案：A3．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.grB.16grC.13gr D.13gr 解析：由题意得v 1＝g ′r ＝16gr ，v 2＝2v 1＝13gr ，所以C 项正确． 答案：C4．恒星在均匀地向四周辐射能量的过程中，质量缓慢减小，围绕恒星运动的小行星可近似看成在做圆周运动．则经过足够长的时间后，小行星运动的( )A ．半径变大B ．速率变大C ．角速度变大D ．加速度变大解析：恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，小行星所受的万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大，故A 正确；小行星绕恒星运动做圆周运动，万有引力提供向心力，设小行星的质量为m ，恒星质量为M ，则有：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r＝ma ，解得v ＝GMr，T ＝2πr 3GM ，ω＝GMr 3，a ＝GMr 2.因r 变大，质量减小，则速度变小，角速度变小，加速度变小，故B 、C 、D 错误．答案：A5．某行星的质量是地球质量的8倍，它的半径是地球半径的2倍．若地球表面的重力加速度为g ，地球的第一宇宙速度为v ，则( )A ．该行星表面的重力加速度为gB ．该行星表面的重力加速度为g2C ．该行星的第一宇宙速度为2 vD ．该行星的第一宇宙速度为v2解析：在表面重力等于万有引力，即mg ＝G Mm R 2，解得g ＝GM R2，星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比：g 行g ＝GM 行R 2行GM 地R 2地＝M 行R 2地M 地R 2行＝8M 地M 地×⎝ ⎛⎭⎪⎫R 地2R 地2＝2，行星的重力加速度：g 行＝2g ，故A 、B 错误．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，由牛顿第二定律，得G Mm R 2＝m v 2R，解得v＝GM R ；某行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比：v 行v 地＝GM 行R 行GM 地R 地＝ M 行R 地 M 地R 行＝8M 地M 地×R 地2R 地＝2， 所以该行星的第一宇宙速度为2v .故C 正确，D 错误． 答案：C6．绕地球做匀速圆周运动的地球同步卫星，距离地球表面的高度约为地球半径的 5.6倍，线速度大小为v 1，周期为T 1；绕地球做匀速圆周运动的某人造卫星，距离地球表面的高度为地球半径的2倍，线速度大小为v 2，周期为T 2；地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v 3，周期为T 3，则下列关系正确的是( )A ．v 2＞v 1＞v 3B ．v 1＞v 2＞v 3C ．T 1＝T 3＜T 2D ．T 1＞T 2＞T 3解析：地球同步卫星的运动周期与地球的自转周期相同，即T 1＝T 3，又ω＝2πT，所以它们的角速度相同，根据关系式v ＝ωr 可知，v 1＞v 3；地球同步卫星和人造卫星都围绕地球做匀速圆周运动，它们受到的地球的引力提供向心力，即G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝mv 2r ，可得v ＝GMr，T ＝2π·r 3GM，则轨道半径r 减小时，速率v 变大，周期T 变小，所以v 1＜v 2，T 2＜T 1，所以v 3＜v 1＜v 2，T 2＜T 1＝T 3，选项A 正确，B 、C 、D 错误．答案：A7．英国《每日邮报》称，英国学者通过研究确认“超级地球”“格利泽581d ”的体积约为地球体积的27倍，密度约为地球密度的13.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的第一宇宙速度为v ，将“格利泽581d ”视为球体，可估算( )A ．“格利泽581d ”表面的重力加速度为 2gB ．“格利泽581d ”表面的重力加速度为 3gC ．“格利泽581d ”的第一宇宙速度为 2vD ．“格利泽581d ”的第一宇宙速度为 3v 解析：由万有引力与重力关系有：GMm R 2＝mg ，M ＝ρV ，V ＝43πR 3，联立三式得g ＝43G πρR .由“格利泽581d ”与地球体积关系及体积公式可知“格利泽581d ”半径为地球半径的3倍，由题意可知，“格利泽581d ”表面的重力加速度与地球表面的重力加速度相等，A 、B 项错；由第一宇宙速度定义式v ＝gR 可知“格利泽581d ”的第一宇宙速度为3v ，C 项错误，D 项正确．答案：D8．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍解析：做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F万＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，故A 正确；双星运动的角速度相同，故B 错误；由v ＝ωr 可知冥王星的线速度为卡戎的17，故C 错误；两星间的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D错误．答案：A9．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值解析：根据万有引力定律F ＝G Mmr2可知，由于各小行星的质量和各小行星到太阳的距离不同，万有引力不同，选项A 错误；设太阳的质量为M ，小行星的质量为m ，由万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则各小行星做匀速圆周运动的周期T ＝2πr 3GM，因为各小行星的轨道半径r 大于地球的轨道半径，所以各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期(一年)，选项B 错误；向心加速度a ＝F m ＝G M r2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，选项C 正确；由G Mm r 2＝mv 2r ，得小行星的线速度v ＝GMr，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，选项D 错误．答案：C10．甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，轨道在同一平面内，甲的轨道半径是乙轨道半径的k (k >1)倍，两卫星的绕行方向相同，某时刻两卫星相距最近，经过t 时间两卫星再次距离最近，已知地球的质量为M ，引力常量为G ，则乙的轨道半径为 ( )A.GMt 24π2k3（k 3－1）2 B.GMt 24π2k3（3k 2－1）2 C.3GMt 24π2k3（k 3－1）2D.3GMt 24π2k3（3k 2－1）2 解析：设乙的轨道半径为R ，则G Mm R 2＝mR ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12，得T 1＝2πR 3GM，同理可得甲运动的周期T 2＝2π（kR ）3GM，由题意知t T 1－t T 2＝1，解得R ＝ 3GMt 24π2k3（k 3－1）2，选项C 正确．答案：C11．美国宇航员评出了太阳系外10颗最神奇的行星，在这10颗最神奇的行星中排名第三的是一颗不断缩小的行星，命名为HD209458b ，它的一年只有3.5个地球日．这颗行星以极近的距离绕恒星运转，因此它的大气层不断被恒星风吹走．据科学家估计，这颗行星每秒就丢失至少10 000吨物质，最终这颗缩小的行星将只剩下一个死核．假设该行星是以其球心为中心均匀减小的，且其绕恒星做匀速圆周运动．下列说法正确的是 ( )A ．该行星绕恒星运行周期会不断增大B ．该行星绕恒星运行的速度大小会不断减小C ．该行星绕恒星运行周期不变D ．该行星绕恒星运行的线速度大小不变解析：由于该行星是以其球心为中心均匀减小的，所以其运行的半径不变，由于该行星的质量改变而恒星的质量不变，由GMm R 2＝mv 2R 和GMm R 2＝4π2mRT 2，可知周期和线速度大小均不改变．选项C 、D 正确．答案：CD12．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2.则此探测器( )A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析：设月球表面的重力加速度为g 月，则g 月g 地＝GM 月R 2月GM 地R 2地＝M 月M 地·R 2地R 2月＝181×3.72，解得g 月≈1.7m/s 2；由v 2＝2g 月h ，得着陆前的速度为v ＝2g 月h ＝2×1.7×4 m/s ≈3.7 m/s ，选项A 错误．悬停时受到的反冲力F ＝mg 月≈2×103N ，选项B 正确．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C 错误．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v 1、v 2，则v 1v 2＝GM 月R 月GM 地R 地＝ M 月M 地·R 地R 月＝ 3.781＜1，故v 1＜v 2，选项D 正确．答案：BD13．已知地球半径为R ，地心与月球中心之间的距离为r ，地球中心和太阳中心之间的距离为s .月球公转周期为T 1，地球自转周期为T 2，地球公转周期为T 3，近地卫星的运行周期为T 4，万有引力常量为G ，由以上条件可知正确的选项是( )A ．月球公转运动的加速度为4π2rT 21B ．地球的密度为3πGT 21C ．地球的密度为3πGT 24D ．太阳的质量为4π2s3GT 23解析：A.月球向心加速度a ＝r ω2＝r ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12＝4π2rT 21，故A 正确；对地球的近地卫星：G M 1m R 2＝mR 4π2T 24以及M 1＝43πR 3ρ，联立解得ρ＝3πGT 24，故C 正确，B 错误；研究地球绕太阳圆周运动，利用万有引力提供向心力，得G Mm s 2＝ms 4π2T 23，解得M ＝4π2s3GT 23，故D 正确．答案：ACD14.由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动．如图所示，三颗星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，引力常量为G ，下列说法正确的是()A ．每个星体受到引力大小均为3Gm 2a2B ．每个星体的角速度均为3Gma 3C ．若a 不变，m 是原来的2倍，则周期是原来的12D ．若m 不变，a 是原来的4倍，则线速度是原来的12解析：对任意一个星体，受力分析如图所示，有F 1＝G m 2a 2，F 2＝G m 2a 2，每个星体受到的引力为F ＝2F 1cos 30°＝3G m 2a2，故A 错误；由几何关系可知，每个星体绕中心做匀速圆周运动的半径r ＝3a 3，根据万有引力提供向心力，有3G m 2a 2＝m ω2·33a ，解得ω＝3Gma 3，故B 正确；对每个星体，根据万有引力提供向心力，有3G m 2a 2＝m 4π2T 2·3a3，解得T ＝2πa 33Gm，若a 不变，m 是原来的2倍，则周期是原来的22，故C 错误；对每个星体，根据万有引力提供向心力，有3G m 2a 2＝m v 23a3，解得v ＝Gm a ，若m 不变，a 是原来的4倍，则线速度是原来的12，故D 正确．答案：BD二、非选择题(本题共4小题，共44分．把答案填在题中的横线上或按照题目要求作答．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)15．(10分)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .如图所示，A 为所在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，B 为地球的同步卫星．求：(1)卫星A 运动的速度大小v ； (2)卫星B 到地面的高度h .解析：(1)对卫星A ，由牛顿第二定律有G Mm A R 2＝m A v 2R，解得v ＝GMR. (2)对卫星B ，设它到地面高度为h . 同理有G Mm B （R ＋h ）2＝m B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(R ＋h )， 解得h ＝ 3GMT 24π2－R .答案：(1)GMR (2)h ＝ 3GMT 24π2－R 16．(12分)如图为宇宙中一个恒星系的示意图．A 为星系的一颗行星，它绕中央恒星O 运行的轨道近似为圆．天文学家通过观测得到A 行星运动的轨道半径为R 0，周期为T 0.(1)中央恒星O 的质量为多大？