不等式选讲习题含答案
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不等式选讲习题
1.(2014全国新课标I 卷)若0,0,a b >>且11
a b
+= (I )求3
3
a b +的最小值;
(II )是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由.
2.(2014全国新课标II 卷)设函数1
()(0).f x x x a a a
=++-> (I )证明:()2;f x ≥
(II )若(3)5,f <求a 的取值X 围.
3.(2013全国新课标I 卷)已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+
(I )当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (II )设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时,()()f x g x ≤,求a 的取值X 围.
4.(2013全国新课标II 卷)设,,a b c 均为正数,且1,a b c ++=证明:
(I )1
;3
ab bc ac ++≤ (II )222 1.a b c b c a ++≥.
5.(2012全国新课标卷)已知函数() 2.f x x a x =++-
(I )当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (II )若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值X 围.
6.(2011全国新课标卷)设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (II )若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-,求a 的值.
7.(2015第一次省统测)已知a 是常数,对任意实数x ,不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都
成立.
(I )求a 的值; (II )设,0>>n m 求证:.221
22
2a n n mn m m +≥+-+
8.设函数.142)(+-=x x f
(I )画出函数)(x f y =的图象; (II )若不等式ax x f ≤)(的解集非空,求a 的取值X 围.
不等式选讲习题参考答案
1.(2014全国新课标I 卷) 解:(I
11a b =
+≥得2ab ≥
,当且仅当a b ==时等号成立
所以33a b +≥==
当且仅当a b ==
所以33
a b +
的最小值为………5分
(II )由(I
)知23a b +≥=≥
由于6>,从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分 2.(2014全国新课标II 卷) 解:(I )由0a >
,有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以,() 2.f x ≥………4分 (II )1
(3)33.f a a
=+
+- 当03a <≤时,1(3)6f a a =-+
,由(3)5,f <得1
65a a
-+<
,解得1 3.2a <≤ 当3a >时,1(3)f a a =+
由(3)5,f <得1
5a a
+<
,解得532a +<<
综上所述,a 的取值X
围是52
a <<………10分 3.(2013全国新课标I 卷)
解:(I )当2a =-时,()212 2.f x x x =-+- 由()()f x g x <,得212230x x x -+---<
设()21223,f x x x x =-+---则
15,,21()2,1,236, 1.x x f x x x x x ⎧
-≤⎪⎪
⎪
=--<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
其图象如图所示,由图象可知,当且仅当(0,2)x ∈时,()0.f x < 所以,不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分 (II )当1,22a x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣
⎭时,()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以,2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
都成立.故42,.23a a a -≥-≤即
所以,a 的取值X 围是4
(1,].3
-.………10分 4.(2013全国新课标II 卷). 证明:(I )
222a b ab +≥2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥
222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++,即222a b c ab bc ac ++≥++
又
()1a b c ++= ,即 2222221a b c ab bc ac +++++=
1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++,即3()1ab bc ac ++≤ 1
3
ab bc ac ∴++≤
………5分 (II )
222
2,2,2a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥ 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++,即222
1.a b c a b c b c a ++≥++= 222
1.a b c b c a
∴++≥………10分