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圆锥曲线复习学案

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圆锥曲线复习学案（一）一、基础知识解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、 三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，（这种说法不作要求）三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线 的距离，F ∉ ，如图：因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

② 定量：（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）， 举焦点在x 轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

二、常见结论：1、（1）与双曲线22221x y a b-=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k -=-+（2）与双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0), 有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222b y a x (a>0,b>0，λ≠0), 当 λ>0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ<0 时,所求双曲线的焦点与已知的不在同一坐标轴上 （3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0 2、焦点弦的性质焦点弦 过px y 22=()0>p 的焦点弦ＡＢ ，Ａ（1x ，1y ）Ｂ（2x ，2y ）（1）,sin 2221αp p x x AB =++=（2）221p y y -=，4221p x x =， （3）以AB 为直径的圆与准线相切（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦.三、典例剖析题型一:圆锥曲线的定义及方程例1（1）椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程.（2）根据下列条件，求双曲线方程：I 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-； I I 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(. (3) 求焦点在直线042=--y x 上的抛物线的标准方程.并求其对应的准线方程.例2（1）椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON 的长度 。

（2）设点P 在双曲线116922=-y x 上，若F 1、F 2为此双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，求△F 1PF 2的周长。

（3）在抛物线24y x =上找一点M ，使MA MF +最小，其中()3,2A ，()1,0F ，求M 点的坐标及此时的最小值题型二：圆锥曲线的性质例3（1）椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含︒60角的菱形的四个顶点，求椭圆的离心率（2）设1a>，求双曲线22221(1)x ya a-=+的离心率e的取值范围（3）求抛物线212y x=的准线与双曲线22193x y-=的两条渐近线所围成的三角形面积四、强化训练1、双曲线1422=-y x 的焦点坐标为（ ) A ．)0,3(± B ．)3,0(± C ．)0,5(± D ．)5,0(±2抛物线24y x =的准线方程是( )A.1y =B.1y =-C.116y =D. 116y =- 3、若R k ∈，则3>k 是方程22133x y k -=-表示双曲线的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要4、双曲线22221x y b a-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．235、过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9B ．8C ．7D ．66、以椭圆2212449x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( ) A.2212524x y -= B. 2212425x y -= C. 2212524y x -= D. 2212425y x -=7、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 8、已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn所表示曲线可 能是（ ）9、设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠= ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+B ． 231+C ． 21+D ．31+10、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A .（41，－1）B .（41，1） C .（1，2） D .（1，－2）11、已知方程22sin sin 2x y θθ+=表示焦点在y 轴上的双曲线，则点()cos ,sin P θθ在 （ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限12、.椭圆131222=+y x 的左右焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则|1PF |是|2PF |的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍13、122=+n y m x （m ＞n ＞0）和双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）有共同的焦点F 1、F 2,P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ∙等于（ ）（A ）22m a - （B （C ）21()2m a - （D ）2()m a -14、F 1、F 2是双曲线2214x y a a-=的两个焦点，点P 在双曲线上，12F PF ∠=900，直角∆12F PF 的面积是1，则a 的值是（ ）（A ） 1 （B ）2（C ）2 （D 15、曲线22212x y a -=的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的方程为_____________________________16、斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若OAF ∆(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为____________17、直角坐标系xoy 中，已知三角形ABC 的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+BCA sin sin sin ____________18、1422=+ky x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围是19过点（1，6）且与渐近线方程是2y x =±的双曲线方程是____________20双曲线的离心率等于2，且与椭圆221259x y+=有相同的焦点，求此双曲线的标准方程．21、P是椭圆22154y x+=上的一点，F1、F2是焦点，且12F PF∠=300，求∆12F PF的面积。

22、双曲线的中心在原点，焦点F1、F24，；（1）求双曲线的方程；（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；（3）求∆12F MF的面积.圆锥曲线复习学案（二）一、知识与方法（一）直线和圆锥曲线位置关系1、位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

将直线方程与圆锥曲线方程联立消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=或20ay by c ++=（1）⇔>∆0相交；（2）⇔=∆0相切；（3）⇔<∆0相离其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。

直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

（2）直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、张角问题、最值问题等（二）圆锥曲线的定值、最值问题（1）圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关。

（2）圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题 二、例题讲解 题型一：弦长问题例1、（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）已知过抛物线焦点的直线l 与抛物线24y x =相交于点A 、B ，如果线段AB 的长等于5，求直 线方程。

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选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)

选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)

高三数学复习学案
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
《圆锥曲线：双曲线》导学案(复习版)

《圆锥曲线：双曲线》导学案(复习版)

《圆锥曲线（5）：双曲线》导学案（复习版）一．知识全解（一）概念1.知识：1）文字描述：平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值等于常数2a （|1F 2F |）的点P 的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的，两焦点的距离叫做双曲线的，一般用表示。

