平面向量总复习

高二数学理B 3.2.2 平面法向量与平面的向量表示

编号：6 编制：孙国兴 审核：李春焕 时间：2009-2-18

一．学习目标

1．理解平面法向量的概念，会求平面法向量.

2．掌握平面法向量的简单应用.

3．掌握三垂线定理及其逆定理，并会应用.

二．知识梳理

1.已知平面，如果一个向量n的基线与平面 ，则向量n叫做平面的法向量或者说向量n与平面正交.

2.设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·AMn=0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的

，

称作一个平面的向量表示式。

3.设21n，n，分别是平面,的法向量。

平面∥平面或与重合1n 2n

平面⊥平面 

4.如果在

内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的

垂直，则它也和这条 垂直，反之，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。

三．重点难点

重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理

难点：平面法向量的理解及灵活应用，三垂线定理的证明思路应用

四．典型例题

例1．已知A(a,o,o)B(o,b,o)C(o,o,c)，求平面ABC的一个法向量.

例2.正方体1AC棱长为1，求平面1ACB的一个法向量.

五．课堂练习

1. 已知直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，且v·u=0，则l与的关系是（ ）

A．l⊥ B．l∥

C．l D．l∥或l

2. 已知平面过点A（1，-1，2）法向量有n=（2，-1，2）则下列点在内的是（ ）

A．（2，3，3） B．（3，-3，4）

C．（-1，1，0） D．（-2，0，1）

2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量

一、选择题

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC为等边三角形,=2AB,设点P,Q满足=APAB,=(1)AQAC,R,若3=2BQCP,则= （ ）

A．12 B．122 C．1102 D．3222

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（浙江理））设a,b是两个非零向量. （ ）

A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b

B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb

D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（重庆理））设,xyR,向量4,2,,1,1,cybxa,且cbca//,,则_______ba （ ）

A．5 B．10 C．25 D．10

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（四川理））设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使||||abab成立的充分条件是 （ ）

A．ab B．//ab C．2ab D．//ab且||||ab

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是 （ ）

A．a∥b B．a⊥b

C．{0,1,3} D．a+b=ab

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC中,AB=2,AC=3,ABBC= 1则___BC. （ ）

A．3 B．7 C．22 D．23

错误!未指定书签。 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角0,4,且ab和ba都在集合2nnZ中,则ab （ ）

平面向量

1．代数法

例1：已知向量a，b满足=3a，=23b，且aab，则b在a方向上的投影为（ ）

A．3 B．3 C．332 D．332

【答案】C

【解析】考虑b在a上的投影为abb，所以只需求出a，b即可．

由aab可得：20aabaab，

所以9ab．进而933223abb．故选C．

2．几何法

例2：设a，b是两个非零向量，且2abab，则=ab_______．

【答案】23

【解析】可知a，b，ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，

由2abab可知满足条件的只能是底角为60o，边长2a的菱形，

从而可求出另一条对角线的长度为323a．

3．建立直角坐标系

例3：在边长为1的正三角形ABC中，设2BCBDuuuvuuuv，3CACEuuvuuuv，则ADBEuuuvuuuv__________．

BCADE

【答案】14ADBEuuuvuuuv

【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，

如图建系：30,2A，1,02B，1,02C，

下面求E坐标：令,Exy，∴1,2CExyuuuv，13,22CAuuv，

由3CACEuuvuuuv可得：111322333362xxyy，∴13,36E，

∴30,2ADuuuv，53,66BEuuuv，∴14ADBEuuuvuuuv．

一、单选题

1．已知向量a，b满足1a，2b，且向量a，b的夹角为4，若ab与b垂直，则实数的值为（ ）

1 三角函数与平面向量

图象是函数个个个个）上是增函数的个数是，（，且在其中周期在四个函数个单位右移个单位左移个单位右移个单位左移的图象的图象，只需将要得到函数的是下列各式中值为一、选择题

)2,230(cos|tan|.44.3.2.1.20|,|sin)4(2cos2tan)3(|sin|)2(sin)1(.34.4.8.8.2sin)42cos(.25.22tan15.22tan.26cos1.12sin12cos.15cos15sin.21.1

2222

xxxxyDCBATxyxxyxyxyDCBAxyxyDCBA

)22,2.()2,2.()22,22.()22,232.(0)(,cos)(],0[),()()(.7},434|.{},44|.{},45242|.{},42432|.{,cossin.63.3.6..)3sin()3cos(3)(.522

kkDkkCkkBkkAxfxxfxxfxfxfRZkkxkxDZkkxkxCZkkxkxBZkkxkxAxxxkDkCkBkAxxxf

集是的解则时解析为若满足上的偶函数定义在的取值范围是则若等于是奇函数，则函数