第七章 实数的完备性
目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.
重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用.
第一节 关于实数集完备性的基本定理
一 区间套定理与柯西收敛准则 1 区间套
定义1 区间套: 设[]{}n n b a ,是一闭区间序列. 若满足条件 （1） 对n ∀, 有[][]n n n n b a b a ,,11⊂++, 即n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2） 0→-n n a b ()∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ， 0→-n n a b ()∞→n .
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{}n a 和{}n b , 其中{}n a 递增, {}n b 递减.
例如⎭⎬⎫⎩⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-n n 1,1和⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡n 1,0 都是区间套. 但()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n n 21,11、
⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧
]1,0(n 和⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+
-
n n
11,1都不是. 2 区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设[]{}n n b a ,是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点ξ, 使对n ∀有[]n n b a ,∈ξ. 简言之, 区间套必有唯一公共点.
证明 （用单调有界定理证明区间套定理）
由假设（1）知，序列{}n a 单调上升，有上界1b ；序列{}n b 单调下降，有下界1a .因而有
1lim c a n n =+∞
→，2lim c b n n =+∞
→. n n b c c a ≤≤≤21.
再由假设（2）知
()0lim 12=-=-+∞
→c c a b n n n ，
记c c c ==12. 从而有
==+∞
→c a n n lim n n b +∞
→lim .
若还有*c 满足n n b c a ≤≤*，令+∞→n ，得c c =*.故c 是一切[]n n b a ,的唯一公共点.证毕.
注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：
（1）要求[]n n b a ,是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成
立.如
()⎪⎭⎫
⎝
⎛
=n b a n n 1,0,.
显然有 ⎪⎭⎫
⎝⎛⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 1,011,0 ， 但 ∅=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∞
= 11,0n n .
如果开区间套是严格包含：n n n n b b a a <<<++11，这时定理的结论还是成立的.
（2） 若[][]
,2,1,,11=⊃++n b a b a n n n n ，但()0lim ≠-∞
→n n n a b ，此时仍有1lim c a n n =+∞
→，
2
lim c b n n =+∞
→，但21c c <，于是对任意的c ，21c c c ≤≤，都有[] +∞
=∈1
,n n n b a c .
全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法.
推论 设[]{}n n b a ,为一区间套，[]
,2,1,=∈n b a n n ξ．
则0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξ,,U b a n n ⊂．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
3 数列的柯西收敛准则的证明 数列的柯西收敛准则：
数列{}n a 收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时,有ε<-n m a a ．
（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
证明 必要性
设 A a n n =∞
→lim ．由数列极限定义，0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时有
2
ε
<
-A a m ， 2
ε
<
-A a n ，
因而ε
ε
ε
=+<
-+-≤-2
2
A a A a a a n m n m ．
充分性 按假设，0>∀ε，0>∃N ，使得对一切N n ≥有ε≤-n m a a ，
即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项． 据此，令2
1=
ε，则1N ∃，在区间⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
-
21,2
111
N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所
有项．记这个区间为[]11,βα．
再令2
2
1=ε，则)(12N N >∃，在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
22
21,2
122
N N a a 内含有{}n a 中除有限项外的所有项．记
[]=
22,βα⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+-2221,2122
N N a a []11,βα，它也含有{}n a 中除有限项外的所有项， 且满足 []11,βα⊃[]22,βα及 2
122≤
-αβ．
继续依次令 ,2
1,
,2
12
n
=
ε，照以上方法得一闭区间列[]{}n n βα,，其中每一个区间都含
有{}n a 中除有限项外的所有项，且满足 []n n βα,⊃[]11,++n n βα， ,2,1=n ，
()∞→→≤
--n n n n 0
2
11
αβ
即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数∈ξ[]n n βα, （ ,2,1=n ）．
现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由区间套定理的推论，
,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξβα,,U n n ⊂．
因此在()εξ;U 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，这就证得ξ=∞
→n n a lim ．
二 聚点定理与有限覆盖定理 1 聚点
定义2 设S 是无穷点集. 若在点ξ (未必属于S )的任何邻域内有S 的无穷多个点, 则称点ξ为S 的一个聚点.
数集⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=n E 1有唯一聚点0, 但E ∉0；
开区间)1,0(的全体聚点之集是闭区间[]1,0；
设Q 是[]1,0中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间[]1,0. 2 聚点概念的另两个等价定义
定义2' 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即
∅
≠S U );(0
εξ，则称点ξ为S 的一个聚点.
定义2'' 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂ ，则其极限ξ=∞
→n n x lim 称为S 的一个
聚点.
3 以上三个定义互相等价的证明：
证：定义2⇒定义2' 显然成立．
定义2'⇒定义2'' 由定义2'，取11=ε，S U x );(101εξ∈∃；
再取⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=12,
2
1
min x ξε则S U x );(20
2εξ∈∃，且显然12x x ≠；
……
一般取⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-1,
2
1
min n n x ξε则S U x n n );(0
εξ∈∃，且显然n x 与11,,-n x x 互异；
……
无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，
且由n
x n n 1≤<-εξ，易见ξ=∞
→n n x lim ．
定义2''⇒定义2 ξ=∞
→n n x lim ⇒0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，必有
);(εξU x n ∈，且因{}n x 各项互不相同，故);(εξU 内含有S
中无限多个点．[证毕]
4 聚点定理
定理 7.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理 Weierstrass ) 直线上的任一有界无限点
集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．
证 因为S 为有界无限点集,故存在0>M ,使得[]M M S ,-⊂,记
[]11,b a []M M ,-=．
现将[]11,b a 等分为两个子区间．因为S 为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此区间为[]22,b a ，则[]11,b a ⊃[]22,b a ，且
=
-22a b M
a b =-)(2
111．
再将[]22,b a 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此区间为[]33,b a ，则[]22,b a ⊃[]33,b a ，且
=
-33a b 2
)(2
122M a b =
-．
将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列[]{}n n b a ,，它满足 []n n b a ,⊃[]11,++n n b a ， ,2,1=n ， ()∞→→≤
--n M a b n n n 0
2
2
即[]{}n n βα,是区间套，且每一个闭区间中都含有S 中无穷多个点． 由区间套定理，存在唯一的一个数∈ξ[]n n b a , （ ,2,1=n ）．
于是由区间套定理的推论，0,0>∃>∀N ε当N n >时，恒有[]()εξ,,U b a n n ⊂．
从而()εξ,U 内含有S 中无穷多个点，按定义2 ，ξ为S 的一个聚点.