2）集合描述：。

2.全解：1）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （0a ＞）的点P 的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。

2）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差等于常数2a （0a ＞），且2a ＜|F 1F 2|的点P 的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。

3）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差等于0的点P 的轨迹存在吗？若存在，是什么？若不存在，说明理由。

4）判断下列点的轨迹是否存在，若存在，是什么？若是双曲线，写出2a c 、2的值。

（1）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为0，则动点的轨迹。

（2）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为6，则动点的轨迹。

（3）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差的绝对值为6，则动点的轨迹。

（4）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为8，则动点的轨迹。

（5）平面内两定点的距离为8，一动点到两定的距离之差为6，则动点的轨迹。

（6）平面内两定点的距离为8，一动点到两定的距离之差的绝对值为6，则动点的轨迹。

(二)方程1.知识：1）标准方程：（1）焦点在x 轴：（2）焦点在y 轴：（3）统一方程：。

2）一般方程：。

3）共焦点方程：（1）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程可设为： （2）与双曲线22221y x a b-=共焦点的双曲线系方程可设为： 4）参数：（标准方程中的双曲线参数）（1）意义：a 、b 、c 分别是、、（“半实轴”或“半虚轴”或“半焦距”）（2）关系：。

2.全解：1）知道双曲线的标准方程，如何判定a 、b ，及焦点的位置？2）什么情况下选择一般方程？如何根据一般方程判断焦点位置？3）画出下列双曲线的草图（1）12222=-by a x （2）221y x a b-= 4）判断下列方程是否表示双曲线，若是求出a b c 、、及焦点的坐标。

高中数学圆锥曲线教学案

高中数学圆锥曲线教学案

高中数学总复习教学案第9单元圆锥曲线与方程本章知识结构本章的重点难点聚焦本章的重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程与标准方程表示的圆锥曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

本章的难点：求圆锥曲线的方程与利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题。

本章学习中应当着重注意的问题理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质，特别注重函数与方程不等式的思想、转化思想、数形结合思想在本单元解题中的应用。

本章高考分析与预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉与本章的知识，分值20分左右。

主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程与几何性质等知识与基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题与最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

§9.1 椭圆① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单性质．本节的重点是椭圆的定义、标准方程和几何性质。

本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用与解决椭圆问题所涉与的思想方法。

高考数学复习学案——圆锥曲线(双曲线)

高考数学复习学案——圆锥曲线(双曲线)

高考数学复习学案——圆锥曲线（双曲线）一、定义：1、平面内，动点P 到两定点F1、F2的距离之差的 绝对值12PF PF -=常数2a ，122a F F 2c<=，则P 的运动轨迹是双曲线。

其中F1、F2称为焦点，2a —实轴长，2c —焦距，2b —虚轴长注：1o 、定义中无“绝对值”，则P 的运动轨迹是双曲 线的一支；2o 、若2a 2c 0=>，则P 的运动轨迹是直线F1F2 上除去线段F1F2外的两条射线； 3o 、若2a 2c >，则P 无运动轨迹。

2、平面内，动点P 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比P lPFce d a -==常数，且1e >，则P 的运动轨迹是双曲线.其中F 为双曲线的一个焦点，l 为与F 相对应的准线，且焦准距22F la b d c c c -=-=例：1、双曲线()22221x y a b -=a>0,b>0，过左焦点F1作弦PQ 交左支于P 、Q ，且PQ m =，求2PQF 的周长。

（答案：42a m +）2、双曲线221412x y -=上的M 点到左焦点F1的距离为5，求点M 到右准线的距离。

（答案：122225419PF PF a PF PF -=⇒-=⇒=或，由于22PF c a ≥-=，故舍去1，29PF ∴=,再由第二定义，P l P l 9c 9e 2d d a 2--===⇒=右右.）3、过焦点F2作弦PQ 交右支于P 、Q 两点，作PP'l ,QQ'l ,⊥⊥右右，则由第二定义，2222PF QF PF PP'e PP'QQ'QF QQ'==⇒=4、（1）F1（0，-3）、F2（0，3），12PF PF 4-=，求P 的轨迹方程； （2）F1（-1，0）、F2（3，0），12PF PF 4-=，求P 的轨迹方程；（答案：（1）()221045y x y -=>（2）()03y x =≥）二、标准方程：1、以线段21F F 所在的直线为x 轴，21F F 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则根据双曲线的定义aPF PF 221=-或 d PF=e =a c均可推导出双曲线的标准方程：()222222220,01x b x a y b a b y a->>=-或= 1()0,0>>b a ()222a c b -= 2、范围：Ry a x ∈≥, (或Rx a y ∈≥,)，3、对称性：图像关于x,y 轴分别对称，也关于原点中心对称。