高等代数习题答案（一至四章）
第一章 多项式 习题解答
1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262
()99
r x =--
（2）2
()1q x x x =+-，()57r x x =-+
2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22
(2)010m p m q p m ⎧--=⎪
⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212
q p m =⎧⎨+=⎩。 3、（1）4
3
2
()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--
4、（1）有综合除法：2
3
4
5
()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2
3
4
()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++
（3）2
3
4
()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++
5、（1）x+1 （2）1 （3）2
1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222
()133
v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3
2
()32v x x x x =+--
7、02u t =⎧⎨
=⎩或2
3
u t =-⎧⎨=⎩
8、思路：根具定义证明
证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。 由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。即证。
9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以
（f （x ），g （x ））h （x ）= u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。
另一方面，由((),())()f x g x f x 知((),())()()()f x g x h x f x h x 。同理可得
((),())()()()f x g x h x g x h x 从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又
因为((),())()f x g x h x 的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。
10. 证 存在u （x ），v （x ）使有因为f （x ），g （x ）不全为0，所以(()())0f x g x ≠，由消去律可得 所以。
11.由上题结论类似可得。
12. 证 由假设，存在使（1） （2），将（1）（2）两式相乘得 所以((),())()1f x g x h x =
13. 证 由于
反复应用第12题结论，可得同理可证 从而可得
14. 证 有题设知(),()1f x g x =，所以存在v （x ），v （x ）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而 u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以
((),()())1f x f x g x +=同理((),()())1g x f x g x +=再有12题结论，即证 (()(),()())1f x g x f x g x +=
15、
12
-±。 16、（1）由x-2得三重因式 （2）无重因式。 17、当t=3时有三重根x=1,；当t=154-由二重根1
2
x =。 18、3
2
4270p q +=
19、a=1，b=-2 。
20、证 因为f （x ）的导函数所以于是 从而f （x ）无重根。 21、证 因为，，由于a 是的k 重根，故a 是的k+1重根。代入验算知a 是g （x ）的根。所以s-2=k+1⇒s=k+3，即证。
22、证 必要性：设0x 是f （x ）的k 重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是的一重根，并且
0x 不是的根。于是，而。
充分性 由而，知0x 是的一重根。又由于，知0x 是的二重根，以此类推，可知0x 是f （x ）的k 重根。
23、解：例如：设1
1()11
m f x x m +=
-+，那么'()m f x x =以0为m 重根。 24、证 要证明，就是要证明f （1）=0（这是因为我们可以把n
x 看做为一个变量。 有题设由，所以也就是f （1）=0，即证。
25、当n 为奇数时，
1121
222
2
2
2
1(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x εε
εε
ε
ε
-+---=--++--+-++
当n 为偶数时
1121
222
2
2
2
1(1)(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x x εε
εε
ε
ε-+---=+--++--+-++27、（1）利用
剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：12-
，1
2
- （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
28、（1）因为±1都不是它的根，所以2
1x +在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。
（3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
第二章 行列式 习题解答
1、均为偶排列
2、（1）i=8，k=3 （2）i=3 k=6
3、
4、当n=4k ，4k+1时为偶排列 当n=4k+2,4k+3时为奇排列
5、
(1)
2
n n k -- 6、正号
7、11233244a a a a -，12233441a a a a -，14233142a a a a - 8、（1）原式=(1)
2
(1)
!n n n -=-，（2）1
(1)
!n n -=- （3）(1)(2)
2
(1)
!n n n --=-
9、解：行列式展开得一般项可表示为1234512345j j j j j a a a a a ，列标345j j j 只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。
10、解：含有4
x 的展开项中只能是11223344a a a a ，所以4
x 的系数为2；同理，含有3
x 的张开项中只能是
12213344a a a a ，所以3x 的系数为-1。