5 致密性定理.
推论：任一有界数列必有收敛子列.
证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是
一个常数列，而常数列总是收敛的．
若{}n x 中不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有 界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ．于是按定 义2'',存在{}n x 的一个收敛的子列以ξ为极限.
作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性 证明 充分性
由已知条件：0>∀ε，0>∃N ，当N n m >,时,有ε<-n m a a ．欲证{}n a 收敛．
首先证{}n a 有界． 取1=ε，则N ∃，N m n >,有1<-m n a a
特别地，N n >时11<-+N n a a ⇒ 11+<+N n a a 设 {}1,,,,m ax 121+=+N N a a a a M ，则n ∀，M a n ≤ 再由致密性定理知，{}n a 有收敛子列{}K
n
a ，设A a K n k =∞
→lim
.
对任给0>ε，存在0>K ,当K k n m >,,时,同时有
2
ε
<
-m n a a ，和 2
ε
<
-A a k
n
因而当取 k n m =()K k >≥时,得到
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-2
2
A a a a A a k k n n n n
故 A a n n =∞
→lim .
6 海涅–博雷尔(Heine –Borel) 有限覆盖定理: 1. 定义(覆盖 )
设S 为数轴上的点集 , H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如()βα,的开区间）. 若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖,或称H 覆盖S ．
若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
例 ()⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1,023,2x x x M 覆盖了区间()1,0, 但不能覆盖[]1,0；
()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+--=b a x x b x x b x H ,2,2 覆盖 )
,[b a , 但不能覆盖],[b a .
2． 海涅–博雷尔Heine –Borel 有限复盖定理:
定理7.3 (有限覆盖定理) 设(){}βα,=H 是闭区间[]b a ,的一个无限开覆盖，即
[]b a ,中每一点都含于H 中至少一个开区间()βα,内．则在H 中必存在有限个开区间，
它们构成[]b a ,的一个有限开覆盖．
证明 （用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法
设H 为闭区间[]b a ,的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即
[]b a ,不能用H 中有限个开区间来覆盖．
对[]b a ,采用逐次二等分法构造区间套[]{}n n b a ,，[]n n b a ,的选择法则：取“不能用H 中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理， []n n b a ,∈∃ξ ,2,1=n ． 因为[]b a ,∈ξ,所以()H ∈∃βα, 使 ()βαξ,∈
记{}0,m in >--=ξβαξε由推论，当n 足够大时， 有
[]()()βαεξ,,,⊂⊂U b a n n
这表示[]n n b a ,用H 中一个开区间()βα,就能覆盖，与其选择法则相违背．所以[]b a ,必能用H 中有限个开区间来覆盖．
说明 当[]b a ,改为),(b a 时，或者H 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．
例如：
1) H ： ,21,1,1,
12
,43,21,32,0⎪⎭⎫
⎝⎛++-⎪⎭⎫
⎝⎛+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛n n n
n n n
n n ． H
是开区间()1,0的一个无限开覆盖，但不能由此产生()1,0的有限覆盖．
2) ∙H ：
),1
,1[
,),3
2,21[),2
1
,0[),3,1[+-n n n
n ．
∙
H
是[]2,0的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生[]2,0的有限覆盖． 三 实数完备性基本定理的等价性
1 实数完备性基本定理的等价性
至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即 定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与它等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理3 (区间套定理） 设[]{}n n b a ,为一区间套： 1）[][]
,2,1,,11=⊃++n b a b a n n n n
2）()0lim =-∞
→n n n a b ．
则存在唯一一点[]
,2,1,=∈n b a n n ξ
定理4 (有限覆盖定理) 设(){}βα,=H 是闭区间[]b a ,的一个无限开覆
盖，即[]b a ,中每一点都含于H 中至少一个开区间()βα,内．则在H 中必存
在有限个开区间，它们构成[]b a ,的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．
定理6 (柯西准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：N ∈∃>∀N ,0ε，只要N m n >, 恒有ε<-n m a a ．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
2 实数完备性基本定理等价性的证明
证明若干个命题等价的一般方法.即循环论证，当然也可以用其他的方法进行，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明：
定理1（确界原理）⇒ 定理2 (单调有界定理)⇒ 定理3 (区间套定理） ⇒ 定理4 (有限覆盖定理) ⇒定理5 (聚点定理) ⇒定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）
其中 定理1（确界原理）⇒ 定理2 (单调有界定理)，定理2 (单调有界定理)⇒ 定
理3 (区间套定理）与定理3 (区间套定理） ⇒ 定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2.9, 7.1与7.3； 定理4 (有限覆盖定理) ⇒定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理) ⇒定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）作为练习自证；而定理6 (柯西准则)⇒定理1（确界原理）见下例.
例１ 用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ：
即 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）
设S 为非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性,对任何正数α ,存在整数αk ,使得
αλααk =为S 的上界,而()ααλαα1-=-k 不是S 的上界,即存在S ∈'α,使得()ααα1->'k .
分别取n
1=
α, ,2,1=n ,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界,
而n
n 1-λ不是S 的上界,故存在S ∈'α,使得n
n 1-
>'λα.
又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m .再由n
n 1-
>'λα得
n
m n 1<
-λλ；同理有m
n m 1<-λλ.从而得⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧<-n m n m 1,
1
max λλ.
于是,对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时有ελλ<-m n . 由柯西收敛准则,知数列{}n λ收敛.记λλ=∞
→n n lim .
下面证明λ就是S 的上确界.首先,对任何S ∈α和正整数n 有n λα≤, 由λλ=∞
→n n lim 得λα≤,即λ是S 的上界.其次, 对任何0>δ,
由
()∞→→n
n
1及λ
λ=∞
→n n lim ,对充分大的n 同时有
2
1δ
<
n
,2
δ
λλ-
>n .
