《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：2-3

一、选择题1．(2013年成都模拟)下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°解析：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.故选B. 答案：B2．(2013年厦门质检)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则tan α等于( )A ．－65 B ．－1 C ．－34D.65解析：由题tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝17－11＋17×1＝－34，故选C. 答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35 解析：由条件得32sin α＋32cos α＝453， 即12sin α＋32cos α＝45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45.答案：A4．(2013年潍坊质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，α＋π3的终边上的一点的坐标为(－4,3)，则sin α等于( )A.3＋4310B.3－4310C.3±4310D.－3＋4310解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2及三角函数的定义可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－45，所以可得sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝3＋4310，故选A.答案：A5．(2013年驻马店模拟)函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( )A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2πD.2＋1,2π解析：y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T ＝2π2＝π.答案：B 二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0.∴cos α＝sin α.∴α＝π4. 答案：π4 7．计算sin (－250°)cos 70°cos 2155°－sin 225°＝________.解析：－sin (270°－20°)cos (90°－20°)cos 225°－sin 225°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝sin 40°2cos 50°＝sin (90°－50°)2cos 50°＝12. 答案：128．(2013年济南质检)已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45，∴tan x ＝－12，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－39．(2013年温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 答案：43 三、解答题10．(2013年毫州质检)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan 2α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2.∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝231－19＝34.(2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin (β－α)cos (β－α)＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝12－131＋12×13＝17. 11．(2013年衡阳模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． 解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4.∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2 105，得sin α2＋cos α2＝2105，∴1＋sin α＝85.∴sin α＝35. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45.∴tan α＝sin αcos α＝34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.12．(能力提升)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解析：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a (3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝0.由于cos α≠0，∴6tan 2 α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴tan α<0，∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年宝鸡中学月考)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.解析：由根与系数的关系知⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－6<0，tan α·tan β＝7>0，∴⎩⎨⎧tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，且tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，故α＋β＝－3π4.答案：－3π42．已知函数f (x )＝2sin 2nx ＋2sin nx cos nx －1(n >0)的最小正周期为π8，则n ＝________.解析：因为f (x )＝2 sin 2nx ＋2sin nx cos nx －1＝sin 2nx －cos 2nx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nx －π4，所以函数f (x )的最小值2π2n ＝π8，故n ＝8. 答案：83．(2013年玉林模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求f (x )的解析表达式；(2)若α是三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域． 解析：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.于是tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy ＝2x .∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2. (2)∵α是三角形的最小内角， ∴0<α≤π3，即0<x ≤ 3.∵1f (x )＝1＋2x 2x ＝2x ＋1x ， 设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22⎝⎛当且仅当x ＝22)时取等号，故函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.。

＝2.∴ α 1－
tan
＝2. α
2
1
2tan α 3 3
∴tan
α＝3.∴tan
2α＝ 1－
tan2α＝
1＝ 1－9
4.
sin α＋β－2sin αcos β (2)
2sin αsin β＋cos α＋β
sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β ＝
2sin αsin β＋cos αcos β－ sin αsin β
(2)由 f(α)＝ 2
5 10，得
αα sin2＋cos2＝
2
510，
8
3
∴1＋sin α＝5.∴sin α＝ 5.
π 又 α∈0，2 .
∴cos α＝ 1－ sin2α＝
1－295＝ 45.
sin α 3 ∴tan α＝cos α＝4.
π3
π tan α＋ tan4 4＋ 1
π. 答案： B 二、填空题
6．已知 α，β均为锐角，且 cos(α＋ β)＝sin(α－β)，则 α＝________.
学习好资料
欢迎下载
解析： 依题意有 cos αcos β－ sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即 cos α(cos β
＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．
π ∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0.∴cos α＝sin α.∴α＝ 4.
答案：
π 4
sin －250°cos 70 ° 7．计算 cos2155°－sin225°＝________.
－ sin 270°－20°cos 90°－20° cos 20 s°in 20 °

