(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题学案

第3讲解答题题型特点与技法指导高考解答题一般有六大方向：三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、不等式与函数及导数．一般来说，前三题属于中、低档题，第四题属中档偏难题，后两题属难题．三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．能否做好解答题，是高考成败的关键．1．三角函数有关三角函数的大题即解答题，主要是考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大．凸显恒等变换与三角函数图象、性质在三角形内考查．主要考查以下4个方面：①三角函数的图象、性质、图象变换，主要是y＝A sin(ωx＋φ)＋b的图象、性质及图象变换，考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、最值及图象的平移和对称等；②三角恒等变换，主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般需要运用和差角公式、倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查；③三角函数性质的应用．通过解三角形来考查三角恒等变形及应用三角函数性质的综合能力；④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识的综合问题．【例1】已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,23cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．点评 利用向量的工具作用，与向量结合在一起命制综合题，体现了在知识交汇点处命题的指导思想．这类问题求解时，首先利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换，再研究三角函数的图象与性质．变式训练1 (2012·安徽高考，理16)设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．2．立体几何立体几何是高中数学的主干知识之一，命题形式比较稳定，主要考查：(1)三视图：解答题中一般是根据三视图还原几何体模型，然后展开推理；(2)空间线面关系的判定和推理证明：主要是证明平行和垂直，求解这类问题要依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证；(3)空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算：求解这类问题，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．【例2】(2012·安徽八校一联考，18)如图，在多面体ABDEC 中，AE ⊥平面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝AE ＝1，BD ＝2，F 为CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：EF ⊥平面BCD ； (3)求多面体ABDEC 的体积．点评 本题第(1)问是证明线面平行问题，证明直线与平面平行，往往通过证直线与直线平行来实现．第(2)问是证线面垂直问题，往往转化为证线线垂直来实现．第(1)(2)问充分体现了问题的转化思想．第(3)问是几何体的体积计算问题，需要把握锥体的体积计算公式．变式训练2 (2012·广东高考，文18)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB ． 3．数列与不等式高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算，可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与求和有关的题目，首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；(3)含S n 的式子，要根据题目特征利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2进行转化；(4)与递推数列有关的问题，要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列； (5)与数列有关的不等式问题，可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法等)； (6)与函数有关的问题，应根据函数的性质求解．【例3】(2012·四川成都二诊，20)已知数列{a n }和{b n }，b 1＝1，且b n ＋1－3b n ＝2n －2，记a n ＝b n ＋1－b n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(3)记2log 3log 3n n n a a c =⋅＋，数列{c n }的前n 项和为T n ，若45T k ＜29，k ∈N *恒成立，求k的最大值．点评 第(1)问考查了等比数列的证明，它是为第(2)、(3)问服务的．第(2)问考查了求数列通项公式的常规方法．第(3)问考查了数列的求和方法，是数列与不等式知识的综合问题．变式训练3 (2012·湖北八校二联，19)各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：S n ＝14a 2n ＋12a n ＋14(n ∈N *)．(1)求a n ；(2)设函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，n 为偶数，c n ＝f (2n ＋4)(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .4．解析几何解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，往往以中档偏难题或以压轴题形式出现，主要考查学生的逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力．突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．【例4】已知椭圆x 24＋y 23＝1，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B ．试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．点评 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，基本方法是联立方程，利用判别式、根与系数关系求解，运算量一般较大，这类综合题中常涉及的问题有弦长问题、面积问题、对称问题、定点定值问题等，是历年高考的热点问题，复习时要注重通性通法的训练．变式训练4 (2012·山东高考，文21)如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T .求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．5．函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质及导数的应用为目标，以导数为工具围绕函数、不等式、方程等综合考查．在知识的交汇处命题，涉及到具体内容较多，如给定解析式求参数值，给定条件求参数范围，以及对参数讨论与证明不等式问题，极值、最值、值域及分析图象交点等问题，都以导数为工具．既考查函数部分的相关知识，又渗透函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想．【例5】(2012·山东青岛一模，21)已知函数f (x )＝13x 3－x .(1)若不等式f (x )＜k －2 005对于x ∈[－2,3]恒成立，求最小的正整数k ；(2)令函数g (x )＝f (x )－12ax 2＋x (a ≥2)，求曲线y ＝g (x )在(1，g (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．点评 第(1)问是恒成立求参数范围问题，常用分离参数求最值．第(2)问考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求最值问题．变式训练5 (2012·广西南宁一模，21)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是定义在R 上的奇函数，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12和(2,2)．