大丰区城东实验初级中学2017-2018学年度第一学期
八年级数学期中复习(二)
命题人：陈万青
一、本章知识整理
1、轴对称
（1）定义：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就称这两个图形关于，也称这两个图形成，这条直线叫做。
（2）性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被。
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成。
（3）判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线。
2、轴对称图形
（1）定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做。
（2）线段垂直平分线
①定义：的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
②性质：线段垂直平分线上的点到。
③判定：的点，在这条线段的垂直平分线上。
（3）角平分线：
角是图形，是它的对称轴。
①性质：角平分线上的点到。
②判定：的点在角的平分线上。
（4）等腰三角形
①等腰三角形是轴对称图形，是它的对称轴。
②性质：①等腰三角形的两个底角（简称“”）。
②等腰三角形重合。
③判定：有是等腰三角形（简称“”）
（5）等边三角形
①定义：的三角形叫做等边三角形
②性质：三边都，三个内角且每个内角都等于。
③判定：三角形是等边三角形。
是等边三角形。
3、直角三角形
（1）直角三角形等于的一半。
（2）30°角所对直角边的性质：
在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的。
4、尺规作图
（1）作线段AB的垂直平分线（2）作∠CDE的角平分线
二、例题讲解 例1、直角三角形ABC 中，∠A=90度，DE 是BC 边上的垂直平分线，如果CE 恰好是∠ACB 的平分线。 ①求∠B 的度数。 ②如果DE=4，求S ABC =？
例2、如图所示，AP 、CP 分别为△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，试说明：BP 平分∠MBN 。
例3、如图，公路OA 和OB 在某市相交于点O ，在公路附近有两个小镇C 、D ，如果要修一个大型农贸市场P,使P 到OA ，OB 的距离相等，且使PC=PD,用尺规作出市场P 的位置（写出作法，保留作图痕迹）
例4、如图,点O 是等边△ABC 内一点.将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB ＝110°. (1)求证:△COD 是等边三角形； (2)当α＝150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由；
A
C
B
三、课堂反馈：
1、如图，轴对称图形有（ ）
A ．3 个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2、在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．4个 D ．3个
3、三角形到三条边的距离相等的点是（ ）
A 、三角形的三条角平分线的交点
B 、三角形的三条高的交点
C 、三角形的三条中线的交点
D 、三角形的三边的垂直平分线的交点
4、如右下图，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆ABD 的周长为（ ）厘米。 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18
5、在等腰三角形ABC 中AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 7 B. 11 C.7或11 D.7或10
6、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ， ①若AB=20，BD=12，DC ＝__________；
②若△DBC 的周长为20，△ABC 的周长为32，则AB=________．
第6题 第7题 第8题
7、如图，AB=AC,BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD 的度数是______
8、 如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E,236cm S ABC =∆，AB=18cm,BC=12cm,则DE=______．
9、等腰三角形的一边长为４ｃｍ，另一边长为９ｃｍ，则它的周长为＿＿＿＿；等腰三角形的一边长为１０ｃｍ，另一边长为８ｃｍ，则它的周长为＿＿＿＿＿。 四、课后作业
1、利用网格线用三角尺画图，
（1）在图中找一点O ，使得OA=OB=OC ；
（2）在AC 上找一点P ，使得P 到AB 、BC 的距离相等； （3）在射线BP 上找一点Q ，使得QA=QC ．
2、如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，
试说明：AM 平分∠DAB.
