第一章(行列式和线性方程组的求解)

线性代数疑难问题解答第一章 行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。

,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列 可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。

第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数 第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。

第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。

3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。

11 2
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3

6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i

第一章 行列式在求解含有n 个未知量n 个方程的线性方程组的一般解的公式时，人们引进了行列式的概念．如今，行列式在数学的许多分支包括经济学在内的许多学科中都有着广泛的应用，成为了一种常用的数学工具．在本门课程中，它也是研究线性方程组、矩阵及向量的一个重要基础．本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法，并介绍利用n 阶行列式求解n 元线性方程组的克兰姆(Cramer)法则.第一节 二阶与三阶行列式一、 二元一次线性方程组与二阶行列式对于二元一次线性方程组11112212112222,(1.1),(1.2)a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩2212(1.1)(1.2)a a ⨯-⨯ 得112212*********()a a a a x b a b a -=-． (1.3)1121(1.2)(1.1)a a ⨯-⨯ 得112212212211121()a a a a x b a b a -=-． (1.4)当112212210a a a a -≠时，方程组有解为122212211121121112122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==-- (1.5)（1.5）式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得，其中分母11221221a a a a -是由方程组的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组中的位置，排成两行两列的数表11122122a a a a (1.6)表达式11221221a a a a -称为数表(1.6)所确定的行列式，记作11122122a a a a (1.7)数ij a (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.7)的元素．元素ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列．上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图 1-1利用行列式的定义，记1112112212212122a a D a a a a a a =-=，1121122212222b a D b a b a b a =-=，1112211121212a b D b a b a a b =-=则式(1.3)、(1.4)可改写为1122,.Dx D Dx D =⎧⎨=⎩于是，在0D ≠的条件下，方程组有唯一解：11D x D =，22Dx D =．例13221-＝３×１－（－２）×２＝７.例 2 解方程组121235435x x x x -=-⎧⎨+=-⎩解133(3)41543D -==--⨯=，1533053D --==--，21515,45D -==-因0D ≠，故方程组有唯一解：1130215D x D -===-，2215115D x D ===二、 三阶行列式与求解二元一次线性方程组类似，从三元一次线性方程组111122133121122223323113223333,,,a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩求解入手，可引出三阶行列式的概念。