人教版中考数学压轴题 复习试卷

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．4．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．9．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．11．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．。

人教版2024—2025学年九年级下册中考数学二轮复习专题压轴题解题方法专题训练一、工具法例1.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD 于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B． C．D．随H点位置的变化而变化例1 变式1变式1：点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°二、极值法例2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（）A．有1个B．有2个C．有3个D．有无穷多个变式2：在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a＜0）与线段MN有一个交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1≤a＜0三、特殊值法例3.若实数a，b满足ab＝1，设M＝，N＝，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定变式3：无论m为何值，二次函数y＝x2+（2﹣m）x+m的图象总经过定点．四、特殊位置法：特殊点，特殊线，特殊角，特殊模型例4.如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5 B．2C．8 D．6变式4：（1）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（）A． B． C． D．（2）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A．2B．2 C．2D．五、排除法例5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．例5 变式5变式5：如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤六、转化法例6.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD 的最小值是．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝75°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是．例6变式6（1）变式6（2）七、综合分析法例7.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式7：如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8+．其中正确的命题有．（填序号）八、特征分析法例8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B 两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（）A．B．C．D．变式8：如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（）A．3 B．4 C．D．5例8变式8。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．4．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积2．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．3．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF ∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝12BP＝BC，∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝1S△AEF＝S△APF，2综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．5．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，∴分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°；若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°；若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.6．已知90AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角MCN ∠绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E .（1）如图1，若CD OA ⊥，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且2OD =，8OE =，请直接写出线段CE 的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3【解析】【分析】（1）先证四边形ODCE 为矩形，再证矩形ODCE 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，证四边形OGCH 为正方形，再证()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得；（3）根据()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得OE OD OH OG -=+=.【详解】解：（1）∵90AOB ∠=︒，90MCN ∠=︒，CD OA ⊥，∴四边形ODCE 为矩形.∵OP 是AOB ∠的角平分线，∴45DOC EOC ∠=∠=︒，∴OD CD =，∴矩形ODCE 为正方形，∴OC =，OC =.∴OD OE +=.（2）如图，过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，∵OP 平分AOB ∠，90AOB ∠=︒，∴四边形OGCH 为正方形，由（1）得：OG OH +=，在CGD ∆和CHE ∆中， 90CGD CHE CG CHDCG ECH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =，∴OD OE +=.（3）OG OH +=， ()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =. ∵OD GD OG =-，OE OH EH =+，∴OE OD OH OG -=+=，∴OC =∴CE =CE【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.7．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠E BB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB ′＝∠EB ′B ，∠ECB ′＝∠EB ′C ；又∵△BB 'C 三内角之和为180°，∴∠BB 'C ＝90°；∵点B ′是点B 关于直线AE 的对称点，∴AE 垂直平分BB ′；在Rt △AOB 和Rt △BOE 中，BO 2＝AB 2﹣AO 2＝BE 2﹣（AE ﹣AO ）2将AB ＝4cm ，BE ＝3cm ，AE ＝5cm ，∴AO ＝165 cm ， ∴BO ＝22AB AO -＝125cm ， ∴BB ′＝2BO ＝245cm ， ∴在Rt △BB 'C 中，B ′C ＝22BC BB '-＝518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．8．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(662,6)-；（2）(333,333)-+；（3）323323AP -+.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626-，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0），∴四边形OABC 是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B ，∵OB ＝62，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°，∴A′B ＝626-，∴BD ＝（626-）×21262=-，∴CD ＝6﹣（1262-）=626-，∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M ＝90°﹣∠B′C′N ＝∠C′B′N ，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS ），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM ＝30°，∴C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，∴点B′的坐标为()333,333-+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3，∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．9．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QC﹣QP=．【解析】试题分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD 的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC﹣QP=．考点：四边形的综合知识．10．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．（1）过D作DH AB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CP FP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，则∠DAH=∠ABC=60°，根据DH⊥AB得出∠DHA=90°，根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC 得出EF∥BC，则说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．试题解析：（1）解：∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BC CD="CB" ∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB ∴∠DHA=90°在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF ∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1、证明：连接CG、CF由（1）知△PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证：∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF（3）如图：CP⊥GF仍成立理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60°∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180°－∠EBF=120°∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120°∴∠DCG+∠GCE=120°∴∠FCE+∠GCE=120°即∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60°在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°==考点：三角形全等的证明与性质．。