又因n
n 1-
λ不是S 的上界, 故存在S ∈'α,使得n
n 1-
>'λα.
再结合
2
1δ
<
n
,2
δ
λλ-
>n 得 δ
λδ
δ
λλα-=-
-
>-
>'2
2
1n
n .
这说明λ为S 的上确界.
同理可证：非空有下界数集必有下确界. 作业 P168 1，2，3，4，5，6，7.
第二节 闭区间上连续函数性质的证明
在本节中，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质 一 有界性定理
若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107
证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.
证明： 如若不然，)(x f 在],[b a 上无界，N n ∈∀，],[b a x n ∈∃，使得()n x f n >，对于序列{}n x ，它有上下界b x a n ≤≤，致密性定理告诉我们k
n x ∃使得],[0b a x x k
n ∈→，由
)
(x f 在0x 连续，及()k
n
n
x f k
>有
()()+∞==∞
→k
n
k x f x f lim 0，
矛盾.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
证明：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4.2）对每一点],[b a x ∈'都存在邻域()x x U ''δ,及正数x M '
使
x M
x f '
≤)(,()],[,b a x U x x ''∈δ
考虑开区间集 ){}],[,b a x x U H x ∈''='δ
显然H 是],[b a 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在H 的一个有限点集
(
)
{}k
i b a x x U H
i x i i ,,2,1]
,[, =∈''='
*
δ
覆盖了],[b a ,且存在正整数k M M M ,,21
使对一切()],[,b a x U x i
x i ''∈δ有i M x f ≤)( k i ,,2,1 =，
令i k
i M M ≤≤=1max 则对],[b a x ∈∀，x 必属于某()i
x i x U ''δ,，M M x f i ≤≤⇒
)(，
即证得)(x f 在],[b a 上有上界． 二 最大、最小值定理
若函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续, 则)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值.
证 ( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 )
令{})(sup x f M b
x a ≤≤=，+∞ 考虑函数) (1)(x f M x g -=，则)(x g 在] , [b a 上连续，因而有界，设G 是)(x g 的一个上 界，则 G x f M x g ≤-= <)(1)(0 ， ],[b a x ∈ 从而G M x f 1)(-≤，],[b a x ∈ 这与M 是上确界矛盾，因此],[b a ∈∃ξ，使得M f =)(ξ. 类似地可以证明达到下确界. 三 介值性定理 设)(x f 在闭区间] , [b a 上连续,且)()(b f a f ≠若c 为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实 数)()(b f c a f <<或)()(b f c a f >>，则存在),(0b a x ∈使c x f =)(0． 证法一 (应用确界定理) 不妨设)()(b f c a f <<，令c x f x g -=)()( 则)(x g 也是] , [b a 上连续函数,0)(b g ,于是定理的结论转为: 存在 ),(0b a x ∈，使0 )(0=x g 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4.7的推论) 记{}],[,0)(b a x x g x E ∈>=，显然E 为非空有界数集 ()E b B A E ∈⊂且], ,[故有确界定理, E 有下确界, 记E x inf 0=.因0)(b g 由连续函数的局部保号性, 0>∃δ，使在),[δ+a a 内0)( x g ．倘若0)(0≠x g ，不妨设0)(>x g ， 则又由局部保号性,存在()()),(,0b a x U ⊂η使在其内0)(>x g ，特别有 E x x g ∈- ⇒ >⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -2 200η η， 但此与E x inf 0=矛盾，则必有0)(0=x g ． 几何解释： 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =，则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？ ① 从几何上，x x =',c y y -='启示我们作 函数c x f x g -=)()(； ② 从结果c x f =)(0着手. 利用零点定理证：令c x f x g -=)()(，则)(x g 在] , [b a 上连续，往下即转化为零点存在问题. 证法二 ( 用区间套定理 ) . 这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”. 命题（零点存在定理或根的存在性定理） 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续，即()],[)(b a C x f ∈，且)(a f 与)(b f 异号，则在 ),(b a 内至少存在一点0 x 使得0)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根. 证明 设0)(b f .将] , [b a 二等分为] , [c a 、] , [b c ， 若0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ，当0)(>c f 时取] , [c a 否则取] , [b c ，将所取区间记为] , [11b a ，从而有0)(1b f .如此继续，如某一次中点i c 有 0)(=i c f 终止（i c 即为所求）；否则得[]{}n n b a , 满足：（1） ⊃⊃⊃⊃],[] , [],[11n n b a b a b a ； （2） 02 lim )(lim =-=-∞ →∞ →n n n n n a b a b ； （3） 0)( 由闭区间套定理知，∃唯一的],[0n n b a x ∈， ,2,1=n ，且0lim lim x b a n n n n ==∞ →∞ → 由)(x f 在0x 处的连续性及极限的保号性得 ()()0lim 0≤=∞ →x f a f n n ，()()0lim 0≥=∞ →x f b f n n ，0)(0=⇒ x f 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到. 四 一致连续性定理 若函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续, 则)(x f 在] , [b a 上一致连续. 证法 一 ( 用有限复盖定理) . 证明: 由)(x f 在闭区间] , [b a 上连续性， 0>∀ε，对每一点] , [b a x ∈，都存在 0>x δ，使当()x x U x δ,∈'时，有 ()()2 ε < -'x f x f (2) 考虑开区间集合 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩⎨⎧∈⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=],[2,b a x x U H x δ 显然H 是] , [b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在H 的一个有限子集 ⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ =* k i x U H i x i ,,2,12, δ 覆盖了] , [b a . 