3．已知：如图，AB ∥CD ，E 是AB 的中点，CE ＝DE ．
求证：（1）∠AEC ＝∠BED ；（2）AC ＝BD ．
4、如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°,AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。求∠A 的度数
5、 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ．
试说明：（1） ∠EDC ＝∠ECD ； (2)OC ＝OD ； (3)OE 是CD 的垂直平分线．
C
A
D
E
B
l 期末复习讲义二：轴对称 复习目标： 1．熟练掌握轴对称图形的性质，会作一个图形的轴对称图形； 2．熟练掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理； 【预习案】 1．如果一个图形，直线两旁的部分能够互相，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的． 2．一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做． 3．轴对称的性质： ⑴如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的；轴对称图 形的对称轴是任何一对对应点所连线段的． ⑵轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是；轴对称图 形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 4．角平分线定理： 性质定理：_____________________________________________________________； 判定定理：_____________________________________________________________； 5．线段垂直平分线定理： 性质定理：_____________________________________________________________； 判定定理：_____________________________________________________________； 【探究案】 探究1作图： 1．已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l的轴对称图形． 2．上图小河边有两个村庄，要在河边CD某处建一自来水厂向A村与B村供水，若要使厂部到 A、B的距离相等，则应建在哪儿？若使厂部到A、B的距离之和最短，则应建在哪儿？3．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）. 现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
轴对称专题复习讲义 一. 知识要点 对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容： （1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称. （2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接. 利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试 1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这 条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 . 如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数： （1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形 3.平面直角坐标系中，点A （-2,3）关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ，点B （-4,1）关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ，点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 . 知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14，BC =6，则AB 的长为 . 知识要点3：等腰三角形的性质与判定 5.如图，在等腰△ABC 中,AB =AC ，若∠1=∠2，则BD CD ，AD BC 6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 . 7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x 的范围是 ；若底边长为10，则腰 长y 的范围是 . C E B D A
2019-2020学年北师大版小学五年级数学上册期末复习专题讲义 轴对称和平移 【知识点归纳】 一．作轴对称图形 1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了． 【典例分析】 例： （1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形． （2）把图B向右平移4格． （3）把图C绕O点顺时针旋转180°． 分析：（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形A的关键对称点，连结涂色即可． （2）根据平移的特征，把图形B的各点分别向右平移4格，再依次连结、涂色即可． （3）根据旋转图形的特征，图形C绕点O顺时针旋转180°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形． 解：（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形（下图）． （2）把图B向右平移4格（下图）． （3）把图C绕O点顺时针旋转180°（下图）．
