2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数 学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若3420242024C C m m -=，则m =（ ）A 2B. 6C. 2或6D. 2或5072. 设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（ ）A. 1- B. 1C. 3D. 63. 若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（ ）A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. ()0,∞+4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）A. 180B. 360C. 720D. 14405. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）.A. 函数()f x '在(),b c 上单调递增B. 函数()f x 至少有2个极值点C. 函数()f x 在(),a e 上单调递减D. 函数()f x 在x c =处取得极大值6. 已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（ ）A. 15B.115 C.154D.4157. 已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是( )A. (2,0)- B. (0,2) C. (90,2 D. 9(,0)2-8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）A.314B.13C.23D.27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（ ）A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与C 不是互斥事件C. ()5|12P C A =D. ()1|6P B A =11. 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）.A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．13. 已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++值；（2）若270a =-，求m 的值．16. 已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082的的（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？19. 定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若3420242024C C m m -=，则m =（ ）A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或507【答案】D 【解析】【分析】通过组合数的性质即可得到答案.【详解】由题意知34,m m =-或342024,m m +-=所以2m =或507.m =故选：D ．2. 设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（ ）A. 1- B. 1C. 3D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为1x =时的预测值为619ˆ3y=⨯+=，所以残差为1091-=．故选：B ．3. 若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（ ）A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. ()0,∞+【答案】C 【解析】【分析】由导函数定义可得()f x '，再利用导函数求单调减区间即可.【详解】()()1limx f x x f x x xx∆→+∆--=∆ ，1()x f x x-'∴=，()0,x ∈+∞，由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,1).故选：C.4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440【答案】D 【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【详解】先将甲、乙排为一列，有22A 种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有66A 种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为2626A A 1440=．故选：D ．5. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 函数()f x '在(),b c 上单调递增B. 函数()f x 至少有2个极值点C. 函数()f x 在(),a e 上单调递减D. 函数()f x 在x c =处取得极大值【答案】D 【解析】【分析】根据()f x '的图象判断其符号，进而可知()f x 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.【详解】由()f x '的图象可知：当x a <或>x e 时，()0f x '>；当a x e <<时，()0f x '≤；可知()f x 在(),a ∞-，(),e ∞+上单调递增，在(),a e 上单调递减，则函数()f x 有且仅有两个极值点,a e ，结合选项可知：ABC 正确；D 错误；故选：D.6. 已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（ ）A. 15B.115 C.154D.415【答案】A 【解析】【分析】由随机变量(),X B n p 的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为()35E X np ==，()()12125D X np p =-=，所以()()415D X pE X =-=，即15p =，所以3n =，所以15np=．故选：A ．7. 已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是( )A. (2,0)- B. (0,2) C. (90,2 D. 9(,0)2-【答案】D 【解析】【分析】求得2()3f x x x '=+，得出函数()f x 的单调性与极值，结合()f x 有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．【详解】由函数3213()32f x x x c =++，可得2()3f x x x '=+，令()0f x '=，解得0x =或3x =-，令()0f x '>，解得0x >或3x <-；令()0f x '<，解得30x -<<，则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又由9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，解得902c -<<，所以实数c 的取值范围是9(,0)2-．故选：D ．8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）A.314B.13C.23D.27【答案】B 【解析】【分析】先由古典概率公式求出()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，再由全概率公式求出()314P A =，最后由条件概率求出()11|3P B A =即可.【详解】用A 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用1B 表示丢掉的小球为红球，2B 表示丢掉的小球为黑球，则()()1212P B P B ==，()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，由全概率公式可得()()()()()112111123||272714P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以()()()1111127|3314P AB P B A P A ⨯===，故选：B.