(2)经长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t 0发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B (假设其运行轨道与A 在同一水平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对A 行星的万有引力引起A 轨道的偏离(由于B 对A 的吸引而使A 的周期引起的变化可以忽略)．根据上述现象及假设，试求未知行星B 的运动周期T 及轨道半径R .解析：(1)设中央恒星质量为M ，A 行星质量为m .由GMm R 20＝m 4π2T2R 0， 解得M ＝4π2R 30GT 20.(2)A 、B 相距最近时，A 偏离最大，据题意有2πT 0t 0－2πTt 0＝2π，解得T ＝t 0T 0t 0－T 0. 据开普勒第三定律R 3T 2＝R 30T 20，解得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 023R 0.答案：(1)M ＝4π2R 3GT 20(2)T ＝t 0T 0t 0－T 0 R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 023R 017．(10分)一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R (R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为ω0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？解析：由万有引力定律和牛顿定律，可得GMm （3R ）2＝m 4π2T 2·3R ，① GMmR 2＝mg ，② 联立①②两式，可得T ＝6π3R g.以地面为参考系，卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为2π，卫星相对地面的角速度为ω1－ω0，则Δt ＝2π2πT －ω0＝2π13g3R－ω0.答案：6π3Rg2π13 g3R－ω018.(12分)发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h 1的圆形近地轨道上，在卫星经过A 点时点火(喷气发动机工作)实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A ，远地点为B .在卫星沿椭圆轨道运动经过B 点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道(远地点B 在同步轨道上)，如图所示．两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短．已知同步卫星的运动周期为T ，地球的半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求：(1)卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；(2)卫星在椭圆形轨道上运行接近A点时的加速度大小；(3)卫星同步轨道距地面的高度．解析：(1)设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在近地圆轨道运动接近A点时加速度为a A，根据牛顿第二定律有G Mm（R＋h1）2＝ma A，可以认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力G MmR2＝mg.解得a A＝R2g（R＋h1）2.(2)根据牛顿第二定律F万＝ma，得加速度a＝R2g（R＋h1）2.(3)设同步轨道距地面高度为h2，根据牛顿第二定律，有GMm（R＋h2）2＝m4π2T2(R＋h2)，由上式解得h2＝3gR2T24π2－R.答案：(1)R2g（R＋h1）2(2)R2g（R＋h1）2(3)3gR2T24π2－R。

第六章；万有引力与航天知识点总结一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密（欧多克斯、亚里士多德）内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。

2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略） 内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

二、开普勒行星运动定律的内容开普勒第二定律：v v >远近开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系：333222===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。

2、表达式：221r m m GF = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。

4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。

5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。

②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。

③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。

6、推导：2224mM G m R R T π=3224R GMT π=四、万有引力定律的两个重要推论1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。

2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。

五、黄金代换六；双星系统两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：M 1：22121111121M M v G M M r L r ω== M 2：22122222222M M v G M M r L r ω== 相同的有：周期，角速度，向心力 ，因为12F F =，所以221122m r m r ωω=轨道半径之比与双星质量之比相反：1221r m r m = 线速度之比与质量比相反：1221v m v m =七、宇宙航行：1、卫星分类：侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星……3、卫星轨道：可以是圆轨道，也可以是椭圆轨道。