记02min 1>⎭ ⎬⎫ ⎩⎨ ⎧=≤≤i k i δδ 对],[,b a x x ∈'''∀,δ <''-'x x ，x '必属于* H 中某开区间，设⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛2,i x i x U δ， 即2 i x i x x δ< -'，此时有 i i i i x x x x i i x x x x x x δδδδδ=+ ≤ + <-'+'-''≤-''2 2 2 故由（2）式同时有 2 )()(ε <-'i x f x f 和2 )()(ε < -''i x f x f 由此得 ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在] , [b a 上一致连续. 证法二 ( 用致密性定理). 证明： 如果不然，)(x f 在] , [b a 上不一致连续， 0>∃ε，0>∀δ，],[,b a x x ∈'''∃，δ<''-'x x ，而0)()(ε≥''-'x f x f . 取n 1=δ，（n 为正整数）],[,b a x x n n ∈'''∃，n x x n n 1<''-'， 而0)()(ε≥''-'n n x f x f ，当n 取遍所有正整数时，得数列{}n x '与{}],[b a x n ⊂''. 由致密性定理，存在{}n x '的收敛子序列{}k n x ',设)(],[0∞→∈→'k b a x x k n ， 而由k n n n x x k k 1<''-'，可推出)(000∞→→-'+''-'≤-''k x x x x x x k k k k n n n n 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 第七章 实数的完备性 (9学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?= （2）lim ()0 n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 证: 先证存在性 {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤ ∴可设 lim n n a ξ →∞ = 且由条件2有 lim lim ()lim n n n n n n n n b b a b a ξ →∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ' ≤≤= 那么, ,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-= 由区间套的条件2得 lim ()0 n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈= 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对 ,m n N >有 ||m n a a ε-<. 证 [必要性] 略. [充分性] 已知条件可改为：对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N ≥有 ||m n a a ε-≤. 第七章 实数的完备性 总练习题 1、证明：{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列. 证：[必要性]有界数列{x n }的任一子列{x k n }也都有界. 由致密性定理知每个有界子列必存在收敛子列{x j k n }?{x k n }?{x n }. [充分性]已知{x n }的任一子列都存在它的收敛子列，若{x n }无界，则 必有某子列{x k n }为无穷大量，即∞ →k lim |x k n |=+∞， ∴{x k n }的一切子列{x j k n }都是无穷大量，矛盾. ∴{x n }是有界数列. 2、设f 在(a,b)内连续，且+ →a x lim f(x)=- →b x lim f(x)=0. 证明： f 在(a,b)内有最大值或最小值. 证：若f(x)≡0, x ∈(a,b)，则结论成立. 若f(x)≠0, 补充定义f(a)=f(b)=0， 则f(x)在[a,b]上连续，∴f 在[a,b]可取得最大值与最小值. 若存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0)>0，则f 能在(a,b)上取得最大值， 若f(x 0)<0，则f 能在(a,b)上取得最小值. 3、证明：设f 在[a,b]上连续，若{x n }?[a,b]，且∞ →n lim f(x n )=A ，则 必存在点x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=A. 证：∵{x n }?[a,b]有界，∴{x n }有收敛子列{x k n }. 设∞ →k lim x k n =x 0. ∵{x k n }?[a,b]，∴x 0∈[a,b]. 又∞→n lim f(x n )=A ，∴∞ →k lim f(x k n )=A. ∵f 在x 0连续，∴0 x x lim →f(x)=f(x 0)，由归结原则：A=∞ →k lim f(x k n )=0 x x lim →f(x)=f(x 0). 第七章 实数的完备性 目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系. 重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用. 第一节 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 1 区间套 定义1 区间套: 设[]{}n n b a ,是一闭区间序列. 若满足条件 （1） 对n ∀, 有[][]n n n n b a b a ,,11⊂++, 即n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中； （2） 0→-n n a b ()∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ， 0→-n n a b ()∞→n . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{}n a 和{}n b , 其中{}n a 递增, {}n b 递减. 例如⎭⎬⎫⎩⎨ ⎧⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡-n n 1,1和⎭⎬⎫ ⎩ ⎨⎧⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡n 1,0 都是区间套. 但()⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n n 21,11、 ⎭ ⎬⎫⎩⎨ ⎧ ]1,0(n 和⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡+ - n n 11,1都不是. 2 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设[]{}n n b a ,是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点ξ, 使对n ∀有[]n n b a ,∈ξ. 简言之, 区间套必有唯一公共点. 证明 （用单调有界定理证明区间套定理） 由假设（1）知，序列{}n a 单调上升，有上界1b ；序列{}n b 单调下降，有下界1a .因而有 1lim c a n n =+∞ →，2lim c b n n =+∞ →. n n b c c a ≤≤≤21. 再由假设（2）知 ()0lim 12=-=-+∞ →c c a b n n n ， 记c c c ==12. 从而有 ==+∞ →c a n n lim n n b +∞ →lim . 若还有*c 满足n n b c a ≤≤*，令+∞→n ，得c c =*.故c 是一切[]n n b a ,的唯一公共点.证毕. 注： 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明： （1）要求[]n n b a ,是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成 数学分析教案 第7章 实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 数学分析是建立在极限理论这个基础上，而极限理论的基础是实数，实数理论就成为基础的基础．