点评：此题是考查作轴对称图形、作平移的图形、作旋转图形．关键是确定对称点（对应点）的位置． 二．画轴对称图形的对称轴 1．对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴． 2．画法： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． （2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． 【典例分析】 例1：只有一条对称轴的图形是（） A、正方形 B、等腰三角形 C、圆 分析：分别找出ABC三个图形的对称轴，利用排除法进行选择正确答案． 解：A：正方形有4条对称轴，不符合题意， B：等腰三角形只有一条对称轴，符合题意， C：圆有无数条对称轴，不符合题意， 故选：B． 点评：此题考查了轴对称图形的对称轴的特点． 例2：画出下列图形的所有的对称轴． 分析：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴．根据轴对称图形的定义，找出并画出轴对称图形的对称轴即可．
环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号：______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 1、掌握轴对称图形及图形轴对称的画法； 2、能利用轴对称及垂直平分线的性质解决实际问题。 【趣味链接】 图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入几号球袋呢？ 【知识梳理】 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： D' D C' B' A' K J I H （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 【经典例题】 【例1】(大连课改) 在直角坐标系中，A （1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A’点，则A 与A′的关系是（ ） A 、关于x 轴对称 B 、关于y 轴对称 C 、关于原点对称 D 、将A 点向x 轴负方向平移一个单位 【例2】（2011湖北天门）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ） m C A B
大丰区城东实验初级中学2017-2018学年度第一学期 八年级数学期中复习(二) 命题人：陈万青 一、本章知识整理 1、轴对称 （1）定义：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就称这两个图形关于，也称这两个图形成，这条直线叫做。 （2）性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被。 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成。 （3）判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线。 2、轴对称图形 （1）定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做。 （2）线段垂直平分线 ①定义：的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ②性质：线段垂直平分线上的点到。 ③判定：的点，在这条线段的垂直平分线上。 （3）角平分线： 角是图形，是它的对称轴。 ①性质：角平分线上的点到。 ②判定：的点在角的平分线上。 （4）等腰三角形 ①等腰三角形是轴对称图形，是它的对称轴。 ②性质：①等腰三角形的两个底角（简称“”）。 ②等腰三角形重合。 ③判定：有是等腰三角形（简称“”） （5）等边三角形 ①定义：的三角形叫做等边三角形 ②性质：三边都，三个内角且每个内角都等于。 ③判定：三角形是等边三角形。 是等边三角形。 3、直角三角形 （1）直角三角形等于的一半。 （2）30°角所对直角边的性质： 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的。 4、尺规作图 （1）作线段AB的垂直平分线（2）作∠CDE的角平分线
二、例题讲解 例1、直角三角形ABC 中，∠A=90度，DE 是BC 边上的垂直平分线，如果CE 恰好是∠ACB 的平分线。 ①求∠B 的度数。 ②如果DE=4，求S ABC =？ 例2、如图所示，AP 、CP 分别为△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，试说明：BP 平分∠MBN 。 例3、如图，公路OA 和OB 在某市相交于点O ，在公路附近有两个小镇C 、D ，如果要修一个大型农贸市场P,使P 到OA ，OB 的距离相等，且使PC=PD,用尺规作出市场P 的位置（写出作法，保留作图痕迹） 例4、如图,点O 是等边△ABC 内一点.将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB ＝110°. (1)求证:△COD 是等边三角形； (2)当α＝150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由； A C B
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第20讲图形的变换 知识点一：轴对称图形 1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴 画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面 2.画轴对称图形的方法: (1)找出所给图形的关键点 (2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离 (3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点 (4)对照所给图形顺次连接各点 知识点二：平移与旋转 1.图形的平移 2.图形的旋转
