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从单复变函数到多复变函数
复变函数论的高维推广似乎并不像实变函数论那样为人所熟知，但我想其基本思想应该是一致的：以单复变函数理论作为基础模型，看看哪些理论是可以自然推广的，哪些理论推广时会遇到困难，这样的困难只是因为高维运算过于繁琐呢，还是有本质性的因素使之不能成立，既然现有的理论不能够成立，那又会出现什么新的构造呢？
一般而言，分析方面结论大都可以自然推广。最基本的恐怕要数幂级数了，幂级数的收敛不仅有相应的命题推广，而且还是一种重要的讨论方法，在证明全纯域与全纯凸域等价的过程中起着基础性的作用。此外还有Cauchy-Riemann equation，在多复变理论中，我们经常使用的是共轭导数为零的形式。值得注意的是，在n维复空间中这样的方程有n^2个，这就暗示着在高维（即n＞1）复空间中对单复变几何理论至关重要的Riemann mapping theorem不再成立。
一旦涉及到几何，单复变理论的推广就会受到限制。先来看最基本的几何图形，复变函数中的圆在多复变理论中有两种常见的对应物，一种是无差别对称的球，另一种则是融合了复结构的多圆盘。当我们推广Cauchy integral formula时，原本的积分圆周就会自然转化为多圆盘。值得注意的是，这里被积分的并不是多圆盘的边界，而只是其边界的一部分，被称为骨架，这是积（带边）流形的边界并不
等于流形边界的积的一个自然实例。幸运的是，利用Cauchy integral formula，我们可以得到与单复变理论中类似的Cauchy inequality、唯一性定理、最大模原理、（球或多圆盘上的）Schwarz lemma等重要定理，而由Schwarz lemma可以证明高维球与多圆盘并不是双全纯等价的，因此高维Riemann mapping theorem不成立。
利用Cauchy integral formula，我们还可以通过积分定义全纯函数，这也是可以推广至多复分析的常用技术。它的一个成果就是可以轻松得到连续性假设下的Hartogs theorem，更精密的分析证明了这里的连续性假设是可以省略的，n元复函数全纯iff其各分量全纯，这就是多复变理论中著名的Hartogs theorem.与之相关的一个现象就是所谓的Hartogs phenomenon，它是说高维全纯函数不存在孤立奇点。考虑零点的情形（仅差一个倒数而已），这个结论也不难理解，n维（复）空间中的一个（复）方程的零点通常是n-1维的，只有在n=1的情形时才会出现孤立点！
在高维复空间中，并不是任意一点都可以作为全纯函数的零点，因此我们考虑怎样区域边界恰好能作为零点集，于是便得到所谓全纯域的概念，它可定义为某个全纯函数的极大定义域（沙巴特的《复分析导论第2卷：多复变函数》中还强调要排除多值性，这里暂时不考虑那么精致）。然而，零点的思想方法还是被保留了下来，得到所谓边界上的障碍（无界点）判据：边界上存在稠密障碍的区域必为全纯域。在一维情形中，任意点w都可以作为障碍（考虑f（z）=1/（z-w）），
因此任意区域都是全纯域，可见全纯域只有高维复空间中才有其价值。利用这里的障碍判据，还可以证明欧式凸域比为全纯域，但反之如何呢？
这里处理欧式凸域需要一个视角转化，把欧式凸域视为线性凸包。对此转化其重要作用是单复变理论中的Runge theorem，它暗示着多项式凸包的概念。因此，我们完全可以仿照定义全纯凸包，它要弱于前两种凸包。还是沙巴特的那本书中给了个非常有趣的直观解释：区域多项式凸包填满了内部的“洞”，而欧式凸包则进一步填满了边界的“坑”。借助于幂级数的讨论，可以得到全纯凸性的同步延拓引理：在多圆盘度量的意义上可延拓紧集的全纯凸包也是可延拓的。全纯凸包等于自身的区域称为全纯凸域，先用全纯凸域在内部穷竭，再构造收敛幂级数可以证明全纯凸域必为全纯域；而利用同步延拓引理则可以证明全纯域必为全纯凸域，也就是说全纯域与全纯凸域这两者是等价的。
还有一个与全纯域等价的概念称为伪凸域。它的一个优点就是可以局部判定，伪凸域等价于局部伪凸域，这与全纯域的边界障碍不谋而合。伪凸域的一个动机是实空间中可微函数的凸性判定，即对边界（二阶）光滑的区域而言，它是欧式凸域等价于其定义函数的Hessian 限制在切平面上半正定。类似推广到复Hessian与全纯切空间就得到了边界光滑情形的伪凸域，这里的Hessian则密切联系着多次调和函数的概念，后者的均值不等式性质是讨论的重要工具。这里最关键的函数是-ln d（Z），其中d（Z）是复空间中点Z到区域的距离，这个
函数对于全纯域是多次调和函数，而当它是多次调和函数时，又等价于局部的伪凸性。
然而，我们还需要去掉边界光滑的限制，为此定义伪凸域是可被多次调和函数穷竭的。事实上，这里的多次调和函数还可以被光滑化与严格化，加强为光滑的强多次调和函数，甚至还能再要求其Hessian 在对角线上有给定的下界，这一点在证明Levi conjecture时是非常有用的。显然，只要在上述-ln d（Z）稍加修改，补充一下相应平凡的情形，就可以使其定义的伪凸域与光滑情形一致。对于全纯域的情形也有类似处理，这样就得到全纯域必为伪凸域的结论，而伪凸域是否一定为全纯域就是所谓的Levi conjecture.在Levi conjecture 的证明中，其中间环节就是复微分形式共轭导数方程的可解性，用同调论的语言来说就是其Dolbeault homology group H（p,q）=0，q≥1，在其证明中L^2不等式估计是非常关键的，但其中有不少繁琐的计算，因此我就不再继续详述了。
最后稍微说明一下，对高维复空间中特例的理解，实际上有一个认识在先与逻辑在先的差异。一般人总先学单复分析，然后再进入高维理论的，因此以前的观点忽然改变，总是觉得不容易接受。但要是先接受n维理论甚至于复流形，然后再考虑n=1的特例，很多类似问题就自然而然呈现出来了，大概这也算是未来复分析教材的一个改革方向。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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