有关实数理论的知识，参见华东师大编写的《数学分析》附录2．在这里主要介绍实数的完备性即连续性，有关实数连续性的基本定理有7个． 1 戴德金分划 任一有理分划必确定一个实数．参见华东师大编写的《数学分析》附录2． 2 确界原理 有界数集必有确界．本书作为公理． 3 单调有界定理 有界的单调数列必有极限． 此定理可分为两个部分，即 (1) 数列{}n a 单调上升且有上界，则{}n a 必有极限； (2) 数列{}n a 单调下降且有下界，则{}n a 必有极限． 证：设{}n a 单调上升有上界，由确界存在定理知，{}n a 有上确界． 设sup{ } = n a a ，于是, n n a a ?≤，且0, 0, N N a a εε?>?>?>-“”， 于是n N >时， < N n a a a a a εε-<<≤+，从而n a a ε-<，所以 l i m n n a a →∞=． 同理可证(2)． 4 区间套定理 定义1 若闭区间列[]{} ,n n a b 满足(1) [][]11 ,,n n n n n a b a b ++??，； (2) lim()0n n n b a →∞-=，则称这列闭区间列[]{} ,n n a b 为闭区间套，简称区间套． 在区间套[]{} ,n n a b 中，端点满足1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤ ．即由左端点构成的数列{}n a 单调上升有上界；由右端点构成的数列{}n b 单调下降有下界． 定理1 (区间套定理) 若闭区间列[]{} ,n n a b 为区间套，则[]|, , ,n n n a b ξξ???∈“”． 证：(存在性) 因为[]{} ,n n a b 为闭区间套，所以由单调有界性定理知{}n a 、 {}n b 收敛． 由lim()0 n n n b a →∞ -=知两极限相等．设lim lim n n n n a b ξ →∞ →∞ ==，则 [], ,n n n a b ξ?∈． (唯一性) 若[],, ,n n n a b ξξ''???∈“”，则, ||n n n b a ξξ'?-≤-． 而lim()0 n n n b a →∞ -=，所以ξξ'=．综上可知，结论成立． 注意： (1) ξ是闭区间套[]{} ,n n a b 确定的点，则 []0, 0, ,(,)n n N n N a b U εξε?>?>?>??“”； (2) 闭区间套定理中，若把闭区间换为开区间，则定理不成立．例如10,n ?? ???? ?????，就找 第七章实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 在第一、二章中,我们证明了关于实数集的确界原理和数列的单调有界定理,给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性,通常称为实数的完备性或实数的连续性.可以举例说明,有理数集就不具有这种特性(本节习题4).有关实数集完备性的基本定理,除上述三个外,还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理,在本节中将阐述这三个基本定理,并指出所有这六个基本定理的等价性.下一节中将应用这些基本定理证明第四章中已给出的关于闭区间上连续函数的性质.从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的基础之上. 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[ a n,b n ]}具有如下性质: ( i) [ a n , b n ] É [ a n + 1 , b n + 1 ] , n = 1 ,2, ; (i i)) lim ( b n - a n ) = 0, n →∞ 则称{[ a n , b n ] } 为闭区间套, 或简称区间套. 这里性质(i)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式: a1 ≤a2 ≤≤a n ≤≤b n ≤≤ b2 ≤b1 . (1) 定理7.1 ( 区间套定理)若{ [ a n , b n ]}是一个区间套, 则在实数系中存在唯一的一点ξ, 使得ξ∈[ a n , b n ] , n = 1 , 2 ,, 即 a n ≤ ξ≤ b n , n = 1 ,2, . (2) 证由(1 ) 式, { a n } 为递增有界数列, 依单调有界定理, { a n } 有极限ξ, 且有 a n ≤ ξ, n = 1 ,2, . (3) 同理, 递减有界数列{ b n } 也有极限, 并按区间套的条件( ii) 有 lim n →∞且b n = lim a n =ξ, (4) n →∞ 实数集的完备性介绍 实数集的完备性是数学中一个非常重要的概念，它在分析学、实变函数论等领域有着广泛的应用。完备性是指一个数学空间中不存在任何“间隙”，任何“缺口”，使得这个空间中的数列无法收敛到这个“缺口”中。在实数集中，完备性的概念被称为实数完备性，也就是实数集中的柯西序列有极限。本文将介绍实数集的完备性，包括完备性的定义、完备性的性质以及完备性的应用。 实数集的完备性是指实数集中的柯西序列有极限。柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n，m大于N时，序列的前n项和前m项的差的绝对值小于ε。直观地说，柯西序列的元素随着序号的增加而趋于聚拢，最终收敛到一个极限值。实数集的完备性保证了实数集中的柯西序列一定有极限，也就是实数集中不存在“间隙”，任何柯西序列都能在实数集中找到极限。 实数集的完备性有以下几个性质： 1. 实数集的子集也是完备的：如果一个实数集是完备的，那么它的任何子集也是完备的。这是因为子集中的柯西序列也是原集合中的柯西序列，因此子集中的柯西序列也有极限。 2. 实数集的闭区间上的柯西序列有极限：在实数集中，闭区间上的柯西序列一定有极限。这是因为闭区间上的柯西序列有界且有序，根据柯西收敛准则，闭区间上的柯西序列一定有极限。 3. 实数集的完备性是实数集的一个重要性质：实数集的完备性是实数 集的一个重要性质，它保证了实数集中的柯西序列有极限，从而构成 了实数集的完备性。 实数集的完备性在数学分析、实变函数论等领域有着广泛的应用。在实数集的完备性的基础上，我们可以定义实数集上的连续函数、导数、积分等重要概念。实数集的完备性也为我们研究实数集上的极限、收敛性等问题提供了重要的理论基础。在实数集的完备性的基础上， 我们可以建立实数集上的数学分析理论体系，深入研究实数集的性质 和结构。 总之，实数集的完备性是数学中一个非常重要的概念，它保证了 实数集中的柯西序列有极限，从而构成了实数集的完备性。实数集的 完备性具有重要的性质和应用，为我们研究实数集上的数学理论提供 了重要的理论基础。通过深入理解实数集的完备性，我们可以更好地 理解实数集的性质和结构，推动数学理论的发展和应用。 Rudin数学分析中的度量空间与完备性 度量空间是数学分析中的重要概念之一。在Rudin的经典著作《数学分析原理》中，度量空间的概念以及完备性是其重要的内容之一。本文将探讨Rudin数学分析中度量空间与完备性的相关理论。 I. 度量空间的概念 度量空间是定义了度量的集合，其中度量是衡量距离的函数。在Rudin的书中，度量空间的定义如下：设X是一个非空集合，如果存在一个函数d: X×X→R，满足以下条件： 1. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)≥0，并且当且仅当x=y时取等号； 2. 对于任意的x，y∈X，d(x,y)=d(y,x)（对称性）； 3. 对于任意的x，y，z∈X，d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)（三角不等式）； 则称(X, d)为一个度量空间，其中d称为度量。 在Rudin的书中，度量空间的定义还包括了同时满足下面两个条件的性质： 4. 对于任意的x，y∈X，如果d(x,y)=0，则x=y（分离性）； 5. 对于任意的x，y，z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)（广义三角不等式）。 II. 完备性的概念 在度量空间中，完备性是一个重要的概念。