3.2第2课时 一元二次不等式的应用 秋学期高中数学必修5(人教A版)学案

教学设计说明课题：一元二次不等式及其解法〔第二课时〕一、本节数学内容的本质、地位、作用分析：这一节课是《一元二次不等式及其解法》的第二课时，在本节课之前，学生已学习了二次函数，对一元二次不等式的解法有了初步的了解，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心，它在高中代数中起着广泛应用的工具作用，蕴藏着“数与形结合〞的重要思想方法，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容都密切相关。

概括地讲，本节课的地位表达在它的基础性，作用表达在它的工具性。

二、教学目标分析：根据学生已有的认知基础，结合素质教育的要求，依据新课程标准，我确定了本节课的教学目标：1、知识与技能目标：〔1〕理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；〔2〕熟练掌握一元二次不等式的解法；〔3〕掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法；〔4〕培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。

3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

三、教学问题诊断：学生已经学习过二次函数、一元二次方程，并在上一节课上初步学习了一元二次不等式的解法，已经了解到上述三者之间的关系，在此基础上确定本节课学生在新知识学习过程中可能出现的问题或者存在的困难:〔一〕、对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系的认识不够深刻，从而出现解题过程的错误，针对此本人设计了复习提问：1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？加深学生对知识的理解，并设计例题：解不等式：10732≤-x x ，教师解题并分析，考虑到此题的重要性，我又设计了对应的学生演板〔1〕04422<-+-x x 和学生做题后进行提问，由此能解决这个问题。

1．复习巩固一元二次不等式的解法．2．能利用一元二次不等式解决实际应用问题． 3．初步掌握一元二次方程根的分布的讨论．Δ＝b 2－4ac(a ＞0)Δ＞0Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 的根有两个相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0的解集 ____________ ____________ Rax 2＋bx ＋c ≥0 的解集 {x |x ≤x 1或x ≥x 2} R Rax 2＋bx ＋c ＜0的解集{x |x 1＜x ＜x 2}__ ax 2＋bx ＋c ≤0的解集 {x |x 1≤x ≤x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－b 2aA.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－232．用程序框图表示一元二次不等式的求解过程用一个程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的算法过程：【做一做2】 集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |(x －2)·(x －5)＜0}，则A ∩B ＝__________.答案：1.{}x |x <x 1，或x >x 2 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a【做一做1】 B【做一做2】 {x |2＜x ＜3}一元二次方程的根的分布讨论剖析：关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，判别式Δ＝b 2－4ac . (1)定理1：方程没有实数根Δ＜0.定理2：方程有两个相等的实数根Δ＝0. 定理3：方程有两个不相等的实数根Δ＞0. 定理4：方程有实数根Δ≥0.(2)设一元二次方程的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2.定理5：x 1＞0，x 2＞0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，x 1＋x 2＝－b a>0，x 1x 2＝c a >0.定理6：x 1＜0，x 2＜0⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0.定理7：x 1＜0＜x 2ca＜0. 定理8：x 1＝0，x 2＞0c ＝0且ba＜0；x 1＜0，x 2＝0c ＝0且ba＞0.题型一 求参数的取值范围【例题1】 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0没有实数根，求实数m 的取值范围．分析：根据一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0没有实数根列出m 满足的条件(一元二次不等式)，解不等式得到实数m 的取值范围．反思：已知一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的步骤：(1)利用一元二次方程根的分布情况列出参数满足的条件——不等式(组)；(2)解不等式(组)得参数的取值范围．题型二 实际应用题【例题2】 政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点，即10%)，计划收购a 万担；为了减轻农民的负担，现决定将税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x 的取值范围．分析：税收＝征税总额×税率，先建立税收随税率降低的百分点x 变化的函数关系，再用不等式表示不等关系即可．反思：解不等式应用题，一般可按以下步骤进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式；(4)给出实际问题的解． 题型三 易错辨析【例题3】 关于x 的方程ax 2－x －a －1＝0仅有一个实数根，求实数a 的值．错解：由于关于x 的方程ax 2－x －a －1＝0仅有一个实数根，则实数a 满足Δ＝1－4a (－a －1)＝0，解得a ＝－12.错因分析：当a ＝0时，关于x 的方程ax 2－x －a －1＝0不是一元二次方程，此时不存在判别式Δ，因此需要对实数a 是否等于0进行分类讨论．反思：讨论关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的分布时，要讨论x 2的系数a 是否为0，否则易漏解(如本题错解)．答案：【例题1】 解：由于关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0没有实数根，则实数m满足Δ＝(－m )2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，即实数m 的取值范围是(0,4)．【例题2】 解：税率降低x 个百分点，则收购量可增加为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 100万担，征税总额增加为100×a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 100元，税率变为10－x 100.由题意，得100×a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 100×10－x 100≥100×a ×10%×83.2%，即x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2，所以0＜x ≤2. 即x 的取值范围是(0,2]．【例题3】 正解：当a ＝0时，关于x 的方程ax 2－x －a －1＝0为－x －1＝0，解得x ＝－1，即a ＝0满足题意．当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－x －a －1＝0是一元二次方程，则实数a 满足Δ＝1－4a (－a －1)＝0，解得a ＝－12.综上所得，a ＝0或－12.1(2011·吉林长春高三调研)已知集合A ＝{x ||2x ＋1|＞3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}，则A ∩B ＝( )A ．[－3，－2)∪(1,2]B ．(－3，－2]∪(1，＋∞)C ．(－3，－2]∪[1,2)D ．(－∞，－3)∪(1,2]2若关于x 的一元二次方程x 2－(t ＋2)x ＋94＝0有两个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是__________．3某地每年销售木材约20万m 3，每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量能减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．4若关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x ＋m ＋5＝0的实数根均是正数，则实数m 的取值范围是__________．5你能用一根长为100 m 的绳子围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？答案：1．A 2.(－∞，－5)∪(1，＋∞) 3.[3,5] 4.(－5，－1]5．解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．。