极限理论在数学分析中的作用及应用探究.doc
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极限思想在高中数学中的应用开题报告开题报告数学与应用数学极限思想、地位和应用一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义极限是分析数学中最基本的概念之一,极限思想是数学中极为重要的思想。
极限一词从词源上讲含义是表示一个不可超越的限度,含有限制的意思。
数学中的"极限"在一定方面也有这个意思,但不完全是,更广地,如有"无穷逼近"之意。
在数学领域"极限"是有严格定义的,用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态,它的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它将初等数学扩展为变量数学,此后抽象空间中各类收敛性,也都是极限思想方法的运用和拓广。
而"极限"有其漫长的历史,历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化。
古代朴素的,直观的极限思想是随着无限观的产生而产生的,古希腊的"穷竭法"、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术等,无不含有朴素的极限思想的雏形,也揭示了极限概念的萌芽时期。
古朴的极限思想主要指通过整体细分,按照其中一种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想。
希腊人的"穷竭法",从外推思想直观猜测出"两个圆的面积之比等于它们的直径(或半径)的平方之比",因为通过作两个圆的内接正多边形的面积之比,总是等于两个圆的半径的平方之比,所以外推"在终极的情况下"也应如此,即对于两个圆的面积,同样的结论也是成立的,这其中就蕴含有极限逼近思想。
希腊人在穷竭思想下发展的证明方法是严格的,并不是大致近似或是严格极限概念的其中一步,它根本不含明确的极限思想,仅依赖于间接证法,双归谬法,这样就避免了用到极限。
实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠,因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。
但我们也能看到,双归谬法的确遏制了穷竭思想向极限思想的发展,远离了向严格极限发展的方向,将难处理的涉及无限的东西通过反证归谬给化解了。
极限理论在高等数学教学中的作用作者:古力加马力·依斯马义来源:《理科考试研究·高中》2016年第05期在高等数学教学的过程中,想要将微积分理论弄清楚,就必须要将极限理论进行透彻的分析.因此,在某种意义上,对极限理论的理解能够为高等数学的学习打下坚实的基础.极限理论是一种研究事物动态数量关系的方法,它是高等数学理论基础的重要组成部分,是区别初等数学和高等数学的重要标志.极限理论在高等数学中扮演着极为重要的角色,对函数连续的概念、导数和微积分等定义的确定有着十分重要的作用.一、极限理论的发展历程高等数学是现代科学技术中应用最为广泛的一门学科,是现代数学的基础.高等数学要对静态数量关系和动态数量关系进行研究和分析,在这一背景下,极限作为一种研究事物的方法应运而生.在我国,无限分割是最早出现的极限思想,我国数学家刘徽提出了以割圆术的方法来求圆的面积,后来,数学家祖冲之也通过割圆术计算圆的面积,并将圆周率精确到小数点后7位.随着历史的推进,数学家波尔查诺最早提出用极限理论方法在区间上进行连续的方法,而经过数学家维尔斯特拉斯和柯西的努力,极限理论摆脱了几何直观和想象,变得更加成熟,逐渐形成了现在一系列的极限理论.二、极限理论在高等数学教学中的作用1.高等数学的重点内容中均包含着极限思想在高等数学的领域中,微积分无疑是其最核心的内容,而微分和积分的实质就是极限思想.同时,在高等数学其他重要的概念里,函数连续概念和导数的定义都是极限思想给出.可以说,高等数学的重点内容中均包含着极限思想.(1)函数连续概念. 函数连续的概念是由极限思想定义的.如果简单地从图形上来看,连续函数就像是坐落在坐标系上的连绵山脉.但是这种直观的感受并不精确,直到数学家柯西和维尔斯特拉斯建立了基本的极限理论,函数连续的概念才得到了精确的定义.可以说,函数连续概念也是极限理论的一种表现形式.(2)导数. 导数的定义以极限为基础,也是极限理论的一种表现形式.在最初,一位法国数学家在研究极值问题时提出了导数的概念,而在之后的研究过程中,先后有德国数学家和英国数学家在求已知曲线的切线和研究物体运动速度时建立了相同的模型来解决问题.尽管这两个研究课题在形式上并不相同,甚至不是同一个领域的问题,但是他们都可以在极限理论的基础上,利用导数的定义来解决问题.(3)微积分. 积分有定积分、不定积分、多重积分和曲面积分等多种形式,不定积分是利用导数的反运算性质来推导的定义,而导数又是以极限理论为基础的.因此,不定积分也是极限理论的表现形式.另外,其他形式的一些积分形式都是由极限直接定义的.例如定积分的研究,数学家在研究曲边梯形的面积和变力作功时,引入了定积分的定义,它是一种经过“分割,近似求和,取极限”的求解方式,是一种较为特殊的极限.2.极限使高等数学的各部分得到统一在高等数学的学习中,极限方法是一种研究数学变量问题的基本方法,它使人们从有限认识到无限认识.在某种意义上,极限理论体现了常量和变量的对立统一,是一种将客观世界的量变问题转换成质变过程的理论,它可以将函数连续概念、导数和微积分等高等数学的各部分进行统一处理.例如,在正项级数和极限的关系中,正项级数的序列成单增态势,因此根据单调有界函数必有极限的性质,在进行项级数讨论时,学生可以利用取绝对值的方法,将其转化成正项级数或非负项级数,并解出正确答案.这说明级数与无穷限广义积分之间可相互转换.由此可见,在高等数学学习的各个部分,都可以在极限的本质“其差值为无穷小量”的基础上来进行定义的转换,极限理论的出现和使用,使高等数学的各部分有机地统一在一起,更好地帮助学生的学习和理解.综上所述,极限理论是高等数学教学中最基础的知识,也是高等数学中最重要的内容.极限理论为微积分的教学打下了坚实的基础,它是一门以极限理论为主要研究工具来研究函数的学科.因此,教师在教学过程中要注重对学生极限思考的锻炼,帮助学生理清极限理论的重要概念,使学生能够掌握极限理论的实质性问题,从而更好地强调极限理论在高等数学中的地位.。
极限思想及其在数学中的应用摘要:高等数学中极限教学作为重要内容,是高等数学计算分析的基础,也是高等数学问题分析的难题,极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的,高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的,以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难,原因在于数列极限概念很抽象,而且计算也有一定的难度。
本文首先阐述极限的定义;接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法;最后指出极限的应用状况,通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。