(1)求出函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调区间； (2)设g (x )＝f (x )－5t ，当实数t 取何值时，关于x 的方程g (x )＝0有且只有一个实数根？参考答案方法例析【例1】解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ， 所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．【变式训练1】解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x .故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.【例2】(1)证明：取BC 的中点G ，连接AG ，FG .∵F ，G 分别为DC ，BC 的中点， ∴FG 綉12DB 綉EA .∴四边形EFGA 为平行四边形． ∴EF ∥AG .又因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)证明：因为AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ， ∴DB ⊥平面ABC . 又∵DB ⊂平面BCD ， ∴平面ABC ⊥平面BCD .又∵G 为BC 的中点且AC ＝AB ＝BC ， ∴AG ⊥BC .∴AG ⊥平面BCD . 又∵EF ∥AG ，∴EF ⊥平面BCD .(3)解：过C 作CH ⊥AB ，则CH ⊥平面ABDE 且CH ＝32， ∴V C －ABDE ＝13S 四边形ABDE ·CH ＝13×1＋2×12×32＝34.【变式训练2】(1)证明：AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ⇒PH ⊥AB ， 又PH ⊥AD ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ∩AB ＝A ⇒PH ⊥平面ABCD .(2)解：E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离h ＝12PH ＝12，∴三棱锥E －BCF 的体积V ＝13S △BC F ·h ＝13·12·FC ·AD ·h ＝16×1×2×12＝212.(3)证明：取PA 的中点为G ，连接DG ，EG .PD ＝AD ⇒DG ⊥PA ，又AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ⇒平面PAD ⊥平面PAB ， 又平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DG ⊂平面PAD ⇒DG ⊥面PAB ，点E ，G 是棱PB ，PA 的中点⇒EG 綉12AB ，又DF 綉12AB ⇒EG 綉DF ⇒DG ∥EF ，得EF ⊥平面PAB .【例3】(1)证明：∵b n ＋1－3b n ＝2n －2，∴b n －3b n －1＝2(n －1)－2，n ≥2，n ∈N *.两式相减，得b n ＋1－b n －3b n ＋3b n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)．整理，得b n ＋1－b n ＋1＝3(b n －b n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是公比为3的等比数列． (2)解：∵b 2＝3，∴a 1＝3－1＋1＝3.∴a n ＝3n (n ∈N *)．∵a n ＝b n ＋1－b n ＋1＝3n，∴b n －b n －1＋1＝3n －1，b n －1－b n －2＋1＝3n －2，…，b 2－b 1＋1＝31.累加，得b n －b 1＋n －1＝1－3n1－3－1.∴b n ＝3n 2－n ＋12(n ∈N *)．(3)解：c n ＝+233log 3log 3n n ⋅＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 由45T k ＜29得135－90⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＜116.∴1k ＋1＋1k ＋2＞1990＝19＋110.∴k ＜8.又k ∈N *，∴k 的最大值为7，【变式训练3】解：(1)由S n ＝14a 2n ＋12a n ＋14，①得：当n ≥2时，S n －1＝14a 2n －1＋12a n －1＋14.②①－②，化简得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又∵数列{a n }的各项为正数， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝2.故数列{a n }为等差数列，且公差为2.又a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1＋14，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由分段函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，n 为偶数，可以得到：c 1＝f (6)＝f (3)＝a 3＝5，c 2＝f (8)＝f (4)＝f (2)＝f (1)＝a 1＝1；当n ≥3，n ∈N *时，c n ＝f (2n ＋4)＝f (2n －1＋2)＝f (2n －2＋1)＝2(2n －2＋1)－1＝2n －1＋1，故当n ≥3时，T n ＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n －1＋1)＝6＋41－2n －21－2＋(n －2)＝2n＋n .n ＝1时，T 1＝5不满足T n ＝2n ＋n ；n ＝2时，T 2＝c 1＋c 2＝6满足T n ＝2n ＋n .故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋n ，n ≥2.【例4】解：设点P (x 0，y 0)(x 0≠0，y 0≠0)，直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4(y 0－kx 0)2－12＝0. ∵x ＝x 0是方程的两个相等实根，∴2x 0＝－8ky 0－kx 03＋4k2， 解得k ＝－3x 04y 0.∴直线l 的方程为y －y 0＝－3x 04y 0(x －x 0)．令x ＝0，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 20＋3x 204y 0.又∵x 204＋y 203＝1，∴4y 20＋3x 20＝12，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3y 0.又直线l ′的方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)，令x ＝0，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 03，∴以AB 为直径的圆方程为x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3y 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 03＝0， 整理得x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 03－3y 0y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0.∴以AB 为直径的圆恒过定点(－1,0)和(1,0)．【变式训练4】解：(1)设椭圆M 的半焦距为c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，4ab ＝8，所以a ＝2，b ＝1.因此椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64m 2－80(m 2－1)＝80－16m 2＞0， 得－5＜m ＜ 5.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－15.所以|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4525－m 2(－5＜m ＜5)． 线段CD 的方程为y ＝1(－2≤x ≤2)，线段AD 的方程为x ＝－2(－1≤y ≤1)．