直观上讲，一个完备的 度量空间中任意一个Cauchy序列都收敛于该度量空间中的某个点。 在Rudin的书中，给出了度量空间的完备性的定义：设X是一个度 量空间，如果对于X中的任意一个Cauchy序列{xn}，存在一个元素 x∈X，使得当n趋向于无穷大时，有d(x,xn)趋向于零，那么称X是一 个完备度量空间。 III. 度量空间与完备性的相关性质 在Rudin的书中，给出了度量空间与完备性之间一些重要的性质和 定理，如下所示： 1. 空间的子空间：如果(X, d)是一个度量空间，A是X的一个子集，且令dA(x,y)=d(x,y)，那么(A, dA)也是一个度量空间。 2. 合乘性：如果(X, d)是一个度量空间，对任意的正实数h，令 dh(x,y)=hd(x,y)，那么(X, dh)也是一个度量空间。 3. 完备性的传递性：如果(X, d)是一个完备度量空间，且(Y, dY)是(X, d)的一个完备子空间，那么(Y, dY)也是一个完备度量空间。 4. 极限点的唯一性：在一个度量空间中，对于收敛于同一个极限点 的序列，该极限点是唯一的。 5. 完备度量空间的闭子集：如果(X, d)是一个完备度量空间，而A 是X的一个闭子集，则(A, d)也是一个完备度量空间。 实数的完备性及其在高数中的应用 实数的完备性是数学分析领域中的一个重要概念。它指的是实数集合中没有任何间隙或空隙，任何无限子集也都有极限值。实数集包括有理数和无理数，其中有理数可以表示为分数或小数的形式，而无理数无法用两个整数的比值来表示。实数的完备性在高等数学中具有广泛的应用，下面将详细介绍。 首先，实数的完备性是变量极限和函数连续性的基础。在微积分中，变量极限是十分重要的概念，其中包括极限的存在性和唯一性。实数的完备性保证了对任意序列，无论是有界还是无界，都能找到它的极限值。这对于研究函数的收敛性质以及求解一些复杂的极限问题非常关键。 其次，实数的完备性对于数项级数的收敛性和发散性判定非常重要。数项级数是将一个数列的部分和作为另一个数列的通项而得到的数列。实数的完备性保证了数项级数的柯西准则成立，即当一个级数的部分和的差的绝对值趋近于零时，该级数收敛。这为求解级数和提供了一个重要的准则，并在微积分和实分析中有广泛的应用。 实数的完备性还在数学分析的连续函数中发挥着关键作用。在实分析中，连续函数是一类最常见的函数，其定义为在定义域上无间断的函数。实数的完备性保证了在闭区间上的连续函数具有最值和介值定理。最值定理保证了连续函数在闭区间上有最大值和最小值，并提供了求解最优化问题的基础。介值定理则保证了连续函数在闭区间上能够取到任何值，这在方程的求解和函数图像的描绘中有广泛应用。 实数的完备性还为微积分中的积分提供了理论基础。在定积分中，实数的完备性保证了黎曼可积函数的存在性。黎曼可积函数是一类在闭区间上有界且有限个点除外的函数。它们的积分可以通过定义积分或黎曼积分的方法求解，这对于求解曲线下的面积和解析几何问题具有重要意义。 实数域中的完备性与区间套定理 在数学领域中，实数域是非常重要的一个概念。实数域包含了所有的有理数和无理数，它是一个无穷无尽的数集。实数域的一个重要性质就是其完备性。完备性是指实数域中的每一个非空子集都有一个上确界和一个下确界。 首先，我们来了解一下上确界和下确界的概念。在实数域中，给定一个非空的有上界的数集，那么这个数集的上确界就是这个数集中的最小上界。类似地，给定一个非空的有下界的数集，那么这个数集的下确界就是这个数集中的最大下界。上确界和下确界的存在性是实数域完备性的一个重要体现。 实数域的完备性可以通过区间套定理来进行证明。区间套定理是实数域完备性的一个重要推论。它的表述是：如果在实数域中有一系列闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...，满足以下两个条件： 1. 对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子集； 2. 这些闭区间的长度都趋于零，即对于任意的正整数n，都有b(n) - a(n) → 0。 那么，区间套定理就保证了存在一个实数x，它同时属于所有的闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...。这个实数x就是这个闭区间序列的交集的唯一元素。这个定理的证明可以通过实数域的确界性质和序列的收敛性进行推导。 区间套定理的重要性在于它为实数域的完备性提供了一个重要的工具。通过区间套定理，我们可以证明实数域中的柯西序列是收敛的。柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，序列中的任意两个元素的差的绝对值小于ε。柯西序列的收敛性是实数域完备性的一个重要推论。 实数域的完备性和区间套定理在数学分析中有广泛的应用。它们为我们解决一些重要的数学问题提供了有力的工具。例如，通过实数域的完备性，我们可以证明 空间的完备性与巴拿赫空间的研究空间的完备性是数学分析中一个重要的概念，它与巴拿赫空间的研究密切相关。本文将讨论空间的完备性的定义、性质以及与巴拿赫空间的关系。 一、空间的完备性的定义 空间的完备性是指一个度量空间中的某个序列如果能够收敛到该空间中的某个点，那么就称该空间是完备的。具体地说，对于一个度量空间X，如果对于任意一个Cauchy序列{xn}，都能在该空间中找到一个点x，使得{xn}收敛于x，那么空间X就是完备的。 二、空间的完备性的性质 1. 完备性是一个重要的性质，它保证了度量空间的内在结构的完整性和稳定性。 2. 完备性可以用来刻画度量空间中收敛性的特点。一个度量空间中的序列收敛，当且仅当它是一个Cauchy序列，并且该空间是完备的。 3. 完备性与连续函数空间、泛函分析等领域有着密切的关系。在这些领域中，完备性的概念被广泛地运用于函数序列、函数列紧性、收敛性等方面的研究。 三、巴拿赫空间与完备性 巴拿赫空间是在完备度量空间的基础上进一步研究的结果，它是一类特殊的线性赋范空间。 1. 巴拿赫空间的定义 巴拿赫空间是一个完备的线性赋范空间，即在该空间中任意一个Cauchy序列都能在该空间中收敛。巴拿赫空间在泛函分析、函数空间 等领域中具有广泛的应用。 2. 巴拿赫空间的性质 巴拿赫空间作为一个完备的线性赋范空间，具有许多重要的性质， 如范数的连续性、闭图像定理等。这些性质使其成为泛函分析中的重 要研究对象。 3. 巴拿赫空间的分类 根据巴拿赫空间的不同性质，可以将其分为l^p空间、L^p空间、 C(K)空间等多种类型。不同类型的巴拿赫空间在数学研究和应用中有 着重要的地位和作用。 四、空间的完备性与巴拿赫空间的关系 巴拿赫空间作为一个完备的线性赋范空间，必然具有空间的完备性。事实上，巴拿赫空间的完备性是由度量空间的完备性导出的。这种关 系体现了空间的完备性在巴拿赫空间理论中的重要性。 在研究巴拿赫空间时，空间的完备性是一个重要的概念和工具，它 为巴拿赫空间的结构和性质的研究提供了基础。通过研究空间的完备性，可以得到一系列关于巴拿赫空间的重要结论和定理。 总结： 实数完备性与连续性 实数是数学中的一个重要概念，它包括了整数、有理数和无理数。 实数的完备性和连续性是实数的两个重要特征。本文将从理论和应用 两个方面来探讨实数的完备性和连续性。 一、实数的完备性 实数的完备性是指实数集中没有漏洞，没有任何一个数无法用实数 表示。这个概念起源于欧几里得的几何学，后来被扩展到实数的范畴。 实数的完备性可以通过实数集的上确界和下确界来描述。上确界是 指实数集中的一个数，它是该集合中所有元素的上界，并且是最小的 上界；下确界则是指实数集中的一个数，它是该集合中所有元素的下界，并且是最大的下界。如果一个实数集满足上确界和下确界的存在，那么它就是完备的。 举个例子来说明实数的完备性：考虑实数集合{0, 1/2, 3/4, 7/8, ...}， 这个集合没有上确界，因为它可以一直向上逼近1，但是1不属于该集合；同时它也没有下确界，因为它可以无限接近于0，但是0不属于该 集合。因此，这个实数集不是完备的。 实数的完备性在数学分析中扮演着重要的角色。它保证了实数的加法、减法、乘法和除法等运算的封闭性，以及实数集上的收敛性。 二、实数的连续性 实数的连续性是指实数集中不存在空隙或间断点，任意两个实数之 间都存在着其他的实数。这个概念可以用实数集的稠密性来描述。 实数集的稠密性意味着在实数集中的任意两个数之间，总是可以找 到另外一个实数。换句话说，实数集中的任意间隔都包含着其他的实数。这个性质在实际应用中非常重要，比如测量、建模和计算等方面。 举个例子来说明实数的连续性：考虑实数集合[0, 1]，这个集合中的 任意两个数之间都存在着其他的实数。比如对于任意的两个实数a和b，其中a小于b，我们可以通过构造一个数c，使得a小于c小于b。