函数的零点与二分法
1、 掌握函数的零点和二分法的定义．
2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：
定义：一般地，如果函数yfx在实数a处的值等于零即0fa，则a叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：
函数零点个数的确定方法：
1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；
2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；
3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间,ab上是连续不间断的，且f(a)∙f（b）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：
定义：对于区间,ab上连续的，且0fafb的函数yfx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：
用二分法求函数零点的近似值
第一步：确定区间,ab，验证：f(a)∙f（b）＜0，给定精确度；
第二步：求区间,ab得中点1x；
第三步：计算1fx；若1fx=0，则1x就是函数零点；若f(a)∙f（𝑥1）＜0，则令1bx；若f(𝑥1)∙f（b）＜0，则令1ax
第四步：判断是否达到精确度，即若ab，则得到零点近似值a()b或，否则重复第二、
三、四步。
类型一求函数的零点
例1：求函数y＝x－1的零点：
解析：令y＝x－1＝0，得x＝1，
∴函数y＝x－1的零点是1.
答案：1
练习1：求函数y＝x3－x2－4x＋4的零点．
答案：－2,1,2.
练习2：函数f(x)＝2x＋7的零点为( )
二分法的定义与应用
4．二分法的定义与应用
【二分法的定义】
二分法 即一分为二的方法．设函数 f（x）在[a，b]上连续，且满足 f（a）•f（b）＜0，我们假设 f（a）＜0，f
（b）＞0，那么当 x1 = 푎 + 푏
时，若 f（x1）＝0，这说 x1 为零点；若不为 0，假设大于 0，那么继续在[x1，b]区间 2
取中点验证它的函数值为 0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与 x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希
望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程푙푛푥
= 1
在[1，2]上的近似解，取中点 c＝1.5，则下一个有根区间是 [1.5，2] ．
푥
解：令函数 f（x）＝lnx ― 1
，由于 f（1.5）＝ln（1.5） ―
푥 1
1.5 = 1 1
（ln1.52﹣2）＜ （lne2﹣2）＝0，即 f（1.5）
3 3
＜0，
而 f（2）＝ln2 ― 1
2 = ln2﹣ln 푒 = ln 2
푒 = 1 4 1
2ln푒＞2ln1＝0，即 f（2）＞0，
1 / 2故函数 f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程푙푛푥
= 1
在[1.5，2]上有根，
푥
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定 f（a）•f（b）＜0 的 a，b 点；第二，寻找区间（a，b）
高中数学二分法
二分法：
1、定义：
二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。
2、特点：
二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。
3、应用场景：
二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。
4、具体实现：
二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。
5、优点：
二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。
6、缺点：
二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。
第 1 页 共 9 页 3.1.2 用二分法求方程的近似解（新人教版）
课标要点
课标要点 学考要求 高考要求
1.二分法 a a
2.利用二分法求方程的近似解 a a
知识导图
学法指导
1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，且该零点为变号零点．
2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响.
知识点 用二分法求方程的近似解
1．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)．
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 第 2 页 共 9 页 (2)若f(a)·f(c)<0，
则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，
则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )
(3)精确度ε就是近似值．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