知识点三：放大与缩小 1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比, 形状相同, 大小不同。 2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占 几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。 一、精挑细选(共5题；每题1分，共5分) 1．（1分）（2021六上·澄江期末）下列轴对称图形中，（）的对称轴条数最少。 A．圆B．正方形C．长方形 2．（1分）下面这些图形中，（）是轴对称图形。
A．B．C．D． 3．（1分）下图中，图形A通过（）得到图形B。 A．向下平移3格，再向右平移5格B．向右平移3格，再向下平移3格 C．向左平移3格，再向上平移3格D．向右平移5格，再向下平移6格 4．（1分）（2021六上·南郑期末）以下叙述正确的是（）。 A．人离路灯越近他的影子就越长。 B．圆直径所在的直线是圆的对称轴。 C．观察一个正方体魔方，一次最多能看到5个面。 D．圆越大圆周率越大。 5．（1分）（2021·建邺）再画一个小正方形，使下图成为轴对称图形，共有（）种不同的画法。 A．2 B．3 C．4 D．5 二、判断正误(共5题；每题1分，共5分) 6．（1分）在中，对称轴最多的是长方形。 7．（1分）（2021·临西）长方形、等边三角形、平行四边形、等腰三角形都是轴对称图形。（）8．（1分）（2021六上·惠城期中）由大、小两个圆组成的图形，最多有2条对称轴。（） 9．（1分）（2020六上·椒江期末）平行四边形、长方形、圆、等腰梯形和等边三角形都是轴对称图形。（） 10．（1分）如图由图形A得到图形B，可以通过旋转变换，也可以通过平移变换。（）三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共19分) 11．（4分）小鱼先向右平移格，再向上平移格，又向左平移格，最后向下平移格。
图形的运动 （一）对称轴的知识点 1、对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两边的图形能完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。 特征：对折后左右两边完全重合的图形是轴对称图形。 注意：物体的对称性与轴对称图形这两个概念是不同的。“对称性”是某些物体的特征，“轴对称”是部分平面图形的特征。 2、轴对称图形概念的几种表述： （1）如果一个图形沿着一条直线对折，折痕两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 （2）一个图形可以用一条直线平分成两半，并且这两半完全相同，这个图形就是轴对称图形。 （3）对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。 以上三种概念表述说明：轴对称图形是一个两部分能完全重合的图形。 3、类型：左右对称或上下对称的图形，都是轴对称图形。 常见的轴对称图形有：长方形、正方形、圆形、等边三角形。 字母是轴对称图形的有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、V、U、W、X、Y。 4、画图：根据轴对称图形的一半，画出它的另一半。 A.画对称轴的方法：左右对称的图形，在它左右两边的最上端找到一组相对称的点，并量出这两个点的中点。然后在最下端量出一组
对称点的中点。最后经过这两个中点划出一条虚线。（上下对称的图形画法相似） B.根据对称轴画出轴对称图形的另一半的方法：先将已知图形的每个角的顶点，在对称轴的另一端，以对称轴为中点量出与它们的相对称的点。最后将这些点用已知图形的连接方法一一连接起来。（记住：找对称点时，必须以对称轴为中心。） (二)平移的知识点 1.确定平移的方法和距离： （1）根据箭头指向确定平移的方向； （2）找出平移前后两个图形的一组对应点，对应点之间的格数就是图形平移的格数。 2.画简单图形平移后的图形的方法： （1）找出已知图形的关键点； （2）将关键点按要求平移相应的格数，得到一组对应; （3）根据原图形的形状将对应点按顺序连接。 3.应用平移进行图形的变换。（教材第87页例4） 这道题该如何解决：运用图形的平移可以将不规则图形转化成规则图形，进而解决问题。 自主练习 一.填空. 1.一个正方形有（）条对称轴。 2.圆有（）条对称轴。 3.张叔叔在公路上开车，方向盘的运动是（）现象。
第七单元图形的运动（二） 知识点一：轴对称 【知识点讲解】 1.轴对称图形的基本特征：对称点到对称轴的距离相等。 2.补画轴对称图形另一半的方法：（1）确定所给图形的关键点；（2）在对称轴的另一侧找到关键点的对应点；（3）按照所给图形的顺序顺次连接对应点。 【巩固练习】 1.填一填 （1）如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做（）图形，这条直线就是（） （2）长方形有（）条对称轴，正方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 （3）在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）。（4）（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 2、判断 （1）圆有无数条对称轴。（） （2）所有的三角形都是轴对称图形。（） 3、下面不是轴对称图形的是（） A B C D 4、下面哪些图形是轴对称图形？在□里画“√”。 □□□□□□□
5、下面的图形各有几条对称轴，都画出来。 6、画出下面图形的对称轴，使得他们是轴对称图形。 能力提升 将一张正方形的彩纸沿同一方向对折、再对折……对折4次后有多少条折痕？ 知识点二：平移 【知识点讲解】 1.确定方格中图形平移的方向和距离的方法：（1）根据箭头指向确定平移的方向；（2）找出平移前后两个图形的一组对应点，对应点之间的格数就是图形平移的格数。 2.在方格中画出简单图形平移后的图形的方法：（1）找出已知图形的关键点；（2）将关键点按要求平移相应的格数，得到一组对应点；（3）根据原图形的形状将对应点按顺序连接。 3.平移的应用：应用图形的平移可以将不规则图形转化成规则图形，进而解决问题。 【巩固练习】 1.下面（）的运动是平移。 A、旋转的呼啦圈 B、电风扇扇叶 C、拨算珠