关键词:极限;求解方法;应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract:Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)(一)选题背景 (1)(二)研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)(一)数列极限的定义 (1)(二)函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (3)(一)数列极限的求法 (3)1 极限定义求法 (3)2 极限运算法则法 (6)3 夹逼准则求法 (6)4 单调有界定理求法 (7)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (8)(二)函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (15)四、极限的应用 (18)(一)在计算面积中的应用 (18)(二)在求方程数值解中的应用 (18)五、结论 (20)致谢 (22)一、引言(一)选题背景随着对变量间函数关系的不断深化,微积分由此产生。
高等数学教材极限在高等数学教材中,极限是一个关键概念。
它在微积分和数学分析等领域中被广泛应用。
极限既是一种理论概念,同时也是解题中不可或缺的方法。
本文将介绍高等数学教材中的极限概念及其应用。
一、极限的定义在高等数学教材中,极限的定义是基础且重要的一部分。
极限描述了函数在一个点附近的趋势。
通常情况下,我们用极限来研究函数的性质和行为。
在数学中,对于函数f(x),当自变量x无限接近于某个值a时,如果函数f(x)的取值无限接近于某个常数L,则称函数在a处的极限为L,记作:lim(x→a)f(x) = L这个定义说明了函数在特定点附近的行为,帮助我们理解函数的性质。
二、极限的性质极限在高等数学教材中有许多重要的性质,这些性质被广泛用于解题和推导过程中。
1. 唯一性:一个函数在某一点的极限是唯一的。
也就是说,如果函数在某一点a的极限存在,那么它只能有一个确定的极限值。
2. 有界性:如果一个函数在某一点的极限存在且有限,那么该函数在该点附近是有界的。
这个性质在许多函数的研究中起到重要的作用。
3. 保号性:如果一个函数在某一点的极限存在且大于零,那么该函数在该点附近必大于零。
同样地,如果极限存在且小于零,那么函数在该点附近必小于零。
4. 四则运算法则:对于极限的加减乘除运算,同样适用于函数的极限。
如果函数f(x)和g(x)在某一点a的极限分别为L1和L2,则:(1)lim(x→a)[f(x) ± g(x)] = lim(x→a)f(x) ± lim(x→a)g(x) = L1 ± L2(2)lim(x→a)[f(x) × g(x)] = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) = L1 × L2(3)lim(x→a)[f(x) / g(x)] = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) = L1 / L2 (假设L2不等于零)三、极限的应用极限在高等数学教材中有广泛的应用,涉及到微积分、数学分析等多个学科领域。
数学中的极限思想及其应⽤.摘要:本⽂对数学极限思想在解题中的应⽤进⾏了诠释,详细介绍了数学极限思想在⼏类数学问题中的应⽤,如在数列中的应⽤、在⽴体⼏何中的应⽤、在函数中的应⽤、在三⾓函数中的应⽤、在不等式中的应⽤和在平⾯⼏何中的应⽤,并在例题中⽐较了数学极限思想与⼀般解法在解题中的不同。
灵活地运⽤极限思想解题,可以避开抽象、复杂的运算,优化解题过程、降低解题难度。
极限思想有利于培养学⽣从运动、变化的观点看待并解决问题。
关键词:极限思想,应⽤Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea,application⽬录1 绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本⽂解决的主要问题 (3)2 数学极限思想的在解题中应⽤ (5)2.1数学极限思想在数列中的应⽤ (5)2.1.1利⽤极限思想处理⽆穷等⽐数列 (5)2.1.2利⽤极限思想简化运算过程,优化解题⽅案 (6)2.2数学极限思想在函数中的应⽤ (7)2.2.1利⽤极限思想确定函数图像 (7)2.2.2利⽤极限思想确定函数定义域 (7)2.2.3利⽤极限思想求未知变量的取值范围 (8)2.3数学极限思想在三⾓函数中的应⽤ (9)2.3.1通过求极端位置求三⾓函数的取值范围 (9)2.3.2通过假设极端状态推出⾓的取值范围 (9)2.4数学极限思想在不等式中的应⽤ (10)2.4.1通过假设变量的极限求得答案 (10)2.4.2利⽤极限思想解决不等式证明题 (10)2.4.3应⽤极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 (11)2.5数学极限思想在平⾯⼏何图形中的应⽤ (11)2.5.1利⽤极限思想求某些平⾯图形阴影部分⾯积 (11)2.5.2利⽤极限思想解决圆锥图形的问题 (12)2.6数学极限思想在⽴体⼏何中的应⽤ (14)2.6.1数学极限思想在解决求⽴体图形体积中的应⽤ (14)2.6.2利⽤极限思想探索⽴体图形的等量关系 (14)2.6.3利⽤极限思想解决探索动点轨迹 (14)3 对⼀道数学题探索解题思路 (16)结论 (17)谢辞 (18)参考⽂献 (19)1 绪论极限思想是近代数学的⼀种重要思想,数学分析中的⼀系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。
极限思想及其在数学中的应用Limit Idea and its Application in MathematicsLI Meihua(South China Business College , Guangdong Universityof Foreign Studies , Guangzhou, Guangdong 510545 ) Limit is an important concept in advanced mathematics. This article summarizes the development history of thelimiidea , and analyzes the application of the limit idea tin mathematics , especially in differential and integralcalculus , finally , highlights its position as amethodological significance to solve practical problems.1极限思想的由来及其发展极限思想来源于生产生活实践,为求某些实际问题的精确解答而产生。