①不妨设点S 在AD 边上，T 在CD 边上，可知1≤m ＜5，S (－2，m －2)，D (－2,1)， 所以|ST |＝2|SD |＝2[1－(m －2)]＝2(3－m )，因此|PQ ||ST |＝455－m 23－m 2，令t ＝3－m (1≤m ＜5)，则m ＝3－t ，t ∈(3－5，2]，所以|PQ ||ST |＝455－3－t 2t 2＝45－4t 2＋6t－1＝45－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋54，由于t ∈(3－5，2]，所以1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3＋54，因此当1t ＝34，即t ＝43时，|PQ ||ST |取得最大值255，此时m ＝53.②不妨设点S 在AB 边上，T 在CD 边上，此时－1≤m ≤1，因此|ST |＝2|AD |＝22，此时|PQ ||ST |＝255－m 2，所以当m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.(3)不妨设点S 在AB 边上，T 在BC 边上，－5＜m ≤－1，由椭圆和矩形的对称性知|PQ ||ST |的最大值为255，此时m ＝－53.综上所述，m ＝±53或m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.【例5】解：(1)∵f (x )＝13x 3－x ，令f ′(x )＝x 2－1＝0，解得x ＝±1.当由上表可知：f (x )极大值＝f (－1)＝3.又f (3)＝6，f (－2)＝－23.比较可得：当x ∈[－2,3]时，f (x )max ＝f (3)＝6. 因为f (x )＜k －2 005恒成立， 所以k －2 005＞6，即k ＞2 011， 所以最小的正整数k ＝2 012.(2)g (x )＝f (x )－12ax 2＋x ＝13x 3－12ax 2， 则g ′(x )＝x 2－ax ，所以g ′(1)＝1－a .又因为g (1)＝13－12a ， 所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12a ＝(1－a )(x －1)． 令x ＝0，得y ＝12a －23，令y ＝0，得x ＝4－3a 61－a ， 所以S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －23×4－3a 61－a . 因为a ≥2，则S ＝3a －4272a －1， 则S ′＝3a －43a －272a －12. 所以S ′＞0，即S 在[2，＋∞)上单调递增，所以a ＝2时，S min ＝3×2－4272×2－1＝118. 【变式训练5】解：(1)∵f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d .∴b ＝0，d ＝0.故f (x )＝ax 3＋cx .而它的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12和(2,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝a ＋c ＝－12，f 2＝8a ＋2c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，c ＝－1，故f (x )＝12x 3－x . 从而f ′(x )＝32x 2－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋63. 由f ′(x )＞0，得f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63和⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞； 由f ′(x )＜0，得f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63. (2)令g (x )＝0，得f (x )＝5t ，要使得方程g (x )＝0有且只有一个解，即函数y ＝f (x )与y ＝5t 的图象有且只有一个交点，而由(1)知，f (x )在x ＝－63时取得极大值，在x ＝63时取得极小值， 而f ⎝⎛⎭⎪⎫－63＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－633－⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝269， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫63＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝－269， 故要使得y ＝f (x )与y ＝5t 的图象只有一个交点，则5t ＞269或5t ＜－269，即t ＞2645或t ＜－2645.。

第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题高考定位 1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真 题 感 悟1.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B. 答案 B2.(2016·浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜1解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A3.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0)4.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0考 点 整 合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.2.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离). 4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝ca＝1＋b 2a2；②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±a bx ；(3)抛物线：设y 2＝2px (p ＞0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为其焦点. ①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.热点一 直线与圆的有关问题 [考法1] 求圆的方程【例1－1】 (1)(2018·北京东城区月考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. (2)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，左、右顶点的坐标为(－4，0)，(4，0)，由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)，设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(m >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254探究提高 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用. [考法2] 圆的切线问题【例1－2】 (1)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线l ：2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π (2)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________.解析 (1)由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小(D 为切点)，只需圆C 的半径或直径最小，又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC 所在直线与l 垂直时，|OD |最小(D 为切点)，即圆C 的直径最小，则|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.(2)依题意得△OO 1A 是直角三角形，∴|OO 1|＝5＋20＝5，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4.