2015年浙江省温州市高三文科三模数学试卷

2015年浙江省温州市高三文科三模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合M=x∈R x2=1，N=x∈R x2−2x−3=0，则M∪N= A. −1B. −1,1,3C. 1,3D. −1,32. 已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则¬p为 A. ∃x0∈R，x02+2x0+1>0B. ∀x∈R，x2+2x+1≤0C. ∀x∈R，x2+2x+1≥0D. ∀x∈R，x2+2x+1>03. 设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是 A. 若m⊂α，n∥α，则m∥nB. 若m∥α，m∥β，则α∥βC. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β5. 要得到函数y=sin2x+π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象 A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度6. 已知向量a=b=a−b=1，则2b−a= A. 2B. 3C. 3D. 237. 已知双曲线C1：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px p>0的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为 A. 2+1B. 22C. 22−1D. 3+18. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是 A. 平面DMN⊥平面BCC1B1B. 三棱锥A1−DMN的体积为定值C. △DMN可能为直角三角形D. 平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为0,π4二、填空题（共7小题；共35分）9. 已知等差数列a n的前n项和为S n，a4=10，S3=12，则数列a n的首项a1=，通项a n=．10. 如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．11. 已知sinα−cosα=150<α<π2，则sin2α=，sin2α−π4=．12. 定义在R上的奇函数f x满足：当x>0时，f x=−log2x，则f −14=；使f x<0的x的取值范围是．13. 已知实数x，y满足x−y+1≥0,x+y−1≥0,3x−y−3≤0,则z=x−2y−1的最大值为．14. 若直线ax+by−1=0a⋅b>0平分圆C：x2+y2−2x−4y+1=0，则1a +1b的最小值为．15. 若对任意x∈1,2，不等式4x−a⋅2x+1+a2−1>0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题；共65分）16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2−bc．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求b+c的取值范围．17. 已知数列a n的前n项和为S n，且2S n+3=3a n n∈N∗．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=n+1log3a n，记T n=1b1+1b2+⋯+1b n，求证：2T n<1．18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90∘，AB=2AD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．19. 设抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A x1,y1，B x2,y2两点，且y1y2=−4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．20. 对于函数f x，若存在x0∈R，使f x0=x0成立，则称x0为f x的一个不动点．设函数f x=ax2+bx+1a>0．（1）当a=2，b=−2时，求f x的不动点；（2）若f x有两个相异的不动点x1，x2，当x1<1<x2时，设f x的对称轴为直线x=m，求证：m>1；2（3）若f x有两个相异的不动点x1，x2，若x1<2且x1−x2=2，求实数b的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】M=x∈R x2=1=1,−1，N=x∈R x2−2x−3=0=3,−1，则M∪N=−1,1,3．2. D 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则¬p为：∀x∈R，x2+2x+1>0．3. D 【解析】当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．4. D 【解析】A不正确，因为n∥α，可得出n与α内的直线位置关系是平行或异面；B不正确，因为m∥α，m∥β中的平行关系不具有传递性，平行于同一直线的两个平面可能相交；C不正确，m⊥α，m⊥n，可得出n∥α或n⊂α；D正确，m⊥α，m⊥β，可根据垂直于同一直线的两个平面平行得出α∥β．5. C【解析】y=sin2x+π3=sin2 x+π6，故要得到y=2sin2x+π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位．6. B 【解析】因为a=b=a−b=1，所以a2=b2=a2+b2−2a⋅b，所以a2=b2=2a⋅b=1，则2b−a=2b−a 2=4b2−4a⋅b+a2=3．7. A 【解析】抛物线y2=2px的焦点为F p2,0，由PF与x轴垂直，令x=p2，可得 PF =p．双曲线x 2a2−y2b2=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为Fʹ．由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=p2，可得双曲线的焦距 FFʹ =2c=p．由于△PFFʹ为直角三角形，则 PFʹ = FFʹ =2p．根据双曲线的定义，得2a= PFʹ − PF =p−p，可得a=2−1 p2．因此，该双曲线的离心率e=ca =12p2−1 p=2+1．