第二章图形的轴对称 2.3轴对称图形 第1课时教学设计 教学目标 1.能够认识轴对称图形，并能找出对称轴 2.知道轴对称与轴对称图形的区别与联系 3.经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念. 教学重点及难点 重点：轴对称图形的概念及识别 难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系. 教学准备 多媒体课件 教学过程 【复习引入】 观察下图，他们有什么相同点和不同点？ 设计意图：通过设置的情境引出本节课的学习内容. 【探究新知】 做一做中国象棋棋盘，如果把棋盘沿着中间的虚线对折，棋盘的上下两部分将会怎样？
完全重合 在下棋开局之前，双方要按照规则把棋子摆放到棋盘上，如图，这些棋子的摆放有什么规律？ 关于虚线对称 试一试如图，是正五角星的一部分，你能以直线l为对称轴，画出它的另一部分吗？观察你画出的完整的五角星，发现五角星在直线l两旁的部分有怎样的关系？ 五角星两旁的部分关于直线l对称 一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形. 议一议你能说出“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的区别与联系吗？
想一想轴对称图形一定只有一条对称轴吗？将下表填写完整 有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条. 设计意图：通过例题的讲解进一步让学生明晰轴对称图形以及对称轴的个数. 合作探究 如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，
然后回到营地，试设计出最短的放牧路线． 以河为对称轴作M 的对称点M ′，（如图）过M ′作草地的垂线，垂线和河的交点H 就是所求的点． 设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 【应用新知】 典例精析 例题：试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 3 44 45 46 47 8 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n 边形对称轴的条数作一猜想． 3，4，5，6，7，8 n 设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 1.下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同？这个图形是： （写出序号即可） 2.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）
中考数学复习《轴对称知识点梳理+过关练习》）专题复习讲义 一．知识点回顾 1.定义: (1)轴对称:如果两个平面图形沿一条直线对折后能够,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴. (2)轴对称图形: 如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 2.性质: 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点的连线被对称轴,对应线段相等,对应角相等. 二．规律总结： 1.“轴对称图形”与“轴对称”是两个不同的概念,它们既有区别又有联系: (1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有轴对称性质的图形; (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形. 2.常见的轴对称图形:线段、角、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆等. 三．过关练习 1.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形
的是() 2. 如图,∠AOB=50°,OM平分∠AOB,MA⊥OA于点A,MB⊥OB于点B,则∠MAB等于( ) A.50° B.40° C.25° D.20° 3.如图,在△ABC中,D点在BC上,将D点分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF.根据图中标示的角度,∠EAF的度数为() A.113° B.124° C.129° D.134° 4.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点, 下列说法错误的是 ( )
环球雅思学科教师辅导教案年级：辅导科目：数学学员姓名：学科教师： 授课类型 星级T（轴对称现象） T（线段、角平分线，三 T(轴对称的性质 ) 角形的轴对称特点） ★★★★★★★★★ 授课日期及时段 教学内容 T-轴对称现象 1、定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系 轴对称图形轴对称 一分为二 合二为一 区别：一个图形两个图形 联系：如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成 2 个图形，那么这两部分成轴对称。 如果把成轴对称的 2 个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。 例 1、下列英文字母属于轴对称图形的是（） A、N B、S C、L D、E 例 2、如图所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A. （1）（2） B. （1）（3）（ 4） C.（2）（ 3） D.（ 1）（4） 例 3、下列图形中对称轴最多的是() ． A ．等腰三角形B．正方形C．圆D．线段 例 4 一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图），此时，它所看到的全身像是（）