古希腊的安提芬(antiphon 480-403BC)采用“化圆为方”提出了用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的方法,数学家欧多克斯( Eudoxus of Cnidus , 408-355 BC )发展了穷竭法,认为“在一个量中减去比其一半还大的量,不断重复这个过程,可以使剩下的量变得任意小”,即量是无限可分的,阿基米德进一步完善了“穷竭法”,并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。
中国古代刘徽的“割圆术”认为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,并由此得到“徽率” 3.1416 。
这正是极限思想的萌芽状态。
极限与无穷小在高等数学中的应用极限和无穷小是高等数学中的重要概念,它们在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
本文将着重介绍极限与无穷小在高等数学中的应用。
1. 函数极限的计算与应用函数极限是高等数学中的核心内容之一,它是研究函数性质的基础。
极限的计算方法是通过逐渐接近某一点的趋势来确定函数的值。
例如,当我们计算函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x趋向于2时的极限时,可以使用极限定义和相关的极限运算法则,得到该函数在x = 2处的极限值为8。
函数极限的计算为深入理解和研究函数的性质提供了数学工具。
函数极限的应用广泛存在于物理学、经济学等实际问题中。
例如,在物理学中,物体的速度可以通过求函数极限得到。
如果一个物体的位置函数是x(t),根据速度定义,速度v(t) = dx(t)/dt,即为位置函数的导数。
如果我们想计算物体在某一时刻的速度,可以通过求函数极限计算其导数,得到物体在该时刻的瞬时速度。
2. 级数与无穷级数的求和在高等数学中,级数是数列的和的概念,它由无穷个数相加而得。
级数的求和问题是一个重要的数学难题,通过极限与无穷小的概念,可以解决和探索级数的求和问题。
例如,著名的调和级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...无穷级数之和的问题,通过极限和无穷小的性质,我们可以证明该级数发散,即无法得到一个有限的和。
这个例子展示了极限和无穷小在级数求和问题中的应用,通过对级数的部分和进行推导,我们可以得到该级数的敛散性质。
无穷级数求和问题在实际应用中也有很多例子。
例如,在经济学中,利率、投资回报率等概念的计算常常与无穷级数求和问题相关。
通过将实际问题抽象为无穷级数的形式,可以运用极限和无穷小的理论,求解出问题的答案。
3. 极限的存在性和性质的研究极限的存在性是数学分析中一个重要的研究问题。
通过研究极限的存在性和性质,可以揭示数学结构的特征,推导出新的数学定理。
例如,柯西收敛准则是研究极限存在性的一个重要定理,它可以判断一个数列是否收敛。
浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想,是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代,刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪,荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法的证明.如此,他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期,生产力得到极大的发展,生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题,科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下,牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分,微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹,德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =,就是指“如果对任何0ε>,总存在自然数N ,使得当n N >时,不等式n A ε-<恒成立”.这个定义,借助不等式,通过ε和N 之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想,其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式:2S Rπ=(R为圆的半径).其实,深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前,我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算,那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢?如图1-1是一个以R为半径的圆O,我们给这个圆O作n条半径,如图1-2所示.图这样我们就可以发现,圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现,当n不断增大()n→∞时,圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形,此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+,高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为:2S Rπ≈,当n越大时越精确,当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法,同时也体现了“化曲为直,化整为零,积零为整,逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分,在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中,很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线,通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数,因此可以先做出0x >时的函数图像.