【点睛】关键点点睛：条件概率公式为()()()11|P AB P B A P A =，全概率公式为()()()()()1121||P A P B P A B P B P A B =+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A. 第4项 B. 第5项C. 第6项D. 第7项【答案】CD 【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.【详解】因为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38C C n n =；所以11n =，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（ ）A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与C 不是互斥事件C. ()5|12P C A = D. ()1|6P B A =【答案】BCD 【解析】【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D.【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有21342322C C A 36A ⋅=种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，各有223323C A +A =12种方案，∴()()()13P A P B P C ===；甲、乙均学习VisualBasic 编程语言，有22A 2=种方案，∴()213618P AB ==；甲学习VisualBasic 编程语言且乙学习VisualC ＋＋编程语言，有11221C C 5+=种方案，∴()536PA C =，对于A ，∵()()()P AB P A P B ≠，∴事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，∵()5036P AC =≠，∴事件A 与C 不是互斥事件，故B 正确；对于C ，()()()5|12P AC P C A P A ==，故C 正确；对于D ，()()()1|6P A B PB A P A ==，故D 正确.故选：BCD.11. 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（ ）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑【答案】AB 【解析】【分析】根据题意分析可知4为()f x '的周期，关于2x =对称，关于点()1,0对称，进而判断AB ；分析可知4为()f x 的周期，但没有充分条件求()2f ，进而判断CD.【详解】因为()41f x +为偶函数，则()()4141f x f x +=-+，即()()11f x f x +=-+，可知()f x 关于1x =对称，又因()2f x '+为偶函数，则()()22f x f x '+=-+'，可知()f x '关于2x =对称，且()()11f x f x +=-+，则()()11f x f x +=--'+'，即()()2f x f x '=--+'，可得()f x '关于点()1,0对称，且()()2f x f x ''=-+，则()()()()244f x f x f x f x ''''⎡⎤=-+=--+=+⎣⎦，可知4为()f x '的周期，由()()2f x f x '=--+'，可得()()11f f ''=-，即()10f '=，则()()()()130,241f f f f ''''=-==-=-，即()()()()12340f f f f ''''+++=，所以()()()()202311231i f i f f f ='=++'''=-∑，()202410i f i ='=∑，故AB 正确；因为()()4f x f x ''=+，则()()4f x c f x c +=++，即()()4f x f x =+，可知4为()f x 的周期，又因为()()22f x f x '+=-+'，则()()222f x f x c +=--++，即()()222f x f x c ++-+=，可知()f x 关于点()2,c 对称，但没有充分条件求()2f ，故无法求CD 选项的值，故CD 错误；故选：AB.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．【答案】87##117【解析】【分析】根据分布列的性质概率之和为1可求.【详解】已知()2i aP X i ==（1,2,3i =），则由分布列的性质可得为231117(1)(2)(3)12228P X P X P X a a ⎛⎫=+=+==++== ⎪⎝⎭，解得87a =，故答案为：87.13. 已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】因为()f x 有两个极值点，所以()223f x x ax =+-'有两个变号解，结合韦达定理得出122x x a +=-，又因为1225x x -=，联立得出125425,,33a a x x -+==-又因为123x x =-，所以得出1a =-或1.4a =-再利用()f x 的极小值为整数即可得出答案.【详解】()223,f x x ax =+-'由题意知12,x x 是2230x ax +-=的两根，所以24120,a ∆=+>且12x x +=122,3,a x x -=-又1225,x x -=所以125425,,33a a x x -+==-所以54253,33a a -+⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即24a +510,a +=解得1a =-或1.4a =-当1a =-时，123,1,x x ==-此时()f x 的极小值为()263,3f =-不合题意；当14a =-时，1232,,2x x ==-此时()f x 的极小值为()24,f =-符合题意．故1.4a =-故答案为：14-.14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.【答案】①.516##0.3125 ②. n【解析】【分析】X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到nX 与X 关系，得到()2n X X n X X n =--=-，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.【详解】设X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率()333661150C 12216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，X 表示向右移动的次数则n X -表示向左移动的次数，则()2n X X n X X n =--=-，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭则()()111224n D X np p n =-=⨯⨯=，所以()()()22244n nD X D X n D X n =-=⨯=⨯=.故答案为：516；n .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．【答案】（1）128 （2）2m =或53-【解析】【分析】（1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】在7280128(1)(1)x x a a x a x a x --+=+++⋅⋅⋅+中，取1x =，得01280a a a a =+++⋅⋅⋅+，取=1x -，得018256a a a -=-+⋅⋅⋅+，以上两式相减，得1357128a a a a +++=．【小问2详解】7(1)mx +的通项为777177C ()C k k k k k k T mx m x ---+==，若270a =-，可得62577C C 70m m -=-，所以23100m m --=，解得2m =或53-．16. 已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）40x y +-= （2）极大值为127e -，极小值为e .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.