练习：１、下列说法正确的是（）． A．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 ２、判断下面每组图形（如图所示）是否关于某条直线成轴对称. ３、如图，ABC和A’ B’ C’关于直线对称，下列结论中： ①Δ ABC≌Δ A’B’C’；②∠ BAC’≌∠ B’AC； ③l 垂直平分’；④直线 BC 和’ ’的交点不一定在 l 上CC B C 正确的有 ()A ．4个B．3 个 C ．2个D．1 个 ４、等边△ ABC中，点 P 在△ ABC内，点 Q在△ ABC外，且∠ ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ 是 什么形状的三角形？试说明你的结论． T-线段垂直平分线与角平分线以及三角形的部分特点
学科老师辅导讲义 学员姓名：年级：三年级下辅导科目：数学学科教师： 授课日期授课时段 授课主题第二单元：图形的运动 教学内容 一、轴对称（一） 教学内容：本节课初步认识对称图形。 教学目标：1、联系生活中的具体事物，通过观察操作活动，初步认识对称图形，体会对称图形的特征。 2、在认识和欣赏轴对称图形的过程中，感受图形的对称美，逐步培养主动探究和应用知识的能力 发展空间观念。 3、结合图案，物体的欣赏，培养审美情趣和想象力。 重难点：重点：了解对称图形的特征 难点：判断轴对称图形，能正确找出全部的对称轴 一、激趣导入：欣赏轴对称图形 师：同学们，让我们一起来欣赏几张美丽的蝴蝶图片（多媒体课件播放） 师：这些蝴蝶图形美吗？这些都是轴对称图形。今天我们一起来了认识轴对称图形。 板书课题：轴对称（一） 二、探究新知： 1、初步认识轴对称图形 （1）仔细观察这几个图形，它们有什么共同特点？ 生1：我发现它们左右都是一样的 生2：...... 生3：我发现它们是对称的 追问：你是怎么理解对称的？ 生：对称就是左右两边是完全一样的 （2）指出：这样的图形是轴对称图形 2、折一折，看一看 （1）操作：把课本上的图片按箭头沿着虚线对折 （2）比较：比一比虚线两边，你有什么发现？ 生1：它们的形状相同 生2：它们的大小也相同 生3：...... 生4：这些图形上都有一条折痕 追问：现在你们把自己剪的图形重新对折一下，有什么发现？ 生：两边完全重合 3、认一认，说一说 师：这5个图形是什么图形？你是怎样知道的？ 生：这些图形都是轴对称图形，沿着图形上的虚线对折，对折后都重合，虚线就是对称轴 三、巩固提高
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习 轴对称图形 【课标要求】 1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质； 2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形； 3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系； 4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题； 5.能利用轴对称进行图案设计. 【要点梳理】 1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴. 2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴； 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】 1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右； 2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题； 3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件； 4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】 一、选择题 1.下列图形中，为轴对称图形的是（）
期末备考—北师大版三年级下册数学优选题单元复习讲义 第二单元《图形的运动》 1 轴对称图形： 对折后两边能完全重合的图形是轴对称图形。 2 对称轴： 对折后能使两边重合的线叫做对称轴。 3 轴对称图形特点：
对称轴是一条直线，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。 4 轴对称图形的有： 角、五角星、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、正方形、长方形、圆和正多边形等都是轴对称图形等． 5 有的轴对称图形有不止一条对称轴. 圆有无数条对称轴,每条圆的直径所在的直线都是圆的对称轴. 6 既不是轴对称图形又不是中心对称图形有： 不等边三角形，非等腰梯形等． 7 平移： 是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 8 平移的特征： 图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。 9 对平移和旋转现象的初步认识： ①张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（旋转）现象。 ②升国旗时，国旗的升降运动是（平移）现象。 ③妈妈用拖布擦地，是（平移）现象。 ④自行车的车轮转了一圈又一圈是（旋转）现象。 镜子内外的左右方向是相反的。
1.下面图形中是轴对称图形的有几个?（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】【解答】图中第1、3个不是轴对称图形；第2 、4个是轴对称图形，故是轴对称图形的有2个。故答案为：B。 【分析】分别观察各个图形，看是否能找到一条直线，使得图形沿直线折叠后能完全重合，若能则说明是轴对称图形，否则不是。 2.下面图形中，（）一定是轴对称图形。 A. 六边形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 三角形 【答案】C 【解析】【解答】长方形一定是轴对称图形。 故答案为：C。 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线叫做对称轴。 3.下面第（）个图形是“小房子”在“小河”水中的倒影。 A. B. C. D. 以上都不是 【答案】A
