二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结 (含例解答案)

二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

07 08 09

动点个数 两个 一个 两个

问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动

考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形

考

点 ①菱形性质

②特殊角三角函数

③求直线、抛物线解析式

④相似三角形

⑤不等式 ①求直线解析式

②四边形面积的表示

③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标

②探究平行四边形

③探究动三角形面积是定值

④探究等腰三角形存在性

特

点 ①菱形是含60°的特殊菱形；

△AOB是底角为30°的等腰三角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积

②动点按到拐点时间分段分类

③画出矩形必备条件的图形探究其存在性

①直角梯形是特殊的（一底角是45°）

②点动带动线动

③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）

共同点：

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．

（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；

（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． ①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

[解] （1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，．

设抛物线2C的解析式是

2(0)yaxbxca，

则16404208abcabcc，，．

解得168abc，，．

所以所求抛物线的解析式是268yxx．

（2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，．

过点N作NHAD，垂足为H．

当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt．

根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．

所以2ADNSS△．

所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt．

因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤．

所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤．

（3）781444St，（04t≤）．

所以74t时，S有最大值814．

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．

所以ODON．所以2222ODONOHNH． 所以22420tt．解之得126262tt，（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC，，三点，点A的横坐标为1，过点(03)C，的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H．若5PBt，且01t．

（1）确定bc，的值：__________bc，；

（2）写出点BQP，，的坐标（其中QP，用含t的式子表示）：

(______)(______)(______)BQP，，，，，；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB△为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）94b

3c

（2）(40)B，

(40)Qt，

(443)Ptt，

（3）存在t的值，有以下三种情况

①当PQPB时

PHOB，则GHHB

4444ttt

13t

②当PBQB时

得445tt

49t yC

A O Q HB P

x ③当PQQB时，如图

解法一：过Q作QDBP，又PQQB

则522BPBDt

又BDQBOC△∽△

BDBQBOBC

544245tt

3257t

解法二：作RtOBC△斜边中线OE

则522BCOEBEBE，，

此时OEBPQB△∽△

BEOBBQPB

542445tt

3257t

解法三：在RtPHQ△中有222QHPHPQ

222(84)(3)(44)ttt

257320tt

32057tt，（舍去）

又01t

当13t或49或3257时，PQB△为等腰三角形．

解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析

Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。 C

O P

Q D

B

C

O P

Q E

B

C

O P

Q HB