一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
10
3b c c ++=⎧⎨
=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=32，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3
∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=1
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
2
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
2．如图，抛物线y ＝12
x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝
213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3
2，﹣258
）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5
4
）． 【解析】 【分析】
（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】
（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112
⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2． y 21322x =
-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325
2
8
，
-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，213
22
x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．
（3）∵顶点D 的坐标为 （32528，
-），∴抛物线的对称轴为x 32
=． ∵抛物线y 12=
x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 213
22
x =-x ﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x 3
2
=
交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：2
40b k b =-⎧⎨+=⎩，
解得：122k b ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩
，∴y 12=x ﹣2．
当x 32=
时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（35
24-，
）． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为P （2，9），与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C （0，5）． （Ⅰ）求二次函数的解析式及点A ，B 的坐标；
（Ⅱ）设点Q 在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q ′也在抛物线上，求点Q 的坐标；
（Ⅲ）若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，使得以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且AC 为其一边，求点M ，N 的坐标．
