专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
直角三角形的概念直角三角形是几何学中的一个重要概念，它是指一个三角形中有一个内角等于90度的三角形。
直角三角形的特性和性质十分独特，对于解题和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从直角三角形的定义、性质、应用以及解题技巧等方面进行论述。
1. 直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中有一个内角等于90度的三角形。
直角三角形的顶点处于直角的位置，另外两条边被称为直角边和斜边。
直角边的长度可以不等，根据直角边的长度和斜边的长度可以确定直角三角形的其他性质。
2. 直角三角形的性质（1）勾股定理：直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
（2）正弦定理：直角三角形中，直角边和斜边的比例满足正弦函数的关系。
即sinA = a/c，sinB = b/c，其中A和B分别为直角边所对应的角，a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度。
（3）余弦定理：直角三角形中，斜边和直角边的比例满足余弦函数的关系。
即cosA = b/c，cosB = a/c，其中A和B分别为直角边所对应的角，a和b分别为直角边的长度，c为斜边的长度。
（4）判别直角三角形：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2的关系，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 直角三角形的应用（1）三角函数的计算：在解决与角度和长度有关的问题中，直角三角形的性质可以帮助我们计算三角函数的值，包括正弦、余弦和正切等。
（2）测量工程：直角三角形的性质在测量工程中有着广泛的应用。
例如，利用斜边和某个角的正弦函数，可以通过斜边的长度和对应角的值来确定其他边的长度。
（3）图形的构造：直角三角形可作为图形的构造元素。
在绘制图形或设计建筑等方面，直角三角形的性质和比例可以帮助我们合理地规划和设计。
4. 直角三角形的解题技巧（1）根据已知条件确定角度和边长关系：根据问题中给出的条件，利用直角三角形的性质，确定不同角度和边长之间的关系。
直角三角形的性质和判定教学设计沿河县第三中学冯保胜教材说明：《直角三角形的性质与判定》是湘教版八年数学上册第三章第五节第一课时的内容，通过本节课的学习，既可以对七年级下册所学的直角三角形知识进行巩固与深化，又可以为后面九年级学习解直角三角形打下基础。
所以《直角三角形的性质与判定》是本章的重要内容。
此外本节知识与我们的日常生活、生产、科学研究有着密切联系，因此学习本节内容有着广泛的现实意义。
设计思路：本节课先通过复习，让学生知道什么是直角三角形，知道直角三角形的斜边与直角三角形的两锐角互余等知识，既能为学习本节知识扫清障碍又能自然地引出本课课题；在说一说的基础上，归纳出直角三角形的判定定理，是让学生的认知活动逐步深化，进一步培养学生的分析归纳能力；设计学生测量、比较、分析、猜测、推理论证得出直角三角形中线的性质这一教学活动，是为了培养学生的动手能力、观察能力及推理能力，让学生体验合作学习带来的成功，从而培养他们的合作探究能力，同时让学生初步感知几何证明中所用的“同一法”；对例题的教学主要是为了让学生做到学以至用，同时是让学生初步感受证明命题的方法。
总之本节课我在设计上，努力体现教师的主导作用，充分体现学生的主体作用，以问题为基础，以能力方法为主线，有计划地培养学生的自学能力、观察能力和实践能力以及运用知识解决实际问题的能力，进一步培养学生的创新意识。
教学目标：知识与技能：1、理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理2 、能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。
过程与方法：1、通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。
2、让学生体验“同一法”的证明方法。
情感、态度与价值观：让学生感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，从而主动参与数学思维与交流活动。
教学重点：让学生掌握直角三角形的判定定理与斜边上的中线性质定理。
教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与论证。