【小问1详解】由()()2254e xf x x x =-+，()f x 的定义域为R ，得()()221e xf x x x '=--，所以()00e 1f '=-=-，又()04f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为4y x =-+，即40x y +-=；【小问2详解】()()()()221e 121e x x f x x x x x '=--=-+，由()0f x '=，得12x =-，或1x =，当12x <-或1x >时，()0f x ¢>，()f x 在()1,,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增；当112x -<<时，()0f x '<，()f x 在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；故函数()f x 在12x =-处取得极大值，极大值为1217e 2f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；在1x =处取得极小值，极小值为(1)e f =.故函数()f x 有极大值，也有极小值，极大值为127e -，极小值为e .17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.84150246.6357.879.【答案】（1）答案见解析 （2）0.08794【解析】【分析】（1）根据题意完善22⨯列联表，求2χ，并与临界值对比分析；（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求()90P X <，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：22⨯列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设0H ：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得()220.10102404 1.667 2.7066428x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，依据小概率值0.10α=独立性检验，可以推断0H 成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】由题意可得，物理成绩的平均分为()1849082848381838190828410x =+++++++++=（分）；方差()()()()()()()222222221848490848284848483848184838410s ⎡=-+-+-+-+-+-+-⎣()()()22281849084828410⎤+-+-+-=⎦，结合题意可知：()84,10X N :，即84,3μσ==≈，则290μσ+=，可得()()1221+0.954590=0.9772522P X P X μσμσ+-<<+<=≈，记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A ，则A 为“4人物理成绩的等第都是非优秀”，故()()4419010.9772510.912060.08794P A P X ⎡⎤=-<≈-≈-=⎣⎦，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为0.08794.的18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40 （2）①减少了；②增加了【解析】【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X 的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．2611(10)C 15P X ===，26224(15)C 15P X ⨯===，2611(20)C 15P X ===，2622(35)C 15P X ===，2622(40)C 15P X ===，2622(65)C 15P X ===，2622(70)C 15P X ===，2611(90)C 15P X ===，所以X 的分布列为X 1015203540657090P11541511521521521521511514122221()1015203540657090401515151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n 人，则门票收入为120n 元，举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为(140%)(12040)112120n n n +-=<，所以举行抽奖活动后该景区五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，则期望值为1111153040602363⨯+⨯+⨯=．不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为11547512033n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为475497475(140%)40333n n n ⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了19. 定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x ()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；【解析】【分析】（1）借助导数，分0a ≤及0a >讨论即可得；（2）（i ）结合定义，令()()f x g x =，构造函数()()2e 2xk x x ax =---，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明()002e e 0xx --≤，构造函数()()2e e x h x x =--，借助导数求出其在()0,2上的最大值即可得.【小问1详解】在在()2e x f x a ='-，当0a ≤时，()0f x '>对任意x ∈R 恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '<，得ln 2a x <；令()0f x '>，得ln 2a x >，故函数()f x 在,ln 2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】（i ）令()()f x g x =，得2e e 2x x ax x -=+，得()2e 20xx ax ---=，设()()2e 2xk x x ax =---，则()()1e xk x x a =--'，设()()1e xm x x a =--，则()e xm x x '=-，当()0,x ∞∈+时，()0m x '<，()m x 单调递减，即()k x '在()0,∞+上单调递减，且()010k a ='->，()10k a '=-≤，故(]10,1x ∃∈，使得()10k x '=，当()10,x x ∈时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，当()1,x x ∞∈+时，()0k x '<，函数()k x 单调递减，因为()00k =，()2220k a =--<，所以()k x 在()0,2上只有一个零点0x ，故函数()k x 在()0,∞+上只有一个零点0x ，即函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ii ）因为002x <<，所以要证()0ln 11x a ⎡⎤+<⎣⎦，即证()01e x a +<，即证00e 0ax x +-<，只需证0e 0ax +2-≤，因为()()00002e 20xk x x ax =---=，得()0002e2x x ax -=+，所以只需证()002e e 0xx --≤即可，令()()2e e xh x x =--，02x <<，则()()1e xh x x ='-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()()max 10h x h ==，即()002e e 0x x --≤，原不等式即证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助()()00002e 20x k x x ax =---=，从而消去参数a ，将()01e x a +<转化为()002e e 0x x --≤.。