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：9-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：由回归分析的方法及概念判断． 答案：C2．(2013年广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位． 答案：C3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案：D4．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案：C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.答案：C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则这四位同学中，A B 解析：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．答案：丁7．(2013年嘉兴模拟)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 22根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%8．(2013年盐城测试)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：689．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p ∧綈q ②綈p ∧q③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ) ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )解析：本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④ 三、解答题10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y ＝b x 解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，再由a ＝y －b x ＝－307，得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 总计(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.0246.6357.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：(1)认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 总计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得到K 2的观测值为k ＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．12．(能力提升)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i ＝1x 2i＝5 075，7x2＝4 375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解析：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥检测)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝，y 0＝”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．答案：B2．(2013年东北四校联考)某超市为了了解热茶的销售量y (单位：杯)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x 解析：根据表格中的数据可得，x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.则a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，故y ^＝－2x ＋60. 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：8-5[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A2．(2013年长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22D.23解析：先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 答案：A3．(2013年佛山月考)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )A ．1 B.83 C ．2 2D.263解析：由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案：D4．(2013年江西七校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：由椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)知，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝2， 两式相加得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |， ∴|AB |＝43.答案：C5．(2013年温州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析：由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a ，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 答案：A 二、填空题6．(2013年南京模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12.答案：127．(2013年江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：48．(2013年泰安模拟)M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， |MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝a 2＝9.答案：99．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．解析：∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝12×18＝9.答案：9三、解答题10．(2013年德州模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为 5.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于两点E ，F ，O 为坐标原点，若△OEF 为直角三角形，求直线l 的斜率．解析：(1)由已知ca ＝32，a 2＋b 2＝5， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)根据题意，过点D (0,4)满足题意的直线斜率存在，设l ：y ＝kx ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋32kx ＋60＝0，Δ＝(32k )2－240(1＋4k 2)＝64k 2－240，令Δ>0，解得k 2>154.设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， (i)当∠EOF 为直角时，则x 1＋x 2＝－32k 1＋4k 2，x 1x 2＝601＋4k 2，因为∠EOF 为直角，所以O E →·O F →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝0， 所以＋k 21＋4k2－32k 21＋4k2＋4＝0， 解得k ＝±19.(ii)当∠OEF 或∠OFE 为直角时，不妨设∠OEF 为直角， 此时，k OE ·k ＝－1，所以y 1x 1·y 1－4x 1＝－1，即x 21＝4y 1－y 21， ① 又x 214＋y 21＝1， ②将①代入②，消去x 1得3y 21＋4y 1－4＝0， 解得y 1＝23或y 1＝－2(舍去)，将y 1＝23代入①，得x 1＝±235，所以k ＝y 1－4x 1＝±5， 经检验，所求k 值均符合题意， 综上，k 的值为±19和± 5.11．(2012年高考天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．解析：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a ＋a 22b ＝1，可得b 2a ＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 2b2＝1.消去y 0并整理得x 2＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得， (x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2， 整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，故x 0＝－2a1＋k2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.12．(能力提升)(2013年徐州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4,0)，求△PMN 面积的最大值．解析：(1)设Q (x 0,0)．∵F 2(c,0)，A (0，b )，则F 2A →＝(－c ，b )， AQ →＝(x 0，－b )，又F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，故x 0＝－b 2c ，又2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c ＋c ，即b 2＝3c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝12.(2)∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b ＝3c ，则F 2(c,0)，Q (－3c,0)，A (0，3c )． ∴△AQF 2的外接圆圆心为(－c,0)，半径r ＝12|F 2Q |＝2c ＝a .∴|－c －3|2＝2c ，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3， 椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(3)设直线MN 的方程为：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， |y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝43·3m 2＋33m 2＋4.∴S △PMN ＝12|PF 2|·|y 1－y 2|＝63·3m 2＋33m 2＋4， 令 3m 2＋3＝λ≥ 3，∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ≤ 633＋13＝92，∴△PMN 面积的最大值为92，此时m ＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年厦门质检)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.3－ 2C.3－1D.2－1解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m . 又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m . 所以椭圆的离心率e ＝2c2a ＝621＋22＝6－ 3.答案：A2．(2013年佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________．解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：34。