1）下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。 （） （） 2）.你认为什么样的图形叫做轴对称图形，用你自己的话写一写。 （能用自己的话简单描述出轴对称图形即可） 3）试一试，画出下面这个轴对称图形的另一半。 学生情况如下： 习题1： 图形正确人数百分比错误人数百分比 正方形35 97% 1 3% 等腰梯形30 83% 6 17% 直角三角形35 97% 1 3% 正六边形34 94% 2 6% 平行四边形20 56% 16 44% 等边三角形29 81% 7 19% 扇形24 67% 12 33% 四边形26 72% 10 28% 五角星28 78% 8 22% 长方形34 94% 2 6% 通过调研发现对于大部分平面图形学生能够比较正确的进行判断，学生对于题目中的扇形和不规则的四边形、平行四边形错误率较高，其中平行四边形出现错误最多。结合学生出现错误最多的图形，对四位学生进行了访谈。
正确 一部分数错两部分都数错完全错误 人数23 6 5 2 百分 64% 17% 14% 5% 率 通过课后访谈发现学生虽然能够正确画出轴对称图形的另一半，但是对于如何画出来的并不是像教师预想的那样是利用轴对称图形特征，而是通过数对称轴左边一条斜线所占方格的数量和方向来判断对称轴右边对应的斜线所需要的方格数量和方向来画，并没有利用本课要学习的轴对称图形特征来解决问题，其实孩子的方法也是可以的，但是一旦脱离了方格纸这种方法就很容易出现错误，而利用轴对称图形特征就很容易在脱离方格纸的情况下完成轴对称图形另一半，这就间接说明了轴对称图形特征的重要性。 三道前测习题中前两题了解了学生对轴对称图形已有知识经验基础及学生思维过程，第三题为了了解学生在以后知识经验基础上对轴对称图形特征本质是否了解。通过对三道题的分析，我发现了对于轴对称图形的本质的理解是非常重要的，所以本课的教学要充分调动、利用学生的已有认知经验，使学生通过生活中的实例进一步理解轴对称图形，探索轴对称图形的特征；能用“折叠”“重合”这样的词语准确地描述出轴对称图形的特征，着重从“对称轴的认识、不同的轴对称图形的对称轴情况区分、利用对称轴画出轴对称图形的另一半”这些方面来展开教学。采用直观教具辅助，以引导发现为主，让学生在讨论交流中，全过程地参与教学的每一环节。充分调动学生学习的积极性，培养学生的观察力、动手操作能力和想象力，从而培养学生学习数学的信心和兴趣。 【我的思考】 1.为什么要对折？ 根据以往的教学经验我发现，通过对折判断一个图形是不是轴对称图形，学生的操作是在教师的明示或暗示之下进行的，学生并不知道为什么要对折，也不知道对折的目的是什么，只是按照老师的要求去折。实际上，要判断一个图形是不是轴对称图形，就要看“这个图形对某一直线而言，在大小、形状和排列上是否具有一一对应的关系”，对折的目的就是为了证明有没有这样的“一一对应关系”。所以在教学中要让学生在解决问题的过程中通过思考，在动手操作中感悟到“对折”的价值。而通过前测和访谈也发现学生对于长方形、平行四边形、正多边形容易出现认知上的错误，这就要借助动手折一折来帮助学生进行验证。 2.创设什么样的活动，问题引导学生对轴对称本质特征的理解和应用
期中复习讲义（北师大版） 2020-2021学年北师大数学三年级下册期中章节复习精编讲义 第二单元《图形的运动》 知识互联网 知识导航 知识点一：轴对称 1轴对称图形的定义：把一个图形对折后，折痕两边的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的直线是对称轴，对称轴一般用虚线表示。 2轴对称图形的特点：把图形对折后，折痕两边的部分能够完全重合。 3判断一个图形是不是轴对称图形，要看它对折后折痕两边是否能够完全重合。注意：
有些图形不止一条对称轴，对称轴有可能是横着的，也有可能是竖着的或斜着的，因此要从多个角度观察图形。 4剪轴对称图形的方法：把一张纸对折后，在靠对称轴的一侧画出图形的一半，用剪刀沿所画线条剪开，展开折纸，纸上对应的图形就是轴对称图形。 5猜想轴对称图形的方法：根据图形的一半及轴对称图形的特点，联系生活实际可以想象出完整的图形。 6轴对称图形的有：角、五角星、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、正方形、长方形、圆和正多边形等都是轴对称图形等．圆有无数条对称轴,每条圆的直径所在的直线都是圆的对称轴 知识点二：平移 1平移是物体（或图形）沿着某个方向移动了一定的距离，平移的两个因素：方向和距离。 2平移的特征：图形平移前后的图形形状和大小没有变化，只是位置发生变化。 3在方格纸上平移简单物体，并描出平移后的位置的方法：首先在物体上确定一个或多个关键点，然后把关键点按要求平移相应的格数，最后描出物体平移后的位置。 4 判断物体平移的方向和距离时，可以根据该物体上某个关键点平移的方向和距离来确定。 知识点三：旋转 1旋转是物体（或图形）绕某一定点沿某个方向运动，旋转的三个因素：旋转中心和旋转角度和旋转方向。 2旋转的特征：旋转时，物体的形状和大小都没有发生变化，只有方向和位置发生了变化。 3对平移和旋转现象的初步认识： ①张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（旋转）现象。