答案 (1)A (2)4探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理. [考法3] 直线与圆的位置关系【例1－3】 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )， ①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ， 则kC 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·yx＝－1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53.所以此时M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ＜3.②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.(3)由(2)知点M 的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253.又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点.探究提高 此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画出轨迹C 时，若把端点E ，F 画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2. 答案 2 2(2)(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).①设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；②设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；③设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围. 解 ①圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0). 则（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. ②∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝25，∴由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. ③由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P 、Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221]. 热点二 圆锥曲线的定义、方程、性质的应用[考法1] 定义与标准方程的应用【例2－1】 (1)(2015·浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析 (1)由图形知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. (2)由题设知b a ＝52，① 又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.答案 (1)A (2)B探究提高 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定. [考法2] 几何性质与标准方程的应用【例2－2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14(2)(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析 (1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上， ∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D. (2)由题意可得，a 2＋4a 2＝54，得a 2＝16，又a >0，所以a ＝4，故答案为4.答案 (1)D (2)4探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.【训练2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223(2)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x 解析 (1)不妨设a >0.因为椭圆C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x 轴上，且c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.故选C.(2)法一 由题意知，e ＝c a＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.答案 (1)C (2)A1.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线. 3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.4.在椭圆焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α， 则S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2·tan α2.5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c a；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a.6.通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c .一、选择题1.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1解析 由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a＝23＋1＝3－1.故选D.答案 D2.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2解析 法一 由离心率e ＝ca＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝22，故选D. 答案 D3.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.53－4B.52－4C.53－3D.52－3解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝5 2.所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－4. 答案 B4.(2017·杭州测试)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选D.答案 D5.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[2，32]D.[22，32]解析 圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32].根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]. 答案 A6.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1解析 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP→＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C. 答案 C 二、填空题7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________. 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. 答案 28.(2015·浙江卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5 或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 159.设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝110.(2018·绍兴仿真考试)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则点M 的轨迹方程是________，圆心C 的横坐标的取值范围是________.