最优控制——最大值原理

1 h(t f ) 2 v(t f )
3
1 和 2 为待定的拉格朗日乘子 式中，
4）将哈密顿函数整理为
H 1v 2 ( u g ) 3 (ku ) (1v 2 g ) ( 2 k3 )u m m
5）由极小值条件，H相对于 u (t ) 取绝对极小值。因此，最优控制为
2 u , max m k3 0 u (t ) 0, 2 k3 0 m
上述结果表明,只有当发动机推力在最大值和零值之间进行开关 控制,才有可能在实现软着陆的同时，保证燃料消耗最少。
4
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3 (t )

H 2 (t )u (t ) m m 2 (t )
3）由横截条件
1 (t f )
2 (t f )
1 1 1 h(t f ) h(t f )
J m(t )
2 2 2 v(t f ) v(t f ) 3 (t f ) 1 m(t f )
现代控制理论
实例分析： 基于极大值原理的最优控制
例：设宇宙飞船质量为m(t),高度为h(t),垂直速度为v(t),发动机推力为 u(t),月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料 的总质量为F,发动机最大推力为 umax ,发动机飞船的状态方程为:
h(t ) v (t ) , h(0) h0 u (t ) v (t ) g , v (0) v0 m(t ) m(t ) ku(t ),

m(0) M F
要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为
1 h(t f ) 0 , 2 v(t f ) 0

［ 金项 目 】 国 家 自然 科学 基 金 资 助 项 目 （０７０ １ ０ ７０８ 基 ６ ５４７ ，６２４４ ） ［ 者简 介 】 方 作 强 （９８ ，男 ，湖 北 潜 江 市 人 ，武 汉 大 学 水 利水 电 学 院博 士 研 究 生 １７ 一）
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和 随机性 可 以转 换为 动态规 划模 型 ；而且 ，对 于一
似描 述 方法 ，而不 能精确 描述 连续动 态变 化过程 的
精确 特性 。本质 上 ，水库 调度是 一个 追求某 个作 为
放水 控制 （ 决策 ）过 程 函数 （ 常称为 目标 函数 ）的 最优 控制 问题 。 由于放水 控制过 程作 为控 制决策量
得 到任何 深刻 的理解 。造 成这些 问题 的主要 原 因是
动态 规划 只是一 种适 应于 多 阶段 离散 动态 过程 的近
动态 规 划 方 法 是 Ｂ ｌ ａ （９ ７ ｅｍ ｎ １５ ）为 解 决 多 阶 ｌ 段决 策 问题提 出的 ，是一种 适应 于多 阶段 优化决 策 过 程 的方 法 ，它在水 库调度 的优 化 中得到 了广泛 的 应用 。这 是 由于大部 分水 资源 系统所 具有 的非线 性
学推理 和利用 变分法 的广义形 式进 行严 格 的数 学推
化 的，根据这 些客 观动态 变化 ，按水 库调 度 的 目标 确 定在 整个调 度过 程 中水 库放 水全过 程 的决 策 或控 制策 略 。然而 ，上述 水库 调 度 的优 化 模 型 方 法 中， 除动态规 划外 ，都不 能很 好描述 水库 调度 过程 中 的
这 种动态 性 。
不 方便 了 。如要 分 析参数 对解 的影 响 ，只能通过 变 换参 数 在离散 时 间点上反 复求解 ，才 能对 其有个 大 概 近似 的 了解 ，而 不能对 其精确 解或 精确 解 的特性

最优控制问题的提法
在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。
1：受控系统的数学模型 一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一 般形式为：
(t ) f ( X (t ),u(t ),t ) X
X [ x1 , x2 ,, xn ]T 是n维状态向量
t0 tf
为最小。 这就是最优控制问题。 如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(〃)）则称为最优性能 指标。
了解几种最优控制的应用类型
设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标，性能指标按其数学形 式可分为如下三类： 1）积分型性能指标
t0 tf
2：最小燃料消耗控制 粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗问题的性能指标为：
月球上的软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力方向 相反的推力u(t)，以使飞船在月球表面实现 软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律， 以便使燃料的消耗为最少。 我们的任务是寻求发动机推力的最优 控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船 由初始状态转移到终端状态，并且使性能 指标为极值(极大值)。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直 速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的 重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质 量为M， 初始燃料的总质量为F．初始高度 为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的运 动方程式可以表示为：
(t ) v(t ) h u (t ) (t ) g v m(t ) (t ) ku(t ) m
初 始 条 件

称 J (X ) 在 XX*处有极值(极大值或极小值)。
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定理(变分预备定理)：设 ( t )
是时间区间
[t0, t1]上连续的n维向量( t函) 数，
的连续n维向量函数(t，0)且(t1)0
有
t1
T
(t)(t)dt
，若
0
t0
是任意
则必有
(t)0,t[t0,t1]
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4.1.2 欧拉方程
LX,XrX,X
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
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当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函
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在动态系统最优控制问题中，性能指标是 一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛 函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但 读者可对照微分学中的结果来理解。
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4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
(1) (L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt 精品课件
举例：
可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
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6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则