保险精算学-笔记-涵盖(利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富)

第一章：利息理论基础

第一节：利息的度量

一、利息的定义

利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

二、利息的度量

利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有

1、 按照计息时刻划分：

期末计息：利率

期初计息：贴现率

2、 按照积累方式划分：

（1）线性积累：

单利计息

单贴现计息

（2）指数积累：

复利计息

复贴现计息

（3）单复利/贴现计息之间的相关关系

Ø

单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 3、按照利息转换频率划分：

（1）一年转换一次：实质利率 （实质贴现率 ）

（2）一年转换 次：名义利率 （名义贴现率 ）

（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力

特别，恒定利息效力场合有

三、变利息

1、 什么是变利息

2、 常见的变利息情况

（1）连续变化场合

（2）离散变化场合

第二节：利息问题求解原则

一、利息问题求解四要素

1、 原始投资本金

2、投资时期的长度

3、利率及计息方式

4、本金在投资期末的积累值

二、利息问题求解的原则

1、本质

任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。

2、工具

现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。

3、方法 建立现金流分析方程（求值方程）

4、原则

在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。

第三节：年金

一、 年金的定义与分类

1、 年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。

2、 年金的分类：

（1） 基本年金

约束条件：等时间间隔付款

付款频率与利息转换频率一致

每次付款金额恒定

（2） 一般年金

不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。

二、基本年金

1、 分类 （1）付款时刻不同：初付年金/延付年金

（2）付款期限不同：有限年金/永久年金

2、 基本年金公式推导

3、 变利率年金问题

（1） 时期变利率（第 个时期利率为 ）

（2） 付款变利率（第 次付款的年金始终以利率 计息）

三、一般年金 1、分类

（1）支付频率不同于计息频率

（2）变额年金

2、支付频率不同于计息频率年金

（1）支付频率小于计息频率的年金分析

方法一：利率转换

方法二：年金的代数分析

（2）支付频率大于计息频率的年金分析

方法一：利率转换

方法二：年金的代数分析

（3） 连续年金

特别，在常数利息效力场合

3、变额年金

（1） 等差年金

初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：

现时值：

积累值：

特别地，

递增年金：P=Q=1 现时值：

积累值：

递减年金：P=n，Q=-1

现时值：

积累值：

（2） 等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（ ）倍）

现时值：

积累值：

第四节：收益率

一、收益率的概念

1、贴现资金流与现金流动表

2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”

二、 收益率的唯一性判别

1、 由于收益率是高次方程的解，所以它的解很可能不唯一。

2、 Descartes符号判别定理：收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。

3、 收益率唯一性判别定理二：整个投资期间未动用投资余额始终为正，收益率唯一。

三、再投资率

1、 本金的再投资率

2、 利息的再投资率

四、基金的利息度量

1、 币值加权方法

2、 时间加权方法

第五节：分期偿还表和偿债基金

一、分期偿还和偿债基金的概念 1、 分期偿还：借款人按一定的周期用分期付款的办法偿还贷款，这种还贷方法称为分期偿还。

2、 偿债基金：借款人在贷款期末用一次的集中付款来偿还贷款人。利息则在此期间分期付款，并假设借款人周期性地付款给一个“基金”，该“基金”在贷款期末的积累值正好可以偿还贷款本金。

二、分期偿还表

时期 付款金额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款余额

0 - - -

1 1

1

1 0

总计

三、偿债基金

时期 付款金额 支付利息 存入偿债基金 偿债基金积累值 未偿还贷款余额

0 - - - - 1

1

0

总计

对偿债基金而言，第 次付款的实际支付利息为：

第 次付款的实际偿还本金为：

第二章 生命表函数与生命表构造

第一节 生命表函数

一、生存函数

1、 定义：

2、 概率意义：新生儿能活到 的概率

3、 与分布函数的关系：

4、 与密度函数的关系： 二、剩余寿命

1、定义：已经活到x岁的人（简记 ），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

2、剩余寿命的分布函数

5、 ： ，

它的概率意义为： 将在未来的 年内去世的概率，简记

3、剩余寿命的生存函数： ，

它的概率意义为： 能活过 岁的概率，简记

特别：

（1）

（2）

（3）

（4） ： 将在 岁与 岁之间去世的概率

4、 整值剩余寿命

（1）定义： 未来存活的完整年数，简记

（2）概率函数：

5、剩余寿命的期望与方差

（1）期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值（均值），简记

（2）剩余寿命的方差：

6、整值剩余寿命的期望与方差

（1）期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值（均值），简记

（2）整值剩余寿命的方差： 2

三、死亡效力

1、定义： 的人瞬时死亡率，记作

2、死亡效力与生存函数的关系

3、死亡效力与密度函数的关系

4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数

记 为剩余寿命 的分布函数， 为 的密度函数，则

第二节 生命表的构造

一、有关寿命分布的参数模型 1、de Moivre模型（1729）

2、Gompertz模型（1825）

3、Makeham模型（1860）

4、Weibull模型（1939）

二、生命表的起源

1、参数模型的缺点

（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。

（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差

（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 （4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。

2、生命表的起源

（1）生命表的定义

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.

（2）生命表的发展历史

1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。

1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。

（3）生命表的特点

构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）

三、生命表的构造

1、原理

在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）

2、常用符号 （1）新生生命组个体数：

（2）年龄：

（3）极限年龄：

（4） 个新生生命能生存到年龄 的期望个数：

（5） 个新生生命中在年龄 与 之间死亡的期望个数：

特别，当 时，记作

（6） 个新生生命在年龄 与 区间共存活年数：

（7） 个新生生命中能活到年龄 的个体的剩余寿命总数：

四、选择与终极生命表

1、选择-终极生命构造的原因