8. C 【解析】如图，当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，所以平面DMN⊥平面BCC1B1，故A正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，所以棱锥N−A1DM的体积不变，即三棱锥A1−DMN的体积为定值，故B正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，所以△DMN不可能为直角三角形，故C错误；当M、N分别为BB1、CC1的中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合时，N 与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于π4，所以平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为0,π4，故D正确．第二部分9. 1，3n−2【解析】设等差数列a n的首项为a1，公差为d，由a4=10，S3=12，得a1+3d=10,3a1+3d=12,解得a1=1,d=3.所以a n=1+3n−1=3n−2．10. 4，14+213【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，面积为12×3×4=6，有一侧棱垂直于底面，高为2，所以其体积：13×6×2=4，表面积为6+12×5×2+12×3×2+12×4×4+9=14+213．11. 2425，31250【解析】提示：由sinα−cosα=150<α<π2，可得π4<α<π2，两边平方即可．12. −2，−1,0∪1,+∞【解析】对于定义在R上的奇函数f x满足：当x>0时，f x=−log2x，则f −14=−f14=− −log214=log214=−2．由于奇函数f x=−log2x在0,+∞上是减函数，故f x在−∞,0上也是减函数．再由f−1=−f1=0，可得f x<0的x的取值范围是−1,0∪1,+∞．13. 0【解析】由z=x−2y−1得y=12x−z2−12，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=12x−z2−12，由图象可知当直线y=12x−z2−12过点A时，直线y=12x−z2−12的截距最小，此时z最大，由x+y−1=0,3x−y−3=0,解得x=1,y=0,即A1,0，代入目标函数z=x−2y−1，得z=1−1=0，所以目标函数z=x−2y−1的最大值是0．14. 3+2【解析】圆C：x2+y2−2x−4y+1=0的圆心坐标为1,2，因为直线平分圆，所以直线过圆心1,2，所以a+2b=1，所以1 +1=a+2b1+1 =3+2b+a≥3+22b⋅a =3+22,当且仅当a=2b=2−1时取等号．15. a a<1或a>5【解析】令2x=t，因为x∈1,2，所以t∈2,4，所以当t∈2,4时，t2−2at+a2−1>0恒成立，即有t−a2>1恒成立，解得t>a+1或t<a−1，由t∈2,4，所以a+1<2或a−1>4解得a<1或a>5，所以实数a的取值范围是 a a<1或a>5．第三部分16. （1）由已知得：bc=b2+c2−a2，故cos A=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12，因为0<A<π，所以A=π3．（2）因为b+c>a，所以b+c>3，又a2=3=b2+c2−bc=b+c2−3bc≥b+c2−34b+c2=14b+c2，即b+c2≤12，所以b+c≤23（当且仅当b=c=3时取到等号）综上：3<b+c≤23．17. （1）当n=1时，2S1+3=3a1，得a1=3，当n≥2时，2S n+3=3a n,⋯⋯①2S n−1+3=3a n−1,⋯⋯②①−②，得：2a n=3a n−3a n−1，即a n=3a n−1，所以a n是公比为3，首项为3的等比数列，所以a n=3⋅3n−1=3n n∈N∗．（2）因为b n=n+1log33n=2n n+1，所以1b n =12n n+1=121n−1n+1，所以T n=1b1+1b2+⋯+1b n=121−12+12−13+⋯+1n−1n+1=121−1n+1，所以T n<12，即2T n<1．18. （1）因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PD⊥BD．又因为AD⊥BD，AD∩PD=D，所以BD⊥平面PAD．又因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥BD．（2）过B作BH⊥CD于H，连接PH，因为PD⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD，BH⊥PD，BH⊥CD，又因为PD∩CD=D，所以BH⊥平面PCD．所以PB在平面PCD上的射影即为PH，故∠BPH即为直线PB与平面PCD所成的角．不妨记AD=BC=PD=1，则AB=CD=2，BD=3，在Rt△CBD中：BH=BC⋅BDCD =32，PB=2+BD2=2，所以sin∠BPH=BHPB =34．其他解法：如图所示建系，不妨设AD=BC=PD=1，则AB=CD=2，BD=3，D0,0,0，B 0,3,0，C −1,3,0，P0,0,1，PB=0,3,−1，DC= −1,3,0，DP=0,0,1设平面PCD的法向量为n=x,y,z，n⋅DC=−x+3y=0,n⋅DP=z=0,取y=1，得n=3,1,0，设所求线面角为θ，则sinθ=cos<n,PB>=34．19. （1）F p2,0，设直线AB的方程为y=k x−p2，联立y=k x−p2,y2=2px,消x得：ky2−2py−kp2=0，所以y1y2=−p2=−4，从而p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）由已知，F1,0，直线AB的方程为y=x−1，联立y=x−1,y2=4x,消x得：y2−4y−4=0，所以y1+y2=4, y1y2=−4,所以AB=⋅42−4×−4=8，又因为O到直线AB的距离d=2=22，所以S△OAB=12×22×8=22．20. （1）依题意：f x=2x2−2x+1=x，即2x2−3x+1=0，解得x=12或1，即f x的不动点为12和1；（2）由f x表达式得m=−b2a，因为g x=f x−x=ax2+b−1x+1，a>0，由x1，x2是方程f x=x的两相异根，且x1<1<x2，所以g1<0⇒a+b<0⇒−ba >1⇒−b2a>12，即m>12．（3）Δ=b−12−4a>0⇒b−12>4a，x1+x2=1−ba ，x1x2=1a，所以x1−x22=x1+x22−4x1x2=1−ba 2−4a=22，所以b−12=4a+4a2∗又x1−x2=2，所以x1、x2到g x对称轴x=1−b2a的距离都为1，要使g x=0有一根属于−2,2，则g x对称轴x=1−b2a∈−3,3，所以−3<b−12a <3⇒a>16b−1，把上式代入∗得：b−12>23b−1+19b−12，解得：b<14或b>74，所以b的取值范围是： −∞,14∪74,+∞ ．。