因此，实数集[0, 1]是连续的。 实数的连续性使得我们能够进行无限接近和无限分割的操作，从而 确保数学分析的可行性。在微积分和数学分析中，连续性是许多重要 定理和算法的基础。 总结： 实数的完备性和连续性是实数的两个重要特征。完备性保证了实数 集中没有漏洞，任何一个数都可以用实数表示；连续性保证了实数集 中不存在空隙或间断点，任意两个实数之间都存在着其他的实数。这 两个特征在数学分析中扮演着重要的角色，它们确保了实数集的运算 封闭性、收敛性以及数学分析的可行性。实数的完备性和连续性不仅 在理论上有重要意义，也在实际应用中有广泛的应用。 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 1 §7.3 上极限和下极限 一、上（下）极限的定义 对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往可以实现.例如：{}(1)n -.一般地,数列{}n x ,若{}k n x ：k n x a →（k →∞）,则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例{}(1)n -有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列的上（下）极限,并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）.如lim(1)1n n →∞-=,lim(1)1n n →∞ -=-. 例1 求数列sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩ ⎭的上、下极限. 例2 [1(1)]n n x n =+-,求上、下极限. 二、上（下）极限的存在性 下面定理指出,对任何数列{}n x ,它的上（下）极限必定存在. 定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一,且 lim n n x →∞＝1sup{,,}limsup n n k n k n x x x +→∞≥= ,lim n n x →∞＝1inf{,,}lim inf n n k n k n x x x +→∞≥= . 三、上下极限和极限的关系 lim n n x →∞≥lim n n x →∞ . 定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等,即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞ . 四、上（下）极限的运算 普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如： 11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞ -+-=<-+-= . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞ +≤+,当{}n x 收敛时,等号成立. 《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互 证明 在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。实数完备性是指 实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。实 数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。 下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。 第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。它的表述是：有上界的 非空实数集必有上确界。证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非 空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。接下来我们来证明M是S的上确界。首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元 素s∈S，使得M-ε 第一章前言 众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础. 我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性. 数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一, 更是高等师学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中, 实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点, 利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则. 下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的容, 为后面的证明做铺垫. 定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集, H为开区间的集合,（即H的每一个α的开区间）, 若S中任何一点都含在H中至少一个开区间, 元素都是形如) , (β 则称H为S的一个开覆盖, 或称H覆盖S. 若H中开区间的个数是无限（有限）的, 则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）. 定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间] a的一个（无限）开覆盖, [b , 附录I 实数理论 一、建立实数的原则： 1、集合F构成一个阿基米德有序域的三个条件： (1)F是域. 在F中定义了加法与乘法两个运算，使得对于F中任意元素a,b,c成立： 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 加法交换律：a+b=b+a； 乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)； 乘法交换律：a·b=b·a； 乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c. 在F中存在零元素和反元素：在F中存在一个元素“0”,使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为零元素；对每一个元素a∈F，有一个元素(-a)∈F，使得a+(-a)=0，则称-a为a的反元素. 在F中存在单位元素和逆元素：在F中存在一个元素“e”,使得对F中任一元素a，有a·e=a，则称“e”为单位元素；对每一个非零元素a∈F，有一个元素a-1∈F，使得a·a-1=e，则称a-1为a的逆元素. (2)F是有序域. 在F中定义了关系“<”具有如下(全序)性质： 传递性：对F中的元素a,b,c，若a 乘法保序性：若a0，则ac 实数完备性的证明 第一部分七个定理的证明 1. 单调有界定理区间套定理 证明：已知a n a n 1 （n），a n b n b l，由单调有界定理知｛a n｝存在极限，设lim a n = r， 同理可知｛b n｝存在极限，设lim b n = r n ，由lim ( b n n a n ) =0 得r r =0 即r r n,有a n b n，令n ，有a n r r b n , n ,有a n r b n。下面证明唯性。 用反证法。如果不然。则r i r2 , 同时对任意 a A , a r i , a D 对任意b 有b r i b r2，不妨设 r i r 2 , 令r' r i r2 显然r i r' r2 2 r A , r' B, 这与A | B是R的一个分划矛盾。唯 - 性得证。定理证完。 2. 区间套定理确界定理 证明：由数集A非空，知a A，不妨设a不是A的上界，另外，知 b是A的上界，记［a i，b i ］=［a， b］，用a i，b i的中点电虫二等分［a i，b i］，如果引b i是A的上界， 2 2 则取［a2，b2】=［a i a i b i ］；如果a i b i不是A的上界，则取［a?