(1)当0x >时,由基本不等式可得1+2y x x=≥,当且仅当1x =时min 2y =;(2)当0x +→ 时,y →+∞,所以0x =是1+y x x=的一条渐近线;(3)当+x →∞时,10x →,y x →,所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1:图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛,不仅应用于研究一些函数的渐近线,在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为:y=从数形结合的角度来看,函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A,、(11)B,的距离之差,即y MA MB=-(如图2-1),由平面几何的知识,易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值,分三种情况:①当M在如图2中M(线段AB的垂直平分线l与x轴的交点)右侧移动时;②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>,不妨记=y MB MA--,图2-2中,点1M、2M均在M的右侧(其中2M又在1M的右侧).我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小,移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时,()y-的值越来越大,下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时,=y MB MA --的值越来越大的趋近于2,但是永远都不可能达到2,即y -没有最大值.但是<2y -,即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理,在第③种情况下,MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-,,讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下,当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时,y 值不断增大,所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述,本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值,但是如果我们进一步研究这个问题的时候,就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题,看似跟极限思想没多大联系,但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列,在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的,即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况,讨论1q →时,n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说,1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么,等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然,这比高中课本上给出的公式要复杂点,但是这显然让我们重新思考了问题,使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列,它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多,灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便,减少计算量和计算时间,优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中,满足1=1a ,且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=,问是否存在实数a ,b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立?若存在,给出证明;若不存在,说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ,满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立,则lim n x a a →∞=;再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-,解得0a =或3a =验证,当0a =时,数列{}n a 应该是以1为首项,以23-为公比的等比数列,显然,不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时,将1=1a ,代入2()3n n a a b =--,求得3b =-,则233()3n n a =+⋅-,验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述,0a =和3a =都不满足题意,所以假设与题意矛盾,不存在这样的a 、b .在高中阶段,对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则,再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中,我们只要巧妙的利用无限逼近的思想,就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见,比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是( ).(0A.(1B ,C.(0D ,分析 一般的方法,我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式,通过解不等式可以得出来,但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然,对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法: (1)底面为等腰三角形,两腰长度为2,底长为a (图4-1); (2)底面为等边三角形,三条边的长都为2(图4-2).图 4-2 由于a 是ABC ∆的边,所以04a <<.如图4-1,点A 在平面α(α垂直于平面BCD ,且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线)上运动,且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时,0a →;当平面ABC 与平面BDC 重合时,A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥,所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合,即取不到所以(0,a ∈.