苏科版中考数学轴对称与中心对称专题 一、选择题 1.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB ＝15°，则∠AOB ′的度数是( ) A ．25° B ．30° C ．35° D ．40° 2.（2022湖北黄石一模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为( ) A.258 cm B.254 cm C.252 cm D ．8 cm 3.如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ）． A.︒50 B 、︒55 C 、︒60 D 、︒65 4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝2 3，则四边形MABN 的面积是( ) A ．6 3 B ．12 3 C ．18 3 D ．24 3 二、填空 5.如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△C B A 11，连结1AA ，若 11B AA ∠=15° ，则∠B 的度数是 6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（-2,0）、），（01x ，且1＜1x ＜2，与y 轴交于的正半轴的交点在（0,2）的下方。下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a-2b+c ＞0；
④2a －b+1＞0，其中正确结论个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 填空题 1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积是__________． 2.如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ，C 仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是 __________平方单位(结果保留π)． 3如图，矩形纸片ABCD ，AB =2，∠ADB =30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD •落 在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为________． 4 如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，边AE 在边AB 上，AB ＝2AE ＝2．将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转60°，BE 的延长线交直线DG 于点P ，旋转过程中点P 运动的路线长为 ． 5 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是_______． C B A E G D F
人教版数学二年级下册 第三单元图形的运动 知识点01：轴对称图形 定义：对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，折痕所在的直线叫对称轴。 知识点02：平移现象 定义：物体或图形沿直线方向运动，而本身方向不发生改变，这种运动现象叫平移。只有形状、大小、方向完全相同的图形通过平移才能互相重合。 知识点03：旋转现象 1.定义：物体绕着一个点或轴进行转动的现象就是旋转。 2.剪轴对称图形：在剪轴对称图形时应用了由易到难，由简单到复杂的学习方法，使剪纸变的不再复杂。 考点01：轴对称图形 【典例分析01】判断，是轴对称图形的打“√”，不是轴对称图形的打“×”
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可。 【解答】解： 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。 【变式训练01】小明说：“平行四边形一定是轴对称图形。”×你的理由是：平行 四边形沿着一条直线对折后两部分不能完全重合。 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫对称轴；据此选择即可。 【解答】解：小明说：“平行四边形一定是轴对称图形。”×你的理由是：平行四边形沿着一条直线对折后两部分不能完全重合。 故答案为：×，平行四边形沿着一条直线对折后两部分不能完全重合。 【点评】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。 【变式训练02】下面图形是轴对称图形的画“√”，不是的画“×”。 【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此解答即可。 【解答】解： 【点评】根据轴对称的定义，解答此题即可。 【变式训练03】下面图形是轴对称图形吗？是的在下面的方框里画“√”，不是的画“×”。
五年级数学下册复习讲义 概念部分 第一单元图形的变换 一、注重知识的把握 1、轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠后，两边的图形可以完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。 2、对称点到对称轴的距离相等。 3、旋转要明确绕点，角度和方向。 4、图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 5、等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 6、旋转三要素：旋转点（或旋转中心）、旋转方向、旋转角度 二、注意意义的区别 轴对称是沿着一条直线对折后，两个图形能够完全重合；而轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后，图形的两部分之间能够完全重合。 轴对称图形是指一个图形，而大小形状完全相同的两个图形才能成轴对称。 三、画法 （一）一个图形的轴对称图形的画法 1、定：确定所给图形的关键点，如：图形定点，相交点，端点。 2、数（或量）：数出或量出图形的关键点到对称轴的距离。
3、找（或量）：在对称轴另一侧找出这些点的对称点。 4、连：按所给图形的形状连接各对称点。 （二）简单图形旋转90°的画法 1、找出图形的关键点或线段。 2、借助三角板（或量角器）作原图形线段或关键点与旋转中心所在线段的垂线。 3、在所做垂线上量出与原线段相等的长度（即找出原图关键点的对应点）。 4、顺次连接所画出的对应点。 第二单元：因数与倍数 1、为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0） 2、一个数的最小因数是1，最大的因数是本身。一个数的因数的个数