解析 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 的轨迹是以P (0，－1)为圆心，半径为2的圆.设圆C 的圆心C (t ，2t －4).由题意可得圆C 与圆P 至少有一个公共点，所以1≤t 2＋[2t －4－（－1）]2≤3，解得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.所以圆心C 的横坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.答案 x 2＋(y ＋1)2＝4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12511.(2018·宁波调研)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0，2)，则p 等于________，|AB |＝________.解析 由题意知直线AB 的方程为y ＝x －p2，垂直线平分线方程为y ＝－x ＋2，联立上面两直线方程得y ＝1－p 4，x ＝1＋p4，即AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p4，1－p 4. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2则y 2－y 1y 222p －y 212p＝2p y 1＋y 2＝1，∴y 1＋y 22＝p ， ∴1－p 4＝p ，∴p ＝45.|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 4＋p ＝165. 答案 45 16512.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案3－1 2三、解答题13.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.14.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x ，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k （y 1＋y 2）k ＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .15.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)， 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。

浙江省杭州市高考数学二轮复习：12 圆锥曲线的综合问题姓名:________班级:________成绩:________一、 解答题 (共 15 题；共 145 分)1. （10 分） (2018 高二上·浙江月考) (6’+9’)已知双曲线， 为 上的任意点。

（1） 求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2） 设点 的坐标为，求 的最小值.2. （10 分） (2018 高二上·南宁月考) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为 ，且过点.（1） 求椭圆 的方程；（2） 若点分别是椭圆 的左右顶点，直线 经过点 且垂直于 轴，点 是椭圆上异于的任意一点，直线 交 于点 .①设直线的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：为定值；②设过点 垂直于 的直线为，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.3. （10 分） (2019 高二上·唐山月考) 已知定点， 是直线 ：垂线与线段 的垂直平分线交于点 . 的轨迹记为 .上一动点，过 作 的（1） 求 的方程；（2） 直线 （ 为坐标原点）与 交于另一点 ，过 过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.作 垂线与交于，直线第 1 页 共 18 页是否4. （10 分） (2018·南阳模拟) 已知抛物线交曲线 于两点，交圆于的焦点为，过点 且斜率为 的直线两点（两点相邻）.(Ⅰ)若，当时，求 的取值范围；(Ⅱ)过两点分别作曲线 的切线，两切线交于点 ，求与面积之积的最小值.5. （10 分） (2019 高二上·宾县月考) 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于，求证为定值．两点，交 轴于点，若6. （10 分） 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点为 F（0，1）， （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若直线 AO，BO 分别与直线 y=x﹣2 交于 M，N 两点，求|MN|的取 值范围．7. （10 分） (2018·丰台模拟) 已知椭圆 ： 在椭圆 上．的一个焦点为，点（Ⅰ）求椭圆 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆 上不与 点重合的两点 ， 关于原点 对称，直线两点．求证：以为直径的圆被 轴截得的弦长是定值．， 分别交 轴于 ，8. （10 分） (2017·山东) 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 焦距为 2．（14 分）（Ⅰ）求椭圆 E 的方程．=1（a＞b＞0）的离心率为 ，第 2 页 共 18 页（Ⅱ）如图，该直线 l：y=k1x﹣ 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 OC 的斜率为 k2 ， 且看 k1k2=，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．9. （10 分） (2019 高二上·洮北期中) 已知椭圆的离心率为 ，且经过点 P，过它的左、右焦点分别作直线 l1 和 12.l1 交椭圆于 A．两点，l2 交椭圆于 C,D 两点， 且（1） 求椭圆的标准方程. （2） 求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围.10. （10 分） (2017·河北模拟) 给定椭圆 C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点 O，半径为的圆是椭圆 C 的“准圆”．若椭圆 C 的一个焦点为 F（ ，0），其短轴上的一个端点到 F 的距离为 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1 ， l2 交“准圆”于点 M，N．（ⅰ）当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1 ， l2 的方程并证明 l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段 MN 的长为定值．第 3 页 共 18 页11. （10 分） (2018 高二上·阜城月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆 过点，直线交 轴于 ，且， 为坐标原点．（1） 求椭圆 的方程；（2） 设 的斜率分别为是椭圆 ，且的上顶点，过点 分别作直线 ，证明：直线 过定点．交椭圆 于两点，设这两条直线12. （10 分） (2019 高三上·汕头期末) 已知椭圆 ：短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.的离心率为 ，以椭圆长、（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点分别交椭圆于两点 、 ，求四边形面积的最大值.在定直线上运动时，直线13. （5 分） (2016 高二上·岳阳期中) 设直线 l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆 3x2+y2=a2（a＞0）相交于 A、B 两个不同的点，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点．第 4 页 共 18 页（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．14. （ 5 分 ） (2018· 门 头 沟 模 拟 ) 已 知 椭 圆中恰有二点在椭圆 上，且离心率为。

第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。

（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。