， 2 2 b2】=［a S , b i］；用a2 , b2的中点邑匹二等分［a2 , b2】……如此继 2 2 续下去，便得区间套［a n , b n］。其中a n不是A的上界，b n是A的上界。 n i 由区间套定理可得，唯一的r ［a n, b n］，使lim a n = lim b n = r。x A , n n n n n i 由 x b n ( n=1，2， )， 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完 3. 确界定理T 有限覆盖定理 证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。 定义数集A={x a |区间［a ，x ］在E 中存在有限子覆盖} 从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a ，x ］ A. 若A 无上界，则b A,那么［a ，b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。 x r ，都有 x A 。事实上， (r x) 0, y,使得 y r (r x) x 。 ［a ， y ］在E 中存在有限子覆盖， ［a ， x ］ ［ a ， y ］在E 中存在有 限子覆盖 下证b r 。用反证法。如果不然，r b ，则r ［ a ，b ］。因此，在E 中存在有一开区间覆盖 E 覆盖 r 。a 。， b o E ，使 a 。r t h 。 由上面论证知a 。A ，也即区间［a ，a o ］在E 中存在有限子覆盖，向这 个 有限子覆盖再加上开区间 E ， 即成为［a ， b ］的覆盖。 b o A ，与r=supA 矛盾。定理证完。 令 n , x lim b n = r n r 是 A 的上界 而 0, 由 lim a n = r 知 n 0,知 N ，当 n N ,有 r a ., 从而X A ,使r a n X , r=supA 。 §1关于实数集完备性的基本定理 §1关于实数集完备性的基本定理 授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时 教学目的与要求：理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚 点定理、柯西收敛准则、有限覆盖 定理。 教学重点与难点：正确理解区间套定理、魏尔斯特拉 斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。 教学过程： 前面我们由确界存在定理证明了单调有界定理. 下面由单调有界定理证明闭区间套定理、再证明聚点 定理、柯西收敛准则和有限覆盖定理,最后证明确界存 在定理.这样就证明了这些定理的等价性.它们都是刻 画实数集完备性(连续性)的基本定理,它们使极限理 论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上. 一 区间套定理 定义9.1.1 设闭区间列[]{},n n a b 具有如下性质: (ⅰ)[][]11 ,,(1,2,)n n n n a b a b n ++⊃=: (ⅱ)()lim 0n n n b a →∞-=, 则称[]{},n n a b 为闭区间套,或简称区间套. 这里性质(ⅰ)表明,构成区间套的闭区间列是前一 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0,虽然其中的各个开区间也是前一个包含后一个,且001lim =⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-∞→n n ,但不存在属于所有开区间的公共点. 二 聚点定理与致密性定理 定义9.1.2 设S 为数轴上的点集,ξ为定点(它可以属于S ,也可以不属于S ).若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称ξ为点集S 的一个聚点. 例如,点集()⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧+-=n S n 11有两个聚点11-=ξ和12=ξ:点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n S 1sin 只有一个聚点0=ξ:区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3 4,1内的一切点及点34 ,121==ξξ都是⎪⎭ ⎫ ⎝⎛34,1的聚点.而正整数集+ 没有聚点:任何有限集也无聚点. 聚点的另外两个等价定义如下: 定义9.1.2′对于点集S ,若点ξ的任何邻域内都含有S 中异于ξ的点,即()0 ;U S ξε⋂≠∅,则称ξ为S 的一个聚点. 定义9.1.2″若存在各项相异的收敛数列{}n x S ⊂,则 其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点. 关于以上三个定义的等价性证明,我们简述如下. 定义9.1.2⇒定义9.1.2′是显然的,定义9.1.2″⇒定义9.1.2也不难得到:现证定义9.1.2′⇒定义 9.1.2″. 第五讲实数的完备性 I 基本概念与主要结果 一实数空间 1无理数的定义 人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义•事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分•为了让实数与数轴上的点—对应起来，充满全数轴，必须用别的方法. 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限不循环小数定义为无理数. 一个无限不循环小数X，取其n位小数的不足近似值n与过剩近似值一：n ,〉n与-n均 A 为有理数，且P n-G n=― T 0（n T ） , x n^ E n, P n】.可见以无限不循环小数定义 10 无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定理，即承认它是正确的. 历史上引进无理数的传统方法有两种：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有 理数列的基本序列法. 戴德金分割法具有很强的直观性，其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么全体有理数被分为左、右两个子集A,B •如 果折断处是有理点，那么它不在左子集，就在右子集，这样分割就确定了一个有理数，即A的最大数或B的最小数•如果A中没有最大数，B中也没有最小数，这个分割就确定了直线上的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的，可定义其四则运算（可参见北京大学数学系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社，1986年）. 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近 毕达哥拉斯（公元前约580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义•在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数 之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学实数的完备性
(数学分析教案)第七章
数学分析7实数的完备性总练习题
07数学分析课件完备性
数学分析教案
数学分析(华东师大)第七章实数的完备性
实数集的完备性介绍
Rudin数学分析中的度量空间与完备性
实数的完备性及其在高数中的应用
实数域中的完备性与区间套定理
空间的完备性与巴拿赫空间的研究
实数完备性与连续性
7.3上极限和下极限
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理
数学分析：实数理论
《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明
§1关于实数集完备性的基本定理
第5讲实数的完备性
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