中科院计算流体力学最新讲义CFD116讲差分方法4

… j-2 j-1 j j+1 …
（等距网格） 等距网格）
u 2u = 2 t x
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ T
u j +1 u j u + O (x) = x x j u j +1 u j 1 u + O( x 2 ) = 2x x j
u 1 2u 1 3u 2 u j +1 = u j + ( ) j x + ( 2 ) j x + ( 3 ) j x 3 ...... x 2! x 3! x
分析误差对网格步长的依赖关系 lg err 斜率为精度的阶数 （通常用最小二乘法计算）
常用的模： 常用的模： φ 1 模： 2 模： φ 无穷模： 无穷模
j 1
= =
∑φ
j
j
j 2
1 N
j
∑φ
j
2 j
φj
∞
= max φ j
lg x
典型的文章： 提出方法+理论分析 + 算例验证
Copyright by Li Xinliang
Shu-Osher问题的计算结果 （Li et 问题的计算结果 al. Init. J. Num. Fluid. 2005)
航空领域权威的考核算例—— DPW标准计算模型 航空领域权威的考核算例 标准计算模型
Copyright by Li Xinliang 常用一、 常用一、二维算例整理后已发到流体中文网 6
基本概念： 基本概念：
a. 差分表达式及截断误差 差分表达式及截断误差:
精度 （1阶） 截断误差 （2阶）
2 u u j +1 u j 1 u 2 x + L = x 2! x j x j

(4.1.6)
上式中因子 G(k) 称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。
Von Neumann 条件
对于二层差分格式
F n1 j
L
Fjn
令
Fjn
f en ikxj k
(4.1.4) (4.1.5)
若(4.1.4)可写为
f n1 k
G(k)
fkn
(4.1.6)
上式中因子 G(k) 称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。
上式中因子 G(k) 称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。
Fourier 方法
对于二层差分格式
F n1 j
L
Fjn
(4.1.4)
令
Fjn
f en ikxj k
(4.1.5)
若(4.1.4)可写为
f n1 k
G(k)
fkn
(4.1.6)
上式中因子 G(k) 称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。
上式中因子 G(k) 称为增长因子。
u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
,
u
0 j
j
(xj )
(4.1.2)
1
2
Uˆ
(k
,
tn
1
)eikx
dk
1
2
Uˆ
(k
,
tn
)eikx
dk
a
1
2
Uˆ
(k , tn
)eikxdk
1
2
Uˆ
(k
,
tn
)eik
(
xx
)dk
由此得出：

这里生成网格采用的是椭圆 型方程， 型方程，和流动的性质无关
a) 物理平面
流动的控制方程无论是椭圆 双曲型还是抛物型的， 型、双曲型还是抛物型的， 都可以采用这种椭圆型的方 程来生成网格。 程来生成网格。
b) 计算平面
贴体坐标系：椭圆型网格生成 贴体坐标系：
在亚声速流中， 在亚声速流中，扰动会 传播得非常远， 传播得非常远，因此网 格的外边界放在了离翼 型非常远的地方。 型非常远的地方。
拉伸（压缩）网格 拉伸（压缩）
物理平面上的连续性方程
用逆变换来表示导数（含J）： 用逆变换来表示导数（ ）：
拉伸（压缩）网格 拉伸（压缩）
逆变换（解析变换） 逆变换（解析变换）
计算平面上的连续性方程： 计算平面上的连续性方程：
5.6 贴体坐标系：椭圆型网格生成 贴体坐标系：
贴体坐标系：椭圆型网格生成 贴体坐标系：
引言
采用均匀网格计算翼 型绕流有如下问题： 型绕流有如下问题：
2）只有少量的网格点落在翼型表面上，这也不好。因为 ）只有少量的网格点落在翼型表面上，这也不好。 翼型表面是极其重要的边界， 翼型表面是极其重要的边界，翼型表面上的边界条件确定 了整个流动。 了整个流动。
引言
1）翼型内部没有网格点 ） 2）网格点落在翼型表面上 ）
度量和雅可比行列式
从物理平面(x,y,t) 从物理平面
计算平面(ξ η τ 计算平面 ξ,η,τ) 如果上述变换式用解析形 式给出， 式给出，则度量也能得到 解析值。 解析值。
度量和雅可比行列式
从物理平面(x,y,t) 从物理平面
计算平面(ξ η τ 计算平面 ξ,η,τ) 大部分情况下， 大部分情况下，上述关系 式是用数值形式给出的， 式是用数值形式给出的， 则度量用有限差分计算。 则度量用有限差分计算。

知识回顾
1. 差分格式的分辨率
修正 波数
u(xj ) eikxj
~
xuj
k eikxj x
2. 群速度控制(GVC)
u
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3x
4
5
6
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3x
4
5
6
u
有效网格点数： 一个波长里 面的网格点数 （PPW: Point per Wavelength)
PPW xk2 x2
差分方程单调性（无振荡）条件： 差分方程 （1）中的系数非负
u n j 1 tu n j u n j 1 2 x u n j 1 R 1 x 2 e (u n j 1 2 u n j u n j 1 )
t/x
u n j 1 ( R e 1 x 1 2 ) u n j 1 ( 1 R 2 e x ) u n j ( R e 1 x 2 1 ) u n j 1
双曲型守恒方程
u f (u) 0 t x
特点： 沿特征线 d/xd t a， u不变
a f u
特征线未相交—— 总变差不变
特征线相交—— 总变差减小
结论： 单个双曲型方程，总变差不增 （Total Variation Diminishing： TVD）
Copyright by Li Xinliang
分离流—— 对粘性敏感
Von Neumann
(b1x)2I
x
U x
U x
MacCormack
a2x3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|u|c2pU
x