如图4-2,点A 在平面α(α垂直于平面BCD ,且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线)上运动,且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时,a 最小,可解得a =-;当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时,a 最大,可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥,所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说,a ∈,所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题,如果用一般的方法解不等式将会非常复杂,也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现,极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用,同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α,则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ,o o .(60180)B , o o .(600)C ,9 o o .(00)D ,6 分析 如图4-3所示,正三棱锥S ABC -中,SO 是正三棱锥S ABC -的高,图4-3当0180.SO→时,S无限靠近于O,此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时,正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱,这时两侧面的夹角越来越小,趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180),,故本题选B.从这些例题可以感受到,极限思想不仅是一种解决问题的方法,同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发,从而得到数学关系的猜想,有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然,极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得,在我们的中学教学中,若能通过一些例题,来向学生渗透极限思想,对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎,徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京:高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉,用极限思想解题.中学生数学,2006,(9上):8-9.。
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极限理论在数学分析中的作用及应用探究
作者:付松林
来源:《北方经贸》2013年第02期
摘要:极限理论是近代数学中的一种非常重要的思想,而数学分析中的函数研究就是以极
限概念为基础、极限理论为工具的一门科学。本文将对极限理论的定义以及其在数学分析中的
地位及作用进行分析,并探讨其应用于数学分析中常见的集中求解极限的方法。
关键词:极限理论;数学分析;极限求解;定义
中图分类号:G633.6 文献标识码:A
文章编号:1005-913X(2013)02-0137-02
极限理论是数学分析中最为基础,但却最重要的内容,它以各种各样的形式出现,并贯穿
于数学分析的全部内容。在整个现代数学中,极限是最重要的概念之一,其是解决与处理数学
问题的一种重要的数学方法。因为极限理论在一般的拓扑空间内建立也可以建立,而且是将有
限过度到无限的一种数学分析工具,因此其在数学分析占着非常重要的地位,并有着极其重要
的作用。而极限理论在数学分析中的应用主要是利用极限的思想进行极限求解。利用极限思想
处理问题的一般步骤为:想办法构思一个和被考察的未知量相关的变量,并确认所构思的变量
在经过无限过程的结果就是我们所求的未知量,再利用极限计算的方法得到要求的结果。
一、极限理论在数学分析中的地位和作用
极限思想贯穿于数学分析课程的始末,在数学分析中很多的概念都离不开极限。在大部分
的数学分析著作中,首先介绍的都是函数理论u极限思想,然后利用极限思想给出连续函数、
导数、定积分、级数的敛散性、重积分、曲线积分、曲面积分等概念。极限理论是数学分析以
及高等数学中必不可少的一种数学分析方法,也是区分初等数学与数学分析的一个重要概念。
数学分析之所以能够解决初等数学不能解决的很多问题,例如瞬时速度、曲边形面积、曲面体
体积等问题,最主要的原因就是利用了极限理论进行数学分析。由此可见,极限理论在数学分
析中所占有的重要地位,而且发挥着重要的作用。
极限理论将变量与常量、无限与有限之间的统一关系表现了出来,是唯物辩证法的对立统
一规律在数学分析中的应用。由于极限法拥有从有限认识无限、从“不变”认识“变”、从量变认
识质变、从近似认识准确等特性,因此,其在数学分析甚至是物理领域都得到了广泛的应用。
二、关于极限的定义
在数学分析中,极限的定义主要是根据不同类型的变量以及过程来确定的,由于变量与过
程具有多样性的特点,因此,极限的定义与形式也呈现出多样性。虽然极限有多种形式与定
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义,但是只要对其中几种重要且常用的极限加以理解,则可以掌握其他的极限形式。因此,笔
者主要对以下三种极限的定义进行了分析。
采用洛必达法则求解型极限的方法与型的求解方法类似,都需要先对分子与分母进行求
导。但是需要注意的是,该方法只适用于存在导数的形式进行极限的求解。该方法在极限求解
中的应用,将复杂的极限进行简化,大大的提高了解题效率,减少了解题的步骤,简单易懂,
而且解题的准确率也较高。
四、结束语
数学分析主要研究的是微分与积分,而极限理论对于微积分而言就像是大厦的基石一样,
其在微积分中占有着非常重要的地位,并发挥着重要作用,若是没有充分的极限理论知识,数
学分析也不可能有如今这么蓬勃发展的局面。数学分析是数学领域中的一门重要分支,其中的
微积分更是该领域中的一种重要的数学工具,而其也已经渗透到了科学的各个领域。作为微积
分基石的极限理论在其中的重要性更不容忽视。极限的定义根据不同的变量及过程而有所不
同,所以极限的定义具有多样性,笔者在本文中主要对几种常用到的极限的定义进行了简要的
分析。极限理论在数学分析中的主要应用则是进行极限的求解,笔者结合实例,对几种常用的
极限求解方法的定理及应用进行了分析与探讨。
参考文献:
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学报,2010(1):54-57.
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[3] 沈国培.极限limX→∞(1+1/X)x=e的灵活运用[J].科技信息,2010(28):543-544.
[4] 徐新荣.关于极限定义的几点注释[J].林区教学,2011(1